2.2.1二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质- 课件（共27张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件

(共27张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
2.2.1二次函数y=x 和y=-x 的图象与性质
第二章 二次函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
① 一次函数 y = kx + b (k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
② 反比例函数
O
x
y
2. 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线.
3. 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
探究新知
画二次函数 y = x2 的图象.
在二次函数 y = x2 中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
画函数图形的主要步骤是什么？
① 列表；
②描点；
③连线.
1. 列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 描点.
3. 连线.
注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接.
y =x2
议一议
（1）你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
二次函数y = x2的图象是一条开口向上的曲线.
y =x2
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么
有交点，交点在原点(0,0).
议一议
y =x2
（3）当x<0时，随着x的值增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时， y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当x=0时， y有最小值0.
议一议
y =x2
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.
图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
返回
(0，0)
1.
如图为二次函数y＝x2的图象，它与x轴的交点坐标是________，当x＞0时，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)，当x＜0时，y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”)；抛物线的顶点坐标是______； 当x＝____时，函数取得最小值，为______；抛物线的对称轴是______；抛物线的开口向______(填“上”或“下”).
增大
减小
(0，0)
0
0
y轴
上
总结归纳
y =x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是图象的最低点.
总结归纳
y =x2
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.
当x<0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
做一做
二次函数 y =－x 2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
①列表；
②描点；
③连线.
y =－x2
二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
y =－x2
y =x2
y =x2和 y=－x2的图象关于x轴对称.
返回
2.
<
返回
3.
D
二次函数y＝－x2的图象大致是(　　)
总结归纳
抛物线 y=x2 y=－x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二次函数y=x2 与y=－x2的性质
y =－x2
y =x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方
在x轴的下方
向上
向下
如图所示
如图所示
最小值为0
最大值为0
1. 两条抛物线 y = x2 与 y = -x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
C
2．若点 A(2，m) 在抛物线 y = x2 上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是 　 　　．
(-2，4)
a
S
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
3．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2 (a>0)
列表：
a 0 1 2 3 …
S …
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
4. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：∵二次函数 y = x2，
∴ m≤0．
∵当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0，
5. 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，则 a =________.
解析：由题意可知
3
∴a = 3.
又∵当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小，
解得 a = 3 或 a = -3.
∴ y = -x2 或 y = 5x2.
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4.
－1
高
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5.
③
抛物线y＝x2与y＝－x2相同的性质是_______．(填序号)
①开口向上；②有最高点；③顶点是原点；
④当x<0时，y随x的增大而增大．
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6.
x
函数y＝x2与y＝－x2的图象关于________轴对称，也可以认为函数y＝x2的图象是由函数y＝－x2的图象绕________旋转________得到的.
原点
180°
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7.
D
如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为(　　)
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8.
4
关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当x>1时，y随x的增大而减小；
③当－1≤x≤2时，－4≤y≤0；
④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0；
⑤若点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，且x1<0其中正确的有________个.
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9.
2π
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________.
课堂小结
y =－x2
y =x2
关于y=x2和y=－x2的图象，你还有哪些疑惑？