3.6 一次函数的应用（第2课时）教学设计（表格式）初中数学湘教版（2024）八年级下册

课题 第3章 3.6 一次函数的应用 第2课时 一次函数的应用（1）
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．进一步训练学生的识图能力； 2．能利用函数图象解决简单的实际问题.
教学重点、 难点 教学重点：一次函数图象的应用. 教学难点：能结合一次函数表达式及其图象解决简单的实际问题.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.情境导入 “脚印专家”根据脚印的大小，能够推测出罪犯的身高，这是符合科学的．科学家们测量了许多人的身高和脚印长度之后，得出了从脚印长度推算身高的公式：身高(厘米)＝脚印长度(厘米)×6.876. 在我们的生活中还有很多这样运用到一次函数模型的例子，今天我们将要学习一次函数模型在生活中的应用． 2.讲授新课 1.现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 做一做：在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示： 年份190019041908高度/m3.33.53.71
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型. 上表中每一届纪录比上一届都大约提高了0.2 m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画. 用t表示从1900年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑杆跳高的纪录y（m）与t之间的函数表达式为y=kt+b（k，b为常数，k≠0）. 由于t=0（即1900年）时，男子撑杆跳高的纪录为3.3 m，t=4（即1904年）时，纪录为3.5 m，因此 解得b=3.3，k=0.05. 于是y=0.05t+3.3. ① 当t=8时，y=3.7，这说明1908年奥运会的男子撑杆跳高纪录基本符合①式. 当t=12时，y=3.9，经查询可知，1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录为3.95 m，这一纪录也接近符合①式. 于是，①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑杆跳高纪录与所在年份之间的函数关系. 议一议：（1）利用①式估计1988年奥运会的男子撑杆跳高记录吗？ 由于t=88，由①式可得y=0.05×88+3.3=7.7. （2）查阅相关记录，与（1）中结果比较，你能发现什么？ 经查询可知，1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录是5.90 m，远低于7.7 m.这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 例2：某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度. 规定：每户居民每月用电量不超过 200 kW·h，按 0.6元/（kW·h）收费；若超过200 kW·h，则超出部分每1 kW·h加收0.3元. （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y（元）与用电量x（kW·h）之间的函数表达式； （2）画出这个函数的图象； （3）小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？ 解：（1）由生活常识可知，电费与用电量相关. 当0≤x≤200时，y=0.6x； 当x>200时，y=200×0.6+(x-200)×（0.6+0.3）=0.9x-60. y与x的函数表达式也可以合起来表示为 （2）该函数的图象如图： （3）当x=150时，y=0.6×150=90， 故小玲家3月份应缴纳电费90元. 当x=200时，y=0.9×220-60=138， 故小玲家4月份应缴纳电费138元. 3.课堂练习 1.小明练习100米短跑，训练时间与100米短跑成绩记录如下： 时间(月)1234成绩(秒)15.615.415.215
(1)请你为小明的100米短跑成绩y(秒)与训练时间x(月)的关系建立函数模型； (2)用所求出的函数解析式预测小明训练6个月的100米短跑成绩； (3)能用所求出的函数解析式预测小明训练3年的100米短跑成绩吗？为什么？ 解析：(1)由表格中的数据可知，每加1个月，成绩提高0.2秒，所以y与x之间是一次函数的关系，可设y＝kx＋b，利用已知点的坐标，即可求解；(2)令(1)中的x＝6，求出相应y值即可；(3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高． 解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b，依题意得 解得k=-0.2，b=15.8.所以y＝－0.2x＋15.8. (2)当x＝6时，y＝－0.2×6＋15.8＝14.6. 答：小明训练6个月的100米短跑成绩为14.6秒； (3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高． 方法总结：根据表格的分析可知函数是随着自变量均匀变化的，由此可知这个函数应是一次函数，利用待定系数法求解即可．在进行预测时要注意如果自变量的取值远离当前值，就不能将自变量代入求值，因为这个一次函数只能预测邻近的数据． 2.暑假期间，小亮到某地高山旅游，导游提醒大家上山要多带一件衣服，并介绍山上气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途小亮利用随身携带的仪器测得以下数据： 海拔高度x/m300400500600700…气温y/℃29.228.628.027.426.8…
（1）如图以海拔高度为x轴，根据上表提供的数据在下列直角坐标系中描点并连线； （2）观察（1）中所画出的图象，猜想y与x之间的函数关系，求出所猜想的函数关系表达式； （3）你能预测出海拔高度800米处的气温吗？ 解析：（1）将海拔作为横坐标，气温作为纵坐标描点即可； （2）设解析式为y=kx+b,将图象上任意两点代入解析式即可； （3）将x=800代入所求解析式即可求出海拔高度800米的气温大约是多少。 解：（1）如图所示. （2）由图可判断y与x之间是一次函数关系. 设表达式为y=kx+b,将（400，28.6），（600，27.4)代入表达式得解得k=-0.006，b=31. 故函数表达式为y=-0.006x+31. （3）能. 当x=800时，y=-0.006x+31=-0.006×800+31=26.2(℃). 即海拔高度800米处的气温大约为26.2℃. 方法总结：此题考查了一次函数的应用，根据图表画出函数的图象，再用待定系数法求出函数解析式，再根据函数解析式求出图象上的点是解题的关键. 3.水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为y毫米. （1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小. ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 解析：（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答. 解：（1）根据题意得：y=4x大+210； （2）①当x大=6时，y=4×6+210=234. 所以y=3x小+234；
②依题意，得3x小+234≤260，解得：x小≤8 因为x小为自然数，所以x小最大为8，即最多能放入8个小球． 方法总结：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式. 4.已知A、B两地的路程为240 km．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象(如图①)、上周货运量折线统计图(如图②)等信息如下：货运收费项目及收费标准表： 运输费冷藏费固定费用汽车25200火车1.652280
(1)汽车的速度为________km/h，火车的速度为________km/h； （2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽、y火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，当x为何值时，y汽＞y火(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)； (3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？ 解析：(1)根据点的坐标为(2，120)，(2，200)，直接得出两车的速度即可；(2)根据货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象，得出关系式即可；(3)根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案． 解：(1)根据图表上点的坐标为(2，120)，(2，200)， 所以汽车的速度为60 km/h，火车的速度为100 km/h. (2)依据题意得y汽＝240×2x＋×5x＋200＝500x＋200，y火＝240×1.6x＋×5x＋2280＝396x＋2280.若y汽＞y火，得出500x＋200＞396x＋2280.所以x＞20. (3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21＞20，从平均数分析，建议预定火车费用较省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省． 方法总结：解答预测类问题时，要注意根据具体情境适当调整方法，如解统计有关的方案选择问题时，要注意从统计图表中读取信息，然后利用这些信息解决问题． 4.课堂小结 1.分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：（1）分段函数的出现是实际生活的一种需要，对自变量的不同取值，用不同的关系式表示同一个函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）在写分段函数的解析式时必须注明自变量的取值范围. 2.解题策略 常见一次函数的应用模型与方法： （1）用一次函数解决“数量关系”型的问题. 在某些实际问题中，题目所涉及的两个变量为一次函数关系，这个关系式以文字叙述的形式表示出来，解题时，可根据题目中的数量关系建立一次函数模型，然后运用一次函数的有关知识解决这个实际问题. （2）用一次函数解决“图形关系”型的问题. 在某些实际问题中，题目所涉及的两个变量为一次函数关系，这个关系以图形的形式表示出来，在解题时，可根据图形中反映出来的数量关系建立一次函数模型，然后运用一次函数的有关知识解决这个实同问题. 5.板书设计 一次函数与实际问题 1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题
教学设计反思 对于分段函数的实际应用问题中，学生往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.