2025-2026学年苏科版八年级数学上学期期末复习卷（1-5章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期期末复习卷（1-5章）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．有下列说法：①的算术平方根是9；②点在轴上且到轴的距离为5；③在 ABC中，若，则 ABC是直角三角形；④对于一次函数，的值随着的值增大而增大．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（ ）
A． B．0 C． D．2
3．如图，已知在 ABC中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角 ABC中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
7.如图，在 ABC中，是锐角，以为斜边在 ABC内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边 ABC中，点D为 ABC外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，已知，，，，若，则的度数为 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ．
13．如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的n有 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么 ABC的面积是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ．
16．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将 BEC沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ．
17．如图， ABC是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ．
18．如图，在 ABC中，，，是的平分线，延长至点E，使得，连接，过点A作于点F，交于点O，交于点H，射线交于点G，连接，，则下列结论正确的是 （填正确答案的序号）
①；②是线段的垂直平分线；③；④。
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19．（8分）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程：
①由，，可以确定是一个_________位数；
②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________；
③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________．
(1)补全上述探究过程．
(2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算．
(3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_____．
20．（8分）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
地区 元 元
地区 元 元
(1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
21．（10分）课本再现：前面我们已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？
事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理。
(1)定理证明：现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：
已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．
证明：
(2)解决问题已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．
求证：；是的垂直平分线．
(3)已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长_____．
22．（10分）已知：，，．
(1)在坐标系中描出各点，画出 ABC，并画出 ABC关于轴的对称图形；
(2)求 ABC的面积；
(3)在轴上找一点，使得的周长最小；
(4)设点在坐标轴上，且与 ABC的面积相等，求点的坐标．
23．（10分）阅读材料，回答问题．
等面积法解题
【原理】如图1，在 ABC中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题．
【问题1】如图1，在 ABC中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______．
【问题2】如图2，在等边 ABC中，是 ABC内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值．
解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，……
问题：(1)材料中的问题1中应填______．
(2)补充材料中问题2的剩余解答过程．
(3)如图4，是等边 ABC外的一点，，，，，若，则的值为______．
24．（10分）数学兴趣小组在探究代数式的最小值时，小甜巧妙的运用了“数形结合”的思想解决问题．具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过作，．连接，．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值．
(1)【探究发现】当，，在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于____；
(2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值；
(3)【拓展迁移】若，为正数，请你用构图的方法试求出以，，为边的三角形的面积．
25．（11分）如图，在中，，点为的中点．
(1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点．
①猜想的度数，并证明你的猜想；②连接（自己连），求证：．
(2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数．
26．（11分）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”．
(1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点；
①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”；
②若P是线段的美好点，求P的坐标；
(2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：，即的算术平方根是，的算术平方根是9，故①错误；
点在轴上，故②错误；在中，，，
，是直角三角形，故③正确；
，∴一次函数中的值随着的值增大而增大，故④正确；
则其中说法正确的个数是个，故选：B．
2．B
【详解】由题意得：
根据数轴图，且靠近1，且靠近，
∴，则 ，故选B．
3．A
【详解】解：连接，过D作于G，
∵平分，DF CA交的延长线于F，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
在与中，，∴，
∴，∴，
即，∴，故选：A．
4．C
【详解】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，，∴， ，
∵点O 和点B的坐标分别记为，，∴，
∵，∴，故选：C．
5．B
【详解】解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y，∴，，
∵，∴，
∵H是边上靠近点A的三等分点，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵正方形的面积为定值，∴是定值．故选：B．
6．B
【详解】解：∵直线，∴y随x的增大而增大，直线过第一、三、四象限，当时，，
∵，，为直线上的三个点，且，
∴若，则，同号，但不能确定，的正负，故选项A不符合题意；
若，则，异号，∵，∴，，
∴，在第三象限，∴，，∴，故选项B符合题意；
若，则，同号，或，但不能确定、的正负，故选项C不符合题意；
若，则，异号，，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意；故选：B．
7.D
【详解】解：过点C作，交的延长与点G，
∵点F为的中点，∴，
∵，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，，∴，，
∵∴，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，解得，故选：D．

8．C
【详解】解：由图象可知，，，．
根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时，．
，，如图，则可得，
设直线的解析式为，把，代入可得
，解得，所以直线的解析式为，
当点P运动到中点时，即时，把代入，得，
所以当点P运动到中点时，的面积为．故选：C．
9．A
【详解】解：求点运动轨迹，Q是直线上的一个动点，
当点在轴上时，由时，，，
将Q绕点顺时针旋转，得到点，过点作轴于点，则
，，在中，，，
，，，，
，的坐标为；
当点在轴上时，把代入直线得，，解得，，
点的坐标为，，，轴，点的坐标为，
设点所在直线方程为，将，代入，得
，解得，所在直线方程为，
当直线时，的值最小，令直线分别交轴于点，
当时，，当时，，解得，
点，，在中，，
，即，．故选：A．
10．D
【详解】解：在上截取，
∵，∴是等边三角形，则，，
∵ ABC是等边三角形，∴，，则，
∴，∴，，则，故①正确；
则，故②正确；
设边上的高为，点到，的距离分别为，，
∵，即平分，∴，则，∴，故③正确；
∵平分，∴，∴，∴，
当时，，∴，
由上可知，，则，∴，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，故选：D．
二、填空题
11．】
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，
同理可得：，，
依此类推得：，其中为正整数，∴，
又∵，∴，故答案为：．
12．或
【详解】解：∵，∴直线过定点．
当直线经过点时，解得：
当直线经过点时，解得：
或 故答案为：或．
13．4
【详解】解：由题意得；；；
∵，的值是整数，
∴的值可以是，，，，即， 是整数的有4个．故答案为：4．
14．16
【详解】过点C作，则，
又，又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为
，
∴，
故答案为：16
15．
【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点
∵，，∴，
设所在直线的表达式为
∴∴所在直线的表达式为
同理可得，所在直线的表达式为
根据对称可得，直线和的交点即为点P，
联立得，解得∴点P的坐标为．故答案为：．
16． 2
【详解】解：∵，，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵将 BEC沿翻折，点E的对应点为，∴，，
∴，∴；
如图，延长和延长线相交于点，
在和中，，∴，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，故答案为：，．
17．
【详解】解：∵ ABC为等边三角形，为高上的动点，，
∵将绕点顺时针旋转得到，，
，∴ CBE≌ CAF（SAS），，∴点在射线上运动，
如图所示，作点关于的对称点，连接，
设交于点，则，在中，，则，
当三点共线时，取最小值，即，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴ CDF周长的最小值为，故答案为：；．
18．①②④
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，∴，∴，
∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，
∴，∴，∴，∴，
又∵，∴是线段的垂直平分线，，
∴，，∴，∴，
∴，∴，故选项④正确；
在和中，，∴，∴，
∴，故选项①正确；
∵，，∴，即，
又∵，∴，
∴，∴，∴是线段的垂直平分线，
又∵点C，O，G在同一条直线上，∴是线段的垂直平分线，故选项②确．
在中，，∴，故选项③错误．故答案：①②④．
三、解答题
19.（1）解：①由，，可以确定是一个两位数；
②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8；
③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则．
故答案为：两；2；8；42．
（2）①由，，可以确定是一个两位数；
②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7；
③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则．
综上所述，．
（3）①由，，可以确定是一个两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则．故答案为：39．
20．（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，
；
（2）解：由题意可得，，得，
，为整数，、、，有三种分配方案，
方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
（3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高，
理由：，
∵,∴随的增大而增大，
且为整数，当时，取得最大值，此时，
派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高．
21．（1）证明：如下图所示，连接点与的中点，
在和中，，
，是的垂直平分线；
（2）证明：如下图所示，点是平分线上的一点，，，
，，，
在和中，， ；
由可知，，，是的垂直平分线；
（3）解：如下图所示，连接，，
，分别是，的垂直平分线，
，，， ，
，，
，，
，．
22．（1）解：如图所示，∴即为所求；
（2）解：过点向轴、轴作垂线，垂足为，
∴；
（3）解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，连接，所以即为所求；
理由：∵关于轴对称点，∴，∴，
∴根据两点之间线段最短可知，此时的周长最小，∴即为所求；
（4）解：当点在轴上时，∴，即，∴，
∴点的坐标为或；
当点在轴上时，∴，即，∴，
∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．
23．（1）解：依题意，
∵∴故答案为：．
（2）解：如图3，连接，则
∵等边三角形，∴，
∵，
∴，
∴，∴；
∵∴；
（3）解：，理由如下：连接，则，
∵等边三角形，∴，
∵，
∴，
∴，∴．
∵∴，故答案为：．
24．（1）解：如图中，C为线段上一动点，分别过B、D作，，连接，已知，，，设，则，，则问题转化成求的最小值，过点A作交的延长线于F，则四边形是长方形，
，，
，，∴，
，，的最小值为，
的最小值为5，故答案为：；
（2）解：如图，取线段，分别过作，且，连接，
设，则，
，即当在同一直线上时，的值最小，
线段的长即为的最小值，
过点作交的延长线于，则四边形是长方形，
，，
，，
即的最小值为；
（3）解：分别以为边长作出长方形，则上取一点，使，则，取的中点为，连接，如图，
，
，，，
以为边的三角形的面积，
，以为边的三角形的面积为
25．（1）①解：猜想，
证明：如下图所示，在上截取，连接，
在和中，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，；
②证明：连接、，
，，，
，，，
，，
点为的中点，，
，是的垂直平分线，，
，，；
（2）解：如下图所示，作，使，连接，，
，点为的中点，，，
，，，
，，，，
当点，，共线时，如图②，取得最小值，
，，是等边三角形，，，
，，，
，，，
，．
26．（1）①解：把代入，可得，，
根据勾股定理可得，
，点A是线段的“美好点”，故答案为：是；
②解：设，是线段的美好点，在线段的垂直平分线上，
， ，将，代入直线得， 即；
（2）解：当时，，解得，，
当时，，，为等腰直角三角形，，且，
由折叠的性质，可知且，
是线段的“黄金美好点”，则以为斜边，构建等腰，
，，
，，即，，，．
（3）解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”，
在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形，
当在上方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点，
，，
，且，，
设，得，将点代入得，
，解得，即
当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点，
同理可得，将点代入得，，
解得，即 综上，或．