第21章 一元二次方程 期末单元复习卷（含答案）人教版九年级数学上册

第21章《 一元二次方程》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
4．关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
10．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．已知，且满足，，那么的值为 .
13．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
14．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ．
15．若（为实数），则的最小值为 ．
三、解答题（8小题共75分）
16．（本题8分）解下列方程
（1）（配方法） （2）（公式法）
（3）（分解因式法）
17．（本题7分）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根．
18．（本题8分）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
19．（本题9分）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克．
（1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
天后出售
20．（本题9分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
21．（本题9分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
22．（本题11分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，即，∴．
∵，∴．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
23．（本题14分）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
参考答案
一、选择题
1．D
解：，
，
而，
，
，
故选：D．
2．C
解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
3．D
解：由题可得：,
解得：且；
故选：D．
4．B
解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
当时，，
∵，
∴此方程无解，
∴的值是1．
故选：B．
5．A
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴关于的一元二次方程即有一个根为，
即，
解得：，
故选：A．
6．C
解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
7．B
解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
8．B
解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
，
故选：B．
9．A
解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．C
解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
二、填空题
11．-1
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
12．
解： ，且满足，，
、b为方程的两个实数根，
，，
故答案为：．
13．2或3
解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
14．，
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
15．
解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
三、解答题
16．（1）x2﹣2x+1=100，（x﹣1）2=100，x﹣1=±10，所以x1=11，x2=﹣9；
（2）x2+5x﹣7=0，△=52﹣4×1×（﹣7）=53，x=
所以x1=，x2=；
（3）4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（4x﹣3）=0，2x+1=0或4x﹣3=0，所以x1=﹣，x2=；
（4）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0或x﹣2=0，所以x1=﹣4，x2=2．
17．证明：①当，
即时，方程为，解得，
所以此时方程有实数根；
②当时，，
所以此时方程有两个实数根．
综上，不论m为何值，方程总有实数根．
18．（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
19．解：
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
天后出售
（2）设商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，有题意得
．
解得，(不合题意，舍去)
答：这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元．
20．（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
21．（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
22．解：（1）设，则，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴．
（2）设最小数为x，则，
即：，
设，则，
∴，，
∵，∴，
∴，（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
23．解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．