3.6 一次函数的应用（1）教案（表格式）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题 第3章 3.6 一次函数的应用 第1课时 一次函数的应用（2）
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 在具体情境中，分析变量间的关系，抽象出一次函数模型并会运用所建立的模型进行预测．
教学重点、 难点 教学重点：根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数. 教学难点：运用所建立的一次函数模型对相关事物进行预测.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.问题导入 我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 2.讲授新课 1．利用一次函数解决分段函数问题 思考：伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指距.假设指尖距与身高具有如下关系： 指尖距x/cm192021身高y/cm151160169
（1）身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ （2）当李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗 （1）由上表三组数据可知，身高y与指尖距x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1 cm，身高对应增加9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画. 设身高y与指尖距x之间的一次函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得 解得k=9，b=-20.于是y=9x-20. 将x=21，y=169代入上式，也符合. 故y=9x-20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式. （2）当x=22时，y=9×22-20=178. 因此，李华的身高大约是178 cm. 2．利用一次函数解决相交直线问题 例1：已知甲、乙两地相距40 km，小徐8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为x h，小徐与甲地的距离为y1 km，小李离甲地的距离为y2 km. （1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； （2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 解：（1）由“路程=速度×时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5. 由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x-2）h. 从而y2=40（x-2）,自变量x的取值范围是2≤x≤3. （2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中， 如图所示. 过点M（0，40）作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40（x-2）相交，这表明小李先到达乙地. 3.课堂练习 1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费； (2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数表达式； (3)已知上月居民甲比居民乙多用4 t水，两家共收水费 46元，他们上月分别用水多少吨？ 解析：(1)用水量不超过10 t时，设其函数表达式为y=ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x=8代入，即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10 t多还是比10 t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量． 解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y=ax.把(10，15)代入，解得a=1.5.所以y=1.5x(0≤x≤10)．当x=8时，y=1.5×8=12，即该户居民的水费为12元； (2)当x>10时，设y=bx+m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得解得b=2，m=-5,即超过10 t的部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y=2x-5(x>10)； (3)因为10×1.5+10×1.5+4×2=38<46，所以居民乙用水比10 t多．设居民乙上月用水x t，则居民甲上月用水(x+4) t.所以y甲=2(x+4)-5，y乙=2x-5. 由题意，得[2(x+4)-5]+(2x-5)=46，解得x=12. 即居民甲用水16 t，居民乙用水12 t. 方法总结：本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论． 2.如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y1（L），y2（L）关于行驶时间x（h）的函数图象. （1）写出图中线段CD上点M的坐标及其表示的实际意义. （2）求出客车行驶前油箱内的油量. （3）求客车行驶1 h所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量 解析：第（1）题根据直角坐标系得出点M的坐标，进而得出其表示的实际意义；第（2）题先求出直线CD的表达式，再求出图象与y轴的交点坐标即可得出答案；第（3）题分别求出轿车和客车的耗油量，即可得出答案. 解：（1）点M的坐标为（1，60），表示的实际意义：客车行驶1 h所剩油量为60 L. （2）设客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y2（L）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y2=ax+b，将M（1，60），D（3，0）代入，得解得a=-30，b=90. 所以表达式为y2=-30x+90.当x=0时，y=90. 故客车行驶前油箱内的油量为90 L. （3）因为轿车的耗油量为60÷4=15（L/h)，客车的耗油量为90÷3=30（L/h)， 所以客车行驶1 h所消耗的油量相当于轿车行驶2 h所消耗的油量. 方法总结：求出直线CD的表达式是解题关键，首先要利用图象信息确定函数表达式，然后根据函数表达式解决实际问题． 3.某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－成本) 品　牌AB进价(元/箱)5535售价(元/箱)6340
解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润． 解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，则y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3x＋2500.即y＝3x＋2500(0≤x≤500)； (2)由题意，得55x＋35(500－x)≤20000.解得x≤125.所以当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.所以该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元． 方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系． 4.如图①，底面积为30 cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示． 　　 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？ (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积． 解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5 cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可． 解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14 cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11 cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5 cm3/s； (2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2. 方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 4.课堂小结 1.建立一次函数模型解决预测类型的实际问题 2.一次函数的应用 利用一次函数图象解题的一般步骤： （1）分析题目中的已知条件，找出题目中的相关关系； （2）确定函数的类型，设出相应的关系式； （3）将相关条件代入关系式，求出待定系数； （4）根据题意写出函数关系式并画出图象； （5）根据函数图象的性质和自变量的值解题. 2. 3.解题策略 解答预测型问题时，要注意根据具体情境适当调整方法，如解统计有关的方案选择问题时，要注意从统计图表中读取信息，然后利用这些信息解决问题． 对于选择类预测型问题，我们需首先针对两个关系列出对应的函数关系式，然后找到它们的平衡的地方或者说是共同之处，最后再做进一步的分类和选择.“平衡的地方或者是共同之处”实际上就是问题中函数图象的交点. 建立一次函数模型解决预测类型的实际问题 5.板书设计 1．根据数据确定一次函数表达式 2．利用一次函数等知识进行合理预测，预测时要注意在已知数据邻近预测结果才与事实更好地吻合
教学设计反思 在教学过程中要注意根据相关的信息得出函数的表达式，根据表达式进行合理预测，在预测时应提醒学生合理预测的原则，教会学生怎么进行合理预测.