3.3 垂径定理- 课件（共36张PPT）-2025-2026学年北师大版九年级数学下册培优备课课件

(共36张PPT)
北师大版数学9年级下册培优备课课件
3.3 垂径定理
第三章 圆
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07日 .
问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留
小数点后一位）.
探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
C
D
A
B
M
O
连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
C
D
A
B
M
O
结论
AM = BM
返回
C
1.
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是(　　)
C
D
A
B
M
O
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
C
D
A
B
M
O
几何语言
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AM = BM，
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
C
D
A
B
M
O
CD为⊙O的直径
条件
CD⊥AB
AM = BM
结论
CD⊥AB
理由是：连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中，
∵ OA=OB，AM=BM.
∴ △OAM≌△OBM.
∴ ∠AMO=∠BMO.
∴ CD⊥AB
∵ ⊙O关于直径CD对称，
C
D
A
B
M
O
∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
C
D
A
B
M
O
平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（不是直径）
垂径定理的逆定理
C
D
A
B
M
O
几何语言
∵CD为⊙O的直径， AM = BM，
∴ CD⊥AB，
C
D
A
B
M
O
还有如下正确结论：
CD为直径
CD⊥AB于M
AM = BM
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E 为 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径.
O
E
D
C
F
O
E
D
C
F
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD ，
∴
在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2.
解这个方程，得 R = 545.
所以，这段弯路的半径为 545 m.
1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
【教材P76 第1题】
知识技能
解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.
∵CD为直径，且CD⊥AB,∴ 寸.
在Rt△AOE中，
∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，
解得r=13.
∴CD=26寸.
2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.
【教材P76 第2题】
解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，
则 .
在Rt△ACO中，
故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6.
3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
【教材P77 第3题】
解：AC=BD.理由如下:
如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.
∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,
∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
数学理解
4.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM.
【教材P77 第4题】
解：如图所示.
作法(1)连接OM.
(2)过点M作OM的垂线,交⊙O于点A,B.线段AB即为所求的弦.
返回
2.
B
[2024长沙中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为4，则⊙O的半径OA的长为(　　)
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3.
D
如图，已知⊙O的半径为5，弦PQ＝6，R是弦PQ上任意一点，则线段OR的长可能是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
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4.
D
唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8 m，轮子的吃水深度CD为2 m，则该浆轮船的轮子的半径为(　　)
A．10 m B．8 m
C．6 m D．5 m
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5.
[教材P103“复习题”第2题变式]如图，AB是⊙O的弦，当半径OA＝4，∠AOB＝120°时，弦AB的长为________.
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6.
(4分)[教材P76“习题3.3”第2题变式]如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝26，CD＝24，求∠OCE的正弦值.
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7.
B
如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB交于点D．
若AD＝CD＝3，OD＝4，则BD的长为(　　)
A．4
B．1
C．3
D．2
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8.
A
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是(　　)
A．48°
B．45°
C．42°
D．36°
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9.
D
下列说法正确的是(　　)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
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10.
1.3 m
如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为__________.
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11.
A
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12.
D
[教材P77“习题3.3”第3题变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，
AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为(　　)
A．0.5 cm
B．1 cm
C．1.5 cm
D．2 cm
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13.
如图，点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A(点A在第三象限)经过点M，N，则点A的坐标为(　　)
A．(－5，－6)　
B．(4，－6)
C．(－6，－4)　
D．(－4，－6)
D
课堂小结
C
D
A
B
M
O