4.3　公式法（第1课时）运用平方差公式因式分解- 课件（共36张PPT）-北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共36张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
4.3　公式法（第1课时）
运用平方差公式因式分解
第四章 因式分解
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.08.
学习目标
探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
探究新知
知识点 1
用平方差公式因式分解
计算下列各式：
;
;
.
思考：观察这些式子有什么共同特征？
结果都是二项式，其中每一项都是某数或式的平方，且两项符号相反（一正一负）.
对下列各式进行因式分解：
探究新知
;
;
.
思考：观察这些式子有什么共同特征？
左边：是两数的平方差的形式：
□－△
2
2
右边：是两数之和与两数之差的积：
（□－△）（□+△）
1．[安康期末]下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是(　　)
A．－x2－1 B．－x2＋1
C．x2＋x D．x2＋1
B
返回
2．对多项式4x2－1进行因式分解，正确的是(　　)
A．(x＋1)(x－1) B．(2x＋1)(2x－1)
C．(4x＋1)(4x－1) D．(1＋2x)(1－2x)
B
返回
探究新知
结论
文字语言：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
平方差公式：
探究新知
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式的特点
两数的和与差的积
两个数的平方差；只有两项
形象地表示为：
①左边
②右边
相同项
相反项
探究新知
整式乘法
因式分解
3．简便计算1002－992的结果为(　　)
A．1 B．99 C．100 D．199
D
返回
(x＋3)(x－3)
返回
5．已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝________。
－6
返回
探究新知
解：(1)
把下列各式因式分解：
例1
(1); (2)
(2)
用平方差公式因式分解
素养考点 1
探究新知
素养考点 2
整体思想：整体用平方差公式
把下列各式因式分解：
例2
(1)
解：(1)
多项式
分解要彻底
探究新知
(2)
解：(2)
当多项式的各项含有公因式时，先提出公因式.
注意2：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
探究新知
素养考点 3
化简求值
例3 已知，求的值．
∴②.
解：∵，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
6．(20分)[教材P115“随堂练习”第2题变式]分解因式：
(1)x2－25y2;
解：x2－25y2＝(x＋5y)(x－5y)。
(3)－49＋m2n2;
(4)(a－2b)2－1；

(5)9(m－2n)2－(m＋2n)2。
解：－49＋m2n2＝(mn＋7)(mn－7)。
返回
(a－2b)2－1＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
9(m－2n)2－(m＋2n)2＝[3(m－2n)＋(m＋2n)][3(m－2n)－
(m＋2n)]＝(3m－6n＋m＋2n)(3m－6n－m－2n)
＝(4m－4n)(2m－8n)＝8(m－n)(m－4n)。
7．分解因式a3－a的结果为(　　)
A．a(a＋1)(a－1) B．a(a2－1)
C．(a＋1)(a－1) D．a(a2＋1)
A
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8．分解因式：
(1)x3－25x＝____________；
(2)2x3－8x＝______________。
x(x＋5)(x－5)
返回
2x(x＋2)(x－2)
9．(16分)分解因式：
(1)3a2－12;
(2)x2y－9y；
解：原式＝3(a2－4)＝3(a＋2)(a－2)。
原式＝y(x2－9)＝y(x＋3)(x－3)。
(3)－5mx2＋20my2;
解：原式＝－5m(x2－4y2)＝－5m(x＋2y)(x－2y)。
返回
3a－4
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11．如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时，图中阴影部分的面积为________cm2。(结果保留π)
56π
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12．利用平方差公式计算15×112－15×92，结果为(　　)
A．1 200 B．600
C．300 D．60
B
返回
13．如图是两个边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分为B，阴影部分的面积分别为S1，S2。若m＋n＝
8，m－n＝2，则S1－S2的值为(　　)
A．12 B．14
C．16 D．22
C
返回
14．[西安高新一中期中]若k为任意整数，则(k＋2)2－(k－1)2的值总能(　　)
A．被2整除 B．被3整除
C．被5整除 D．被7整除
B
返回
15．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该指数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是x－4y2，则x的指数的可能结果共有(　　)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
D
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16．[内江中考]已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________。
4
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17．(8分)因式分解：
(1)a5－81a；

(2)2a2(n－m)＋8(m－n)。
解：原式＝a(a4－81)＝a(a2＋9)(a2－9)
＝a(a2＋9)(a＋3)(a－3)。
返回
原式＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a－2)。
18．(12分) 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为奇特数。
例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，则8，16，24这三个数都是“奇特数”。
(1)填空：40________“奇特数”，2 020________“奇特数”；(填“是”或“不是”)
是
不是
(2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n是正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？
解：是。理由：
因为(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－
(2n－1)]＝8n，
所以由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数。
(3)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为199，求阴影部分的面积。
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公 式 法
分 解 因 式
（平方差公式）
公 式
课堂小结
一找 二套 三彻底
平方差公式因式分解的步骤