1.5 三角函数的应用- 课件（共20张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件
文档属性
| 名称 | 1.5 三角函数的应用- 课件（共20张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-10 21:57:34 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
1
解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD = x ，
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD - CD，得
返回
D
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A．35 n mile
B．35cos 37° n mile
C．35tan 37° n mile
D．35sin 37° n mile
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
归纳总结
返回
2.
[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________.
仰角和俯角问题
2
如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高
（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）
想一想
解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.
Rt△ADC 中， .
Rt△BDC 中， .
∴ x = ≈43 ( m ).
∴ AB = AC－BC = .
30°
60°
50 m
返回
3.
82.0
如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
知识要点
利用坡角解决实际问题
3
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).
A
D
C
B
40°
35°
4 m
？
A
D
C
B
40
35
4 m
？
解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.
Rt△ACD 中，
∴ AD = 4sin40°.
4.
(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，
cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
返回
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
知识要点
5.
[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________.
返回
返回
6.
30°
8
返回
7.
[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)
44 m
返回
8.
如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
北师大版数学9年级下册培优备课课件
1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
1
解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD = x ，
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD - CD，得
返回
D
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A．35 n mile
B．35cos 37° n mile
C．35tan 37° n mile
D．35sin 37° n mile
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
归纳总结
返回
2.
[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________.
仰角和俯角问题
2
如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高
（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）
想一想
解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.
Rt△ADC 中， .
Rt△BDC 中， .
∴ x = ≈43 ( m ).
∴ AB = AC－BC = .
30°
60°
50 m
返回
3.
82.0
如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
知识要点
利用坡角解决实际问题
3
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).
A
D
C
B
40°
35°
4 m
？
A
D
C
B
40
35
4 m
？
解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.
Rt△ACD 中，
∴ AD = 4sin40°.
4.
(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，
cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
返回
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
知识要点
5.
[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________.
返回
返回
6.
30°
8
返回
7.
[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)
44 m
返回
8.
如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．