3.2 一次函数教案（表格式）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题 第3章 3.2 一次函数
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．理解一次函数和正比例函数的概念. 2．能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
教学重点、 难点 教学重点：理解一次函数、正比例函数的概念. 教学难点：根据所给条件写出一次函数关系的表达式.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？ (3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？ 提问1：上一节课我们学习了函数的三种表示方法，它们分别是：图像法、列表法和公式法. 提问2：什么是公式法？它的优点是什么？ 用式子表示函数关系的方法称为公式法，公式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 思考： （1）一列“复兴号”高铁（如图1）自上海站出发，运行40km到达A地后，便以350km/h的速度匀速行驶.如果从离开A地后开始计时，请用表达式表示该列车离开A地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系. 图1 图2 （2）如图2,是弹簧秤称重示意图.某弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm.设挂上重物后弹簧的长度为y(cm)，所挂物体的质量为x(kg).请用表达式表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系. 2.讲授新课 1．一次函数和正比例函数的定义 讨论交流：在问题1中，用电量x(kW·h)是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为： 在问题（1）中，时间x（h）是自变量，距离y（km）是x的函数，它们之间的数量关系为 距离=速度×时间，即y=350x.① 在问题2中，所挂物体质量x(kg)是自变量，弹簧的长度y(cm)是x的函数，它们之间的数量关系为： 弹簧长度=原长+弹簧伸长量，即y=10+0.5x.② 议一议：函数①②式有什么共同的特征 函数y=350x，y=10+0.5x的共同特征是：它们的右边都是关于自变量x的一次式，由此抽象出下述概念： 形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数称为一次函数. 特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数. 归纳：一次函数与正比例函数的区别与联系： 区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 联系：当b=0时，一次函数转化为正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例. 2．一次函数的本质特征 问题（2）中，每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm；故弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如下所示： 思考：你能仿照上述表格，将问题（1）中的自变量与因变量的变化过程表示出来吗 可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或减少)相同的数量. 说明：因变量的变化量与自变量的变化量的比值是一个固定值即表达式中k值()，在实际问题中，k值有着实际意义，它反映了事物的匀变化过程，例如在匀速直线运动、价格、利息等问题中，k值分别代表速度、单价、利息率等. 3．一次函数的取值范围 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围.例如，在问题（1）中，自变量的取值范围是x≥0（假设不限制匀速运行时间）；在问题（2）中，自变量x的取值范围是0≤x≤10. 4．一次函数的简单应用 例：科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1km，气温下降6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃). (1)求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式. (2)若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度. 解：(1)由于高出地面xkm处的气温随离地面高度的变化而变化，因此y是x的函数，它们之间的数量关系为：甲地高出地面xkm处的气温=地面气温-下降的气温， 即y=20-6x. (2)当y=-34时，20-6x=-34，解得x=9. 答：此时飞机离地面的高度为9km. 方法总结：根据实际问题中的条件正确地列出一次函数，其步骤一般是：先认真审题，根据题意找出等量关系，再按照等量关系写出含有两个变量的等式，最后将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数关系的公式. 3.课堂练习 1．下列函数一定是一次函数的是( ) A．y=-2x B．y=- C．y=-3x2+2 D．y=ax+2(a为常数) 解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确； B.自变量次数为-1,而不是1，不是一次函数，错误； C.自变量次数是2不是1，不是一次函数，错误； D.没有强调a≠0，不一定是一次函数，错误.故选A. 方法总结：一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 2．已知y=(m-1)x2－|m|+n+3. (1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：(1)根据一次函数的定义得2-|m|=1，解得m=±1.又因为m-1≠0即m≠1，所以当m=-1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； (2)根据正比例函数的定义得2-|m|=1，n+3=0，解得m=±1，n=-3.又因为m=1≠0，即m≠1，所以当m=-1，n=-3时，这个函数是正比例函数． 方法总结：一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数y=kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1. 3．一盘蚊香长105cm，点燃后每小时缩短10cm. (1)请写出蚊香点燃后的长度y(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系式； (2)该蚊香可燃烧多长时间 解：(1)因为蚊香点燃后的长度等于蚊香的原长减去燃烧的长度，所以y=105-10t(0≤t≤10.5). (2)因为蚊香燃尽时长度y=0，所以105-10t=0，解得t=10.5， 所以该蚊香可燃烧10.5h. 方法总结：此类题利用方程思想，根据实际问题列出方程，用含有一个字母的代数式表示出另一个字母，即为函效表达式，再用代入法求值. 4．写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？ (1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(个)之间的函数关系； (2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系． 解：(1)根据题意得y=，不是一次函数； (2)根据题意得28-5y=x，则y=-x+，是一次函数． 方法总结：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 4.课堂小结 1．一次函数 (1)定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数称为一次函数. 特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数. (2)①注意k≠0，x的次数是1； ②正比例函数是特殊的一次函数. (3)因变量随自变量的变化是均匀的. 2．解题策略 判断一个函数是否为一次函数，要从三个方面进行观察： (1)必须是整式； (2)自变量的最高次数是1； (3)将函数化简后，自变量的x系数不为零. 5.板书设计 1．一次函数：y=kx+b(k≠0，k、b是常数) 2．正比例函数：y=kx(k≠0，k是常数)
教学设计 反思 在教学时要注意正比例函数和一次函数的k值是不能为零的，这是在计算中最容易被忽略的，在教学中要注意重点强调.