重庆市育才中学等校2025-2026学年高一上学期12月联合诊断性考试数学试卷（含答案）

高2028届高一上12月联合诊断性考试
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
命题学校：重庆市育才中学校
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. “关于不等式的解集为”，是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数（其中e=2.71828…）大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的零点所在的大致区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 5 C. D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. A的真子集个数为7
C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ，都有
B. 的值域为
C. ，且，都有
D 方程有3个不等实数根
11. 已知函数，若关于x的方程有4个不等的实数根，分别记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 函数有8个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.
12. 已知角的终边过点，则_____.
13. 已知，，则用a、b表示对数_______.
14. 若定义在上的函数满足，且为偶函数.当时，，其中，则________；方程在区间上的所有实数解之和为4，请写出一个符合条件的正整数a的值________.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角为第二象限角.
（1）若，化简并求值：.
（2）若，求值.
16 已知函数．
（1）若的解集为，求的解析式及实数c；
（2）若，解关于x的不等式．
17. 静脉注射是一种常见的医疗方法，即把药液、营养液等液体物质直接注射到人体静脉中.而药物在人体内的含量会随着时间的增加而变化，通过一些技术手段我们可以测得药物在患者体内的含量，再根据不同药物在体内起效的最低含量，决定何时需要再次用药.现给某患者在1小时内静脉注射了某种药物75mg，在注射过程中，患者体内的药物含量逐渐增加；停止注射后，患者体内的药物含量随时间而衰减（如图）.为了描述该种药物在此患者体内药物含量（mg）与时间t（小时）的关系，现有以下五种函数模型供选择：
①；②；③；④；⑤；
（1）根据题图，选出你认为最符合实际的两个函数模型，用于描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况，给出理由；并求出相应的函数解析式；
（2）如果这种药物在患者体内的含量需保持在10mg及以上时才有疗效.为保证有疗效，那么第一次注射结束后，最迟应在什么时候再向该患者补充注射这种药物
参考数据：，，，，，.
18. 已知函数的定义域为，对都有，且时，，其中.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并根据单调性的定义证明；
（3）若对任意，总存在，使得不等式成立，求实数t的取值范围.
19. 已知函数的图象与函数（，且）的图象关于对称，且.
（1）求函数的解析式；
（2）设m，n是方程的两个实数根（其中，，且，），求的值.
（3）是否存在实数，使得函数只有一个零点，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. A 2. A. 3. C. 4. C. 5. B． 6. A. 7. D. 8. A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BC 10. ACD 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.
12. .
13. .
14. （写出其中任何一个即可）
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）因为角为第二象限角，，
所以 ，
所以
所以.
（2）因为，
所以
所以
所以
因为角为第二象限角，所以 ，所以 ；
所以
所以.
16. （1）由的解集为，知有唯一零点，且开口向上，
令，展开得：，
，解得：，
；
（2），
，
，
，
由，不等式等价于，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．
17. （1）由图可知患者体内的药物含量不过点，故排除模型②；
图中曲线过点，对于模型④，故排除模型④；
对模型⑤，图中曲线过点，代入得，解得，但此时，不合题意，排除模型⑤；
所以可选择模型①和模型③来描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况.
因为图中曲线过点，代入，可求得，此时满足图中曲线时的变化；
代入，即，得，
所以，又符合图象过点，
此时满足图中曲线时的变化；
所以.
（2）由（1），当时，，得，
又，所以，得，
又第一次注射用时1小时，故为保证有疗效，那么第一次注射结束后小时需再次注射.
18. （1）令，得，又，得.
（2）函数在R上为减函数，理由如下：
对，不妨设，即，所以，
令，，得，
即，所以，
所以函数在R上为减函数.
（3）不等式等价于，
所以，由（2）知在R上为减函数，
故原问题等价于对任意的，总存在，使得成立，
令，，
原命题等价于对任意，都有成立，这进一步等价于，
对于，令，
由对勾函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
又，所以；
对于，令，
记，对称轴为，
当即时，，所以；
当即时，成立，所以；
综上，实数的取值范围为.
19. （1）由反函数定义可得：，又，
则，从而
（2）由（1），等价于，则，
因为方程两根，设，
由韦达定理，，.
，注意到.
则；
（3）由题可得，
只有1个零点，则方程只有1个根，
因在上单调递增，
则.
令，则.
即方程只有一个正根，可满足题意.
若，则，不满足题意；
若，此时方程为二次方程.
当
或.
当，化为:，满足题意；
当，化为:，不满足题意；
当，由上分析可得或且.
当，注意到两根之和为，两根之积为，则此时方程有2个正根，不满足题意；
当且时，为使方程只有一个正根，需满足两根之积.
综上，为使只有1个零点，或.