3.1.2变量与函数教案（表格式）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题 第3章 3.1 函数的概念和表示法 3.1.2 变量与函数
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．了解函数的三种表示法：(1)解析法，(2)列表法，(3)图象法. 2．会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数. 3．通过具体实例，能够根据函数图像分析解决实际问题，了解简单的分段函数及应用.
教学重点、 难点 教学重点：了解函数的三种不同的表示方法；在实际情境中，会根据不同的需要，选择恰当的函数的表示方法. 教学难点：函数三种表示方法的优点的认识.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.情境导入 问题1：小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按20元/时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题： 工作时间t(时)1015202530…报酬m(元)200300400500600…
(1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？ 常量：30，变量：t、m (2)能用t的代数式来表示m的值吗？ 能，m=16t 指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应． 问题2：跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米/秒)有关．根据经验，跳远的距离s=0.085v2(0(2)试用公式法表示这个函数关系. (3)试用图象法表示这个函数关系. 解：(1)当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，每增加1个三角形，周长就增加1，因此填表如下： n12345678···y345678910···
(2)n是自变量，y是因变量，周长y与三角形个数n之间的函数表达式是y=n+2(n为正整数）. (3)因为函数y=n+2中，自变量n的取值范围是正整数集，因此在平面直角坐标系中可以描出无数个点，这些点组成了y=n+2的函数图象，如图. 2．函数的三种常用的表示方法的优劣 指出：(1)公式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇，尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视． (2)用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化； 用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值； 用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值. 3．由函数图象获取信息 例1：某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店花了一段时间，然后继续骑行，按时赶到了学校.下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题： (1)小楠停车进早餐店是在什么时间 此时离家有多远 (2)小楠吃早餐花了多长时间 吃完早餐后又花了多长时间到达学校？ (3)小明从家到学校的平均速度是多少 解：(1)从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是7：05；从纵坐标看出，此时离家1 000m. (2)从横坐标看出，小楠吃早餐花了15min；小楠吃完早餐后又花了10min到达学校. (3)从纵坐标看出，小楠家离学校2 100m；从横坐标看出，他在路上共花了30min，因此，他从家到学校的平均速度是2 100÷30=70(m/min). 方法总结：函数图象应用信息广泛，通过看图我们可以获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 例2：已知等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x. （1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围； （2）当腰长为4时，求底边长. 解：（1）由已知得y+2x=10，则y=10-2x. 由于x，y为该等腰三角形的边长， 所以x>0，y>0，2x>y. 于是10-2x>0且2x>10-2x. 解上述两个不等式组成的不等式组，可得2.5(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ (2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式； (3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？ 解：(1)5÷0.5×1=10(克)， 答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式为h=10+0.5x(0≤x≤50)； (3)当h=25时，25=10+0.5x，所以x=30. 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克． 方法总结：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 3．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)． (1)写出y与x的关系式； (2)这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？ 解：(1)y=－0.6x＋48； （2）当x=35时，y=48-0.6×35=27，所以这辆车行驶35千米时，剩油27升； 当y=12时，48-0.6x=12，解得x=60，所以汽车剩油12升时，行驶了60千米． 方法总结：公式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 4．如图所示，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是( ) 解析：因为y表示未修建的公路里程，x表示时间，所以y由大变小，所以选项A、D错误；因为施工队在工作了一段时间后因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，所以y随x的增大而减小得比开始快，线段与x轴的夹角变大，所以选项C错误，选项B正确．故选B. 方法总结：在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线，变化的趋势是快是慢，可用与x轴的夹角来表示出来． 4.课堂小结 1．函数的三种表示法及它们的优缺点 (1)图像法（“形”）： ①定义：建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法. ②优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化. ③缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. (2)列表法（“数”）： ①定义：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法称为列表法. ②优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便. ③缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中不易看出变量间的对应规律. (3)公式法（“式”）： ①定义：用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数表达式. ②优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算. ③缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. 函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数的值，再画出它的图象. 2．解题策略 (1)图象的识别方法 一般是根据题目的描述，从函数值随着自变量的变化而变化的情况来判断的.函数值随着自变量的增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之呈下降趋势.当自变量增大，函数值不变时，这部分图象与横轴平行（或重合）. (2)根据图象读取信息时要把握三个方面： ①横轴和纵轴的意义及横轴、纵轴分别表示的量； ②对于某个具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求得该点的坐标； ③在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点坐标代表的实际意义. 5.板书设计 函数的三种表示方法及其优点： (1)解析法：可以方便地计算函数值； (2)列表法：自变量取的值与因变量取的值看得很清楚； (3)图象法：直观看出因变量如何随自变量变化．
教学设计 反思 函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何对这三种方法进行选择．针对这个问题，通过让学生对例子进行比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法，并学会选择合适的方法.