2.1二次函数- 课件（共23张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件

(共23张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
2.1 二次函数
第二章 二次函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
不是，是反比例函数.
不是，x 最高次数是二次.
不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件.
不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值.
y = kx + b ( k≠0 )
；
问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.
(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
二次函数的定义
1
(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式.
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.
y = (100 + x)(600 - 5x)
= -5x + 100x + 60000.
对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
这个关系式是函数关系式吗？
概念归纳
二次函数定义：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
最高次数项次数为2次
① y=ax2（a≠0，b=0，c=0）
② y=ax2+c（a≠0，b=0，c≠0）
③ y=ax2+bx（a≠0，b≠0，c=0）
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D
1.
下列函数是二次函数的是(　　)
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2.
C
（1）两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
y=x(20－x)=－x2+20x
（2）已知矩形的周长为40cm，你能表示这个矩形的面积S与其中一边长a的关系吗
S=a(40÷2－a)=－a2+20a
想一想
S=a2(正方形面积与边长的关系)
S=πr2(圆面积与半径的关系)
h= gt2(自由落体下落高度与时间的关系)
你还可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？
……
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度 h (m)和下落的时间 t (s)的关系是：h = 4.9t2，填表表示物体在前 5 s下落的高度：
t /s 1 2 3 4 5
h /m
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
2.举出一个生活中有关二次函数的例子.
解:答案不唯一，例如，篮球运动员在篮下投篮，篮球出手后它的高度与运动时间之间是二次函数关系.
3.某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多 0.5 m.
（1）长方体的长和宽用 x (m)表示，长方体的表面积 S (m2)的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用 y (元)表示，那么 y 的表达式是什么？
解:已知长方体的宽为 x m,长为 x m,则高为(x+0.5) m.
(1)根据题意,得 S = 2x·x+4(x+0.5) · x = 6x2+2x.
(2)根据题意,得 y = 5S = 30x2+10x.
4.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件.为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件的销售价 x (元/件)之间有如下关系: t = -3x＋70. 请写出该超市销售这种产品每天的销售利润 y (元)与x之间的函数关系式.
解: y = (x - 20) t = (x - 20) (-3x+70)= -3x2+130x -1400.
5.2020年，我国新增水土流失治理面积约为 6万 km2;2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约 3%.
（1）2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？(结果精确到0.1万km2)
（2）如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为 x，2023年我国新增水土流失治理面积为 y万 km2，那么 y 的表达式是什么？
解:（1）6×（1+3%）=6.2（万km2）.
（2）y = 6.2 (1+x)2
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3.
判断下列函数是否为二次函数，若是二次函数，分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
函数表达式 是否为二次函数 二次项 系数 一次项 系数 常数项
y＝－4x2＋2x－3
s＝－2t2－7
y＝x(x－1)
y＝x4＋2x2－1
是 －4 2 －3
是 －2 0 －7
是 1 －1 0
不是 \ \ \
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4.
C
进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的关系式为(　　)
A．y＝a(1－2x) B．y＝2a(1－x)
C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1－x2)
5.
y＝x2＋2x.
[教材P30“随堂练习”第2题变式]一个正方形的边长为 1 cm，假设边长增加x cm时，正方形的面积增加y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式为_____________
3 cm2，8 cm2，15 cm2
(2)当正方形的边长增加1 cm，2 cm，3 cm时，正方形的面积各增加_____________________.
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6.
C
对于关于x的函数y＝(m＋1)xm －m＋3x，下列说法错误的是(　　)
A．当m＝－1时，该函数为正比例函数
B．当m2－m＝1时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，m＝2或m＝－1
D．当该函数为二次函数时，m＝2
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7.
－x2＋90x－1 800
[教材P31“习题2.1”第4题变式]某商店经销一种学生用的双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数表达式为w＝________________.
8.
(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD(中间的篱笆垂直于墙)，设花圃的边AB的长为x m，面积为S m2.
(1)若墙足够长，求S与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
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(2)当x＝4时，矩形花圃的面积最大，此时的面积为________m2；
(3)若墙的最大可用长度为9m，求此时自变量x的取值范围.
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因为24－3x≤9，所以x≥5.结合(1)得5≤x＜8.
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).