2.2.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质- 课件（共22张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件

(共22张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
2.2.4二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
第二章 二次函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1) y = ax2
(2) y = ax2+c
(3) y = a(x -h)2
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
y = 2x2 -
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位
向左平移3个单位
y = 2(x + 3)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
探究新知
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
探究新知
例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y = 2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7
= 2(x2－4x+4)－8+7
= 2(x－2)2－1
∴ 对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1)
提取二次项系数
配方
顶点式
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2－6x＋7；
（2）y=2x2－12x＋8；
= 3(x2－2x)+7
= 3(x2－2x+1)－3+7
= 3(x－1)2＋4
对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4)
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，－10)
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
y = ax2+bx+c
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
∴对称轴是 ，顶点坐标为
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
做一做
如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
解:
顶点坐标
顶点坐标
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　
　 ，顶点坐标为　 　 ；
(2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小；
向下
直线 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．
(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有
，即 x1 + x2 = 2h.
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1.
把y＝x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　)
A．y＝(x－2)2＋5
B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2＋1
D．y＝(x＋2)2＋5
B
2.
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________，
顶点坐标是________________.　　　
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3.
x＝－3
抛物线y＝x2＋6x－8的对称轴为直线________，顶点坐标为_______________.
(－3，－17)
(8分)[教材P41“随堂练习”变式]写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y＝1－6x－x2；
(2)y＝2(x＋1)(x－3)．
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4.
解：y＝1－6x－x2＝－(x＋3)2＋10，故抛物线的开口向下，
对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，10)．
y＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
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5.
B
二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　)
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6.
A
已知二次函数y＝－2x2＋4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　)
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜2
D．x＞2
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7.
D
关于二次函数y＝3x2＋6x－4，下列说法正确的是(　　)
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，4)
C．函数有最小值－4
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
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8.
D
若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　)
A．直线x＝1
B．直线x＝2
C．直线x＝3
D．直线x＝4
课堂小结
谈一谈你的收获！
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
顶点坐标公式
对称轴是 ，顶点坐标为