2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测
数学试卷 2026.1
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，
故选：D.
说明：本题来源于共案“集合”考查概念理解.
2．设复数，则复数的虚部为（ ）
A．17 B．－17 C．23 D．－23
【答案】B
【详解】∵
∴复的虚部为－17
故选：B
说明：本题来源于周考6第2题.考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部，考查概念理解，运算能力.
3．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．40 B．14 C．36 D．80
【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，
.
故选A
说明：本题来源于课本原题.考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力.
4．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，
故选：B．
说明：本题来源于共案“直线的位置关系”课后作业的第1题(原题).考查概念理解及运算能力.
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，．
故选：A
说明：本题来源于共案“三角恒等变换”基础训练的第2题（原题）.利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查概念理解，运算能力.
6．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B．252 C． D．28
【答案】B
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.
【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
说明：本题为原创题，考查二项式定理，二项式系数、系数.考查知识的记忆、运算能力.
7．如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率.
【详解】设，则，，
易得，故，
故在中，，故．
故选：D
说明：本题来源于共案“离心率”的例2，考查双曲线的性质结合勾股定理,考查转化与化归思想.
8．设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①，令，解得(舍去)或，
存在非零实数，使得.
②，令
结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
③，存在，使得.
④，
，在上单调递增，又，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
故选：B.
说明：本题来源于共案“导数的综合”.考查利用导数研究函数的单调性，涉及到构造函数法以及函数单调性的应用.考查构造函数法、函数与方程思想.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列结论错误的是（ ）
A．两个变量的相关性越强，相关系数越大
B．利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上
C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大
D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍）
【答案】AC
【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D.
【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误；
B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确；
C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误；
D，若，每个数据都变为原来的2倍，
则，D正确．
故选：AC
说明：本题来源于课本. 考查统计部分对基本量的认知。考查了记忆和简单运算能力.
10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ）
A．
B．以为直径的圆与准线相切
C．直线斜率为
D．
【答案】ABD
【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下：
对于A，由图可知，，
在中，由，则，
易知，在中，，
由，则为线段的中点，即在中，，
所以，故A正确；
对于B，由A易知，由，则，
即，所以以为直径的圆的半径，
在直角梯形中，中位线的长度为，
则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确；
对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为，
当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD.
说明：本题为共案“抛物线”原题，考查抛物线定义、方程，焦点弦等.数形结合、转化与化归思想.
11．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误；
对于B，由，得，则，即，B正确；
对于C，当时，，则，C正确；
对于D，当时，，，
因此在上的投影向量为，D正确.
故选：BCD.
说明：本题为原创题，考查空间中点、线、面的位置关系定性判断空间中的角的运算，考查直观想象、逻辑推理、数学运算素养；考查转化与化归思想.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12．焦点为的抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题意设抛物线的方程为 ，
由焦点为，则，则，
所以抛物线的方程为：.
故答案为：.
说明：本题来源于课本（原题）.考查基础知识的掌握情况.
13．若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有 种．
【答案】23
【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种.
故答案为23.
说明：本题来源于共案“排列组合应用”的课后作业第3题.考查转化能力.
14．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 小时．
【答案】
【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，
则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为．
故答案为：
说明：本题来源于期中考试卷的第6题.数列应用题.考查运算能力、转化与化归能力.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）
15．（13分）在中，角、、的对边分别为、、，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得， ……1分
因为、，则，所以，， ……2分
则， ……5分
故. ……6分
（2）解：由平面向量数量积的定义
可得， ……7分
可得， ……9分
由余弦定理
可得， ……11分
解得. ……13分
说明：本题来源于根据周考3的第15题改编.考查三角形中的边角关系，向量与三角形的联系。考查整体思想、转化思想.
16．已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【详解】（1）由题意可得， ……2分
即得，则，
即，可得，由于，故得，则， ……6分
故； ……7分
（2）由（1）结论可得
……9分
， ……11分
故的前项和 ……13分
. ……15分
说明：本题来源于共案“数列求和”的例题.考查等差数列、等比数列基本量的运算，对数的运算法则，裂项相消求和。考查运算能力.
17．（15分）如图，在三棱锥中，平面，D是的中点，平面平面，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，作于点， ……1分
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面， ……3分
又因为平面，所以 ……4分
因为平面，又平面，所以， ……5分
因为平面，平面，所以平面 ……7分
因为平面，所以 ……8分
【小问2详解】
由（1），平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
又平面，，所以平面，
又，，所以， ……9分
如图，以点为坐标原点，过点垂直于的为轴，
分别为轴的空间直角坐标系， ……10分
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
， ……12分
又平面，且， ……13分
设平面与平面的夹角为，
， ……14分
所以平面与平面的夹角的余弦值为. ……15分
说明：本题来源于周考6的17题改编.本题考查利用面面垂直、线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查计算能力、空间想象能力.
18．（17分）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”.
(1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由；
(2)若函数与“局部相等”，求实数m的值；
(3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围.
【详解】（1），
根据题意可令，解得， ……2分
所以函数与是“局部相等”； ……3分
（2），
若函数与“局部相等”，
则， ……5分
解得，； ……7分
（3） ……8分
根据题意可得关于m的不等式：有解， ……10分
消去n可得关于的不等式有解， ……12分
设，所以，
所以的符号为：
所以在单调递增，在单调递减， ……14分
所以，且时，；时，， ……15分
所以
所以 ……17分
说明：本题来源于共案“ 函数中的极值与最值”例4改编.考查利用导数研究函数的单调性，考查方程思想、转化与化归思想、函数与方程思想.
19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点.
(1)若且点在第一象限，求点的坐标；
(2)若的面积为，求直线的方程；
(3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围.
【详解】（1），，设，且，
则且， ……2分
解得，， ……4分
因此的坐标为. ……5分
（2）直线为水平直线时，不存在， ……6分
设直线方程为，联立，
得， ……7分， ……8分
设，，则. ……9分
由于在线段上，，其中，
因此，整理得，
所以，解得（负值舍），
因此直线方程为，即或. ……12分
（3）由题设，直线斜率不可能为0，
而直线斜率不存在时，、重合，； ……13分
若直线斜率存在，设直线，与联立得，因此； ……14分
而联立直线与可得； ……15分
所以 ……16分
即取值范围是.
综上，的取值范围为. ……17分
说明：本题来源于共案“直线与圆锥曲线位置关系”考查分类讨论思想，考察直观想象、逻辑推理、运算能力.2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测
数学试卷2026.1
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题绘出的四个选项中只有一个选项是
正有的.清把正确的选项其涂在答题卡相应的位置上.)
1.己知集合1={x1≤x心5}，B=1,2,3,4,,则4nB=()
A.{12
B.{23}
C.345}
D.{12,34}
2.设夏数：=(4+i)3-5),则夏效：的部为(）
A.17
B.-17
C.23
D.-23
3.己知S,是等菱列{a}的前n项和，若4=2，a十a=34,则S=（)
A.40
B.14
C.36
D.80
4.直线1：(a+1)x+2④-1=0和直线}2：a-y+3=0,则a-1是“1⊥1的()
A.必菱不充分条件
B.充分不必菱乐件
C.充要朵件
D.既不充分也不必要朵件
5.若in日言则si2a《）
A.
9
B.-45
D.
9
9
6.己知(3x-1)”震开式中，只有第5项的二项式系数毁大，则(3x-1)”展开式中x2的系激为()
A.-252
B.252
C.-28
D.28
,如图，双曲袋。-片=1(>0，b>0)的左、右焦点分别为乃，过的直袋交双曲锁的忘支无
A,B两点，且∠FF=90,FBF3F,则此双曲线的离心字为《)
B.2
c.5
D.
2
8.设函效f()和gG)的定义域为D,若存在非琴实效ceD,使得()+⊙-0，则宽函数f(6)和g)
在D上具有准页P.现有四组函领：①(x)=x,g()=x2:②f(x)=2,g(x)=-e:③(x)=-x2,
g()=2:④f()=x，g(6)=sinx.其中只有性顶P的组熟为()
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题《本大题共3小冠，每小题6分，共18分，在每小题给出的造项中，有多项符合题目委
求，全部羌对得6分，部分造对的得带分分，有选错的得0分.)
9,下列结论告误的是()
A,两个安量的相关性越强，相关系敦”越大
B.利用样本点求经治回归方程，则样本点可能都不在回归直线上
C。对于独立性检验，的观测值越大，判断两改量有关联犯错误的减客越大
D.在2×2列联表中，若每个如据都夜为原来的2倍，则？支为原来的2倍
(Z2=
nad-bey
】
(a+bXc+dxa+c)b+d)
10.过拉物战=2m(P>0)的东点F的直线1交拉物线于点AB,交其准袋于点C,B在线段C上，
芳BC=2BF且HF=4,0为原点则下列说法正骗的是()
A.P=2
B.以B为直径的圆与准线相切
C.直线1斜字为
D.1
1
11.己知直线1的-个方向向量为ā=Gg,-12),平面x的-个法向垂为5=6,2，)，则()
A若x=y=4,则11a
B.若111a,则3x+2=2
C.若x=2,y=1,则co3a,=g
7
D.若x=-2,-3,则ā在6上的授影向量的坐标为←品品
三、其空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12.焦点为10)的抛物线的标准方程为
13.芳把一句诺我爱中窗”的汉字顺产写错了，则可能出现的错识共有种
14。血药浓茂检测可使给药方兔个体化，从而达到临床用药的安全、有效、台避.菜医学研究所研制
的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当虫著给药3小时的时侯血药浓度达到峰值，此后每经
