2.4.1 利用二次函数求面积的最值问题- 课件（共18张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件

(共18张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
2.4.1 利用二次函数求面积的最值问题
第二章 二次函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x = ；
顶点坐标：（ ， ）；
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
新课导入
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB=x m，那么
AD边的长度如何表示
解：（1）设AD=h，由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF
∴
∴
新课导入
E
F
新课导入
（2）设矩形的面积为 y m2，当x取何值时，y的值最大 最大值是多少
（2）由题意可得
∴当x=20时， y有最大值300.
点击图可进入该题几何画板案例
探究新知
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
N
M
解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M.
∵ DA//CB，∴GN⊥DA.
∵DA//EF，
点击图可进入该题几何画板案例
N
M
探究新知
在Rt△EGF中，
由
得GM=24（m）
∴当x=12时， y有最大值300.
例1 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m) 此时，窗户的面积是多少 (结果精确到0.01m2)
解:∵7x+4y+πx=15，
∴
∵0＜x＜15，且0＜ ＜15，
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是Sm2，则
∴当x= ≈1.07时，S最大= ≈4.02.
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为4.02m2.
1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 .
图1
2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，
四边形 APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
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C
1.
游览关中乡村，发现一个如图所示的长20 m、宽16 m的矩形花园，为打造更美的打卡点，计划长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．4
2.
(4分)逛陕南古镇手工作坊，有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．设EF＝x，当EF取何值时，剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积为多少？
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3.
B
[教材P47“习题2.8”第2题变式]如图，陕北窑洞某民宿想用长为60 m的栅栏，再借助长40 m的房屋外墙围成一个矩形的菜园，则可围成的菜园的最大面积是(　　)
A．420 m2
B．450 m2
C．480 m2
D．500 m2
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4.
A
如图，在西安某景区长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积(　　)
A．有最小值247 m2
B．有最小值266 m2
C．有最大值247 m2
D．有最大值266 m2