3.4 用待定系数法确定一次函数表达式教案（表格式）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题 第3章 3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．使学生了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数； 2．能由两个条件确定表达式或者能根据函数的图象确定一次函数的表达式.
教学重点、 难点 教学重点：会用待定系数法确定一次函数的表达式. 教学难点：从图象上获取信息，灵活运用有关知识解决相关问题.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.复习导入 问题：画出函数y=2x的图象. 在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题. 2.讲授新课 1．用待定系数法确定一次函数表达式 探究：如图，已知一次函数的图象经过P(0，-1)，Q(1，1)两点.怎样确定这个一次函数的表达式呢 因为一次函数的一般形式是y=kx+b，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k，b的值（即待定的系数）. 因为P(0，-1)和Q(1，1)都在该函数图象上，因此它们的坐标应满足y=kx+b.将这两点坐标代人该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组： 解这个方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为y=2x-1. 像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法. 从上述过程可以看到，给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线. 议一议： 要确定正比例函数的表达式需要几个条件？举例和大家交流. 确定正比例函数的表达式需要一个条件，即如果有一个系数，只要利用一点坐标列出关于k的一元一次方程即可. 归纳：待定系数法的步骤可归纳为：“一设、二列、三解、四还原”． “一设”：设出一次函数表达式的一般形式y＝kx+b（k≠0）； “二列”：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；即 “三解”：解这个方程组，求出k、b的值； “四还原”：将已求得的k、b的值再代入y＝kx+b（k≠0）中，从而得到所要求的一次函数的表达式． 2．由实际问题确定一次函数表达式 例1：世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标.已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系. 摄氏温度x/℃01020304050华氏温度y/(℉)32506886104122
解：由上表可知，摄氏温度每增加10℃，华氏温度都增加18℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示. 因此可以设所求函数表达式为 y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 由已知条件，得 解得 因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为 y=x+32. 有了这个表达式就可以将摄氏温度换算成华氏温度了. 例2：某种收割机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h)之间为一次函数关系，函数图象如下图所示. （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供收割机工作几小时 解：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b， 由于点P(2，30），Q（6，10）都在一次函数图象上， 将这两点坐标代入表达式，得 解得. 所以y=-5x+40. （2）当剩余油量为0时，即y=0时， -5x+40=0解得，x=8. 所以一箱油可供收割机工作8h. 3.课堂练习 1.已知一次函数经过点A(3，5)和点B(－4，－9)． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点C(m，2)是该函数图象上的一点，求C点的坐标． 解析：(1)将点A(3，5)和点B(-4，-9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数表达式，即可求得m的值． 解：(1)设其表达式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则解得k=2，b=-1，所以其表达式为y＝2x-1. （2）因为点C(m，2)在函数y＝2x-1的图象上， 所以2=2m-1，所以m＝.所以点C的坐标为(，2)． 方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下． 2.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x(cm)4.2…8.29.8体温计的读数y(℃)35.0…40.042.0
(1)求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的自变量的取值范围）； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数． 解析：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；(2)当x＝6.2时，代入(1)的表达式就可以求出y的值． 解：(1)设y关于x的函数关系式为y=kx＋b，由题意， 得解得k=，b=29.75. 所以y=x+29.75. 所以y关于x的函数关系式为y＝x＋29.75. (2)当x=6.2时，y=×6.2+29.75=37.5. 答：此时体温计的读数为37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 3.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的表达式． 解析：求出B点的坐标，根据待定系数法即可求得函数表达式． 解：因为OA＝OB，A点的坐标为(2，0)．所以点B的坐标为(0，－2)．设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得所以一次函数的表达式为y＝x－2. 方法总结：本题考查用待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数表达式． 4.如图，一次函数的图象经过点A（1，4），B(-1，2）. （1）求这个一次函数的表达式. （2）试判断点C（0,3），D（2，1）是否在这个一次函数的图象上？ 解析：（1）设出一次函数表达式，把点A，B的坐标代入一次函数表达式，列出关于系数的二元一次方程组，通过解该方程组可以求得表达式；（2）分别把点C，D的坐标代入（1）中的表达式进行检验即可. 解：（1）设一次函数表达式为y=kx+b，将A（1，4)，B(-1，2)两点坐标分别代入， 得解得k=1，b=3. 该一次函数的表达式为y=x+3. （2）由（1）知，一次函数的表达式为y=x+3. 当x=0时，y=3，所以点C（0，3）在该一次函数图象上；当x=2时，y=5≠1，所以点D（2，1）不在该一次函数的图象上. 方法总结：本题采用待定系数法和代入法，利用待定系数法确定一次函数的表达式，然后把点的坐标代入表达式，判断点是否在一次函数的图象上. 4.课堂小结 1.用待定系数法确定一次函数表达式 待定系数法的概念求一次函数表达式的一般步骤先设出函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法第一步：设除含有待定系数的函数表达式第二步：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设表达式，得到关于待定系数的方程组第三步：解方程组，求出待定系数第四步：将所求的待定系数的值代回所设表达式，即得所求函数的表达式
2.解题策略 用待定系数法求一次函数的表达式要明确两点： ①具备条件：一次函数y=kx+b中有两个不确定的系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，解方程求得k，b的植。这两个条件通常是两个点的坐标或两对x、y的值. ②确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入y=kx+b中，建立关于k，b的两个方程，通过解方程，求出k，b的值，从而确定其表达式. 5.板书设计 待定系数法确定一次函数的表达式 1.待定系数法的定义 2.待定系数法确定一次函数的表达式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原.
教学设计反思 教学中，要想让学生真正掌握求函数表达式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律．教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长.