3.3.2一次函数的图象和性质教案（表格式）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题 第3章 3.3 一次函数的图象 第2课时 一次函数的图象和性质
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系，使学生理解掌握并会作出一次函数的图象. 2．经历探索由一次函数图象观察归纳一次函数性质的过程，掌握应用性质解决问题.
教学重点、 难点 教学重点：会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质. 教学难点：理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.情境导入 问题： 1．什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ 2．正比例函数的图象是什么形状？ 3．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？ 既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系？ 2.讲授新课 1．直线间的平移关系 探究：在平面直角坐标系中，先画出函数y=2x的图象，然后探索y=2x+3的图象是什么样的图形，猜测y=2x+3的图象与y=2x的图象有什么关系 先取自变量x的一些值，算出y=2x，y=2x+3对应的函数值，列成表格如下： x···-3-2-10123···y=2x···-6-4-20246···y=2x+3···-3-113579···
从上表可以看出，横坐标相同，y=2x+3的点的纵坐标比y=2x的点的纵坐标大3，于是将y=2x的图象向上平移 3个单位，就得到y=2x+3的图象，如图. 由于平移把直线变成与它平行的直线，因此y=2x+3的图象是与y=2x平行的一条直线. 类似地，可以证明，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象平行，一次函数y=kx+b的图象可以看作由正比例函数y=kx的图象沿y轴平移|b|个单位长度(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)而得到. 归纳： 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象平行（当b≠0时）或重合（当b=0时）. 两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx+b”. 2．一次函数的图象与性质 例3：画出一次函数y=-2x-3的图象. 解：当x=0时，y=-3；当x=1时，y=-5.在平面直角坐标系中描出两点A(0,-3)，B(1,-5)，过这两点作直线，则这条直线是一次函数y=-2x-3的图象，如图. 从例3看到，在利用两点画一次函数y=kx+b的图象时，经常取一个点的横坐标为0，此时它的纵坐标是b，又这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点，因此一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标是（0，b）. 议一议：观察画出的一次函数y=2x+3，y=-2x-3的图象，你能发现当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值如何变化吗 观察可知： 对于y=2x+3，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大. 对于y=-2x-3，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由大变小. 一般地，一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）具有如下性质： 3．一次函数图象的实际应用 例4：如图描述了某一天小华从家骑车去中国红色书店购书，然后又骑车回家的情况.说出小华在路上的情形. 解：第一段是从原点出发的线段OA.从横坐标看出，小华路上花了30min，当横坐标从0变化到30时，纵坐标均匀增加，这说明小华从家出发匀速前进30min，到达书店. 第二段是与x轴平行的一条线段AB，当横坐标从30变化到60时，纵坐标没有变化，这说明小华在书店购书待了30min. 第三段是与x轴有交点的线段BC.从横坐标看出，小华路上花了40min.当横坐标从60变化到100时，纵坐标均匀减少，这说明小华从书店出发匀速前进40min，返回家中. 方法总结：实际上，我们还可以比较第一段与第三段线段，发现第一段更“陡”，这说明去书店的速度更快，而回家的速度要慢一些. 3.课堂练习 1．在平面直角坐标系中，将直线l1：y=-2x平移后，得到直线l2：y=-2x＋4，则下列平移作法正确的是( ) A．将l1向右平移4个单位长度 B．将l1向左平移4个单位长度 C．将l1向下平移4个单位长度 D．将l1向上平移4个单位长度 解析：由直线y=-2x与y轴的交点为(0,0)，再求直线y=-2x+4与y轴的交点为(0,4)，所以可得y=-2x向上平移4个单位长度得到y=-2x+4；y=-2x与x轴的交点为(0,0)，y=-2x+4与x轴的交点为(2,0)，所以可得y=-2x向右平移2个单位长度的到y=-2x+4，故选D. 方法总结：求直线平移后的解析式时，可求出平移前后的直线与x轴、y轴的交点的坐标．再根据点的坐标的变化得出直线的平移． 2．已知函数y=(2m-2)x+m+1. (1)m为何值时，图象过原点； (2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围； (3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围； (4)图象过第一、二象限，求m的取值范围． 解：(1)因为函数图象过原点，所以m+1=0，即m=-1； (2)因为y随x增大而增大，所以2m-2＞0，解得m＞1； (3)因为函数图象与y轴交点在x轴上方，所以m+1＞0，即m＞-1； (4)因为图象过第一、二象限，所以 解得-1＜m＜1. 方法总结：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二象限是解答此题的关键． 3．一次函数y=-2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求A、B两点的坐标； (2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？ 解：(1)对于y=-2x+4，令y=0，得-2x+4=0，所以x=2， 所以一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为(2,0). 令x=0，得y=4，所以一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为(0,4). (2)S△AOB=OA·OB=×2×4=4，所以图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4. 方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可得出面积． 4．在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象． (1)y=2x-1；(2)y=x+3；(3)y=-2x；(4)y=5x. 解：(1)一次函数y=2x-1图象过(1,1)，(0,-1)； (2)一次函数y=x+3的图象过(0,3)，(-3,0)； (3)正比例函数y=-2x的图象过(1,-2)，(0,0)； (4)正比例函数y=5x的图象过(0,0)，(1,5)． 方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可． 5．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=2x+k的图象大致是( ) 解析：因为正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，所以k>0，因为一次函数y=2x+k的一次项系数大于0，常数项大于0，所以一次函数y=2x+k的图象经过第一、二、三象限．故选A. 方法总结：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0，图象必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象必经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)． 6．对于函数y=-5x+1，下列结论：①它的图象必经过点(-1,5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为当x=-1时，y=-5×(-1)+1=6≠5，所以点(-1,5)不在此函数的图象上，故①错误；因为k=-5＜0，b=1＞0，所以此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；因为x=1时，y=-5×1＋1=-4，又k=-5＜0，所以y随x的增大而减小，所以当x＞1时，y＜-4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③，故选B. 方法总结：一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 4.课堂小结 1．直线的平移 直线y=kx 直线y=kx+b 2．一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0）图 象形状一条直线画法根据两点确定一条直线，画一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象时，一般选(0,b)和(,0)两点比较简便大致 图象k>0k<0b>0b=0b<0b>0b=0b<0 图象是从左向右上升的图象是从左向右下降的经过第一、二、三象限经过第一、三象限经过第一、三、四象限经过第一、二、四象限经过第二、四象限经过第二、三、四象限|k|越大，图象越陡(即越靠近y轴)性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小
3．解题策略 常数k，b对直线y=kx+b位置的影响： (1)对于直线y=kx+b(k≠0)，若x=0，则y=b，所以说b是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标.当b>0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b<0时，直线与y轴的负半轴相交. (2)对于直线y=kx+b(k≠0），若y=0，则x=，所以说是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.当>0，即k，b异号时，直线与x轴的正轴相交；当=0，即b=0时，直线经过原点；当<0，即k，b同号时，直线与x轴的负半轴相交. 5.板书设计 一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象 2．一次函数的性质 3．一次函数图象的平移规律
教学设计反思 本节课，学生活动设计了三个方面．一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状；二是两点法画一次函数的图象；三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性，值得老师们探讨．为了达到上述目的，可结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性较强的程序和题目．学生的目标明确了，操作性强，就能收到较好的效果.