第24章 圆 期末单元复习卷 （含答案）人教版九年级数学上册

第24章《圆》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图内接于．若，，长，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，筒车的半径为，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，，，点是的外心，点是的内心，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ）
A． B． C． D．
10．在正方形中，连接，为中点，为上一点，连接，，满足，延长交于点，连接，若，则用含的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
12．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ．
13．如图，在中，，，，点为的中点．现以点为圆心，为半径作圆．若与三角形的三边（包括顶点）有3个公共点，则的值为 ．
14．如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，点F为的中点，，，D是上的一个动点，连接，过点C作于E.连接，，则的长度是 ，的最小值是 .
15．如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，连接，交于点E，交于G，的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ．
解答题（8小题共75分）
16．（本题7分）（1）如图①，过上一点P作两条弦，．若，则平分．为什么？
（2）如图②，若点P在内，过点P的两条弦，相等，则平分吗？为什么？
17．（本题7分）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，分别求的度数；（直接写出结果）
(3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）．
18．（本题8分）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆．
(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：
①确定的外接圆的圆心；
②作出过点的切线，与的延长线交于点；
（上述两问都要保留作图痕迹）
(2)图中劣弧的长为 ．
19．（本题9分）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)的长度为多少公分？
(2)判断与的长度何者较大？请说明理由．
20．（本题9分）如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当为何值时，四边形为平行四边形？
(2)当为何值时，与相切？
21．（本题10分）如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知．
(1)抛物线对称轴为_____，_______；
(2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由；
(3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标．
22．（本题12分）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积；
(3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由；
(4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系．
23．（本题13分）已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，．
(1)______，求抛物线的解析式．
(2)如图1，是的中点，以点为圆心，为半径作．
①当取什么值时，恰好与两坐标轴相切．
②当取什么值时，恰好与两坐标轴有3个交点．
(3)如图2，点是抛物线第一象限上的一点，连接，，过点作轴于点，交于点，记，的面积分别为，，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：如图所示，连接、，
在中，，，
，
，
在中，，，
即，解得（负值已舍去），
故的直径为．
故选：D．
2．C
解：∵，
∴，
同理：.
根据勾股定理，得.
阴影部分的面积
.
故选：C.
3．B
解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，，
∵点A与关于对称，
∴，
∴，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
解：如图，过点作于点，交于点，连接，
将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心，
垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
是直径，
，
，
，
故选：C．
5．A
解：接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图，
直线表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好转到的位置倒水，
直线表示水面，筒车的圆心为，则，
由题意得，
∴，
∴是等边三角形，，
∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，
∴，
∴，
∵，
∴点在同一直线上，
∴为直径且，
∴，
∴，
∴接水槽距离水面的最大高度是，
故选：A．
6．D
解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
解：当时，，
当时，，
，
一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
，，
，，
在中，
，
如图，设与直线轴相切于点，连接，，
，，
设，
．
，
，
解得，
．
故选：A．
8．B
解：如图，作的外接圆，则圆心为点，连接并延长交于点，连接、，则，
∵，，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∵，且，
∴，
解得：，
连接、，过点作于点、于点，
∵点是的内心，
∴平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，即点在上，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即的长度为．
故选：B．
9．D
解：根据函数图象可知，当时，的值，即弦长为，
当时，取得最大值，即圆的直径为，则半径为3，
，
，
圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动，
则的运动速度是，
当时，，即，
，
是等边三角形，
则，
的路程为，
．
故选：D．
10．C
解：连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．4
解析：如图，连接，以为边作，连接，
∵的面积为，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值为
故答案为：4．
12．或
解：过点作于点，交于点，连接，．
，，
．
，，，
，．
在中，．
在中，．
当，在圆心的同侧时，
；
当，在圆心的异侧时，
．
故答案为：或．
13．或
解：∵，，，
∴，
作，，垂足分别为，，连接，
∵点为的中点，，
∴，
∴，，
∴，，
∴当时，与三角形的三边有3个公共点；
当时，恰好经过三角形的三个顶点；
故答案为：或．
14．
解：连接，
∵是半圆的直径，，点在半圆上，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点F是的中点，
∴；
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴点E的轨迹是以为直径的圆（圆心为的中点F，半径），
要使最小，即求点B到圆F上点的最短距离，
根据几何性质，点到圆上点的最短距离为 “点到圆心的距离减去半径”，
故的最小值为．
故答案为：，．
15．①②④⑤
解：①连接．
∵与是的切线，
∴，，
∴。
又，
∴，
∴∠DCO=∠BCO，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②延长交于点，连接，则，
∵，
∴，
而，
∴，
∵为直径，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，即是的角平分线，
同理可证得是的平分线，
因此E为的内心，故②正确；
③若，则应有，应有，
∴弧弧，而弧与弧不一定相等，故③不正确；
④如图，∵是直径，
∴，即．
又由②知，是的平分线，
∴是等腰的边上的中垂线，则．故④正确．
⑤∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三、解答题
16．解：（1）平分，
如图，作直径，
，
，
，
，
平分．
（2）平分．
理由如下：
作于于，连接，如图，
则，
，
，
而，
，
平分．
17．（1）解：设的度数为，则，
∵，
∴，即．
（2）解：设的度数为，则，
∵，
∴，
∴，
即，
同理：当时，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∴．
18．（1）解：①如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求；
②如图，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则即为所求；
（2）解：，，
∵，
∴，
∴图中劣弧的长为．
故答案为：．
19．（1）解：大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
公分，
为中点，
公分；
答：的长度为30公分．
（2）解：，理由如下：
由题意得：大圆的直径公分，
如图3，延长、交于点O，延长、交于点，则公分，
（公分），
（公分），
，
，
（公分），
，
，
即
20．（1）解：∵直角梯形，，
∴，
∴当时，四边形为平行四边形；
∵，，
∴，
解得：，
∴当时，四边形为平行四边形．
（2）设与相切于点，过点作，垂足为；
∵直角梯形，，
∴，
∵，，
∴，；
∵为的直径，，
∴，为的切线，
由三角形全等的性质可知，，
∴；
在中，，
∴，
即：，
∴，
，
∴，；
∵在边运动的时间为秒，
∵，
∴（舍去），
∴当秒时，与相切．
21．（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵圆与x轴交于、两点，
∴圆心在直线上，
设圆心，连接，设对称轴与x轴交于点，如图，
∵轴，与轴相切，
∴
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴圆的半径为5，即，
又，
∴，
在中，，
∴，
∴点的坐标为，
把代入得：．
故答案为：；；
（2）解：根据抛物线的对称性得，得．
∵点在点的右侧，如图，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
∴点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形；
（3）解：连接，作点关于的对称点，作直线交抛物线于点P，则平分，
∴，
设的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴的解析式为；
联立方程组，
解得或，
∴点的坐标为．
22．（1）证明：如图，连接，
∵与相切，切点为D，
∴．
在与中，
∴，
∴，即．
又∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为2，
故答案为：2；
∴阴影部分的面积为．
∴阴影部分的面积为．
（3）解：他说得正确，理由如下：
如图，连接，
∵都与相切，
∴，．
又∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，即的度数不变．
（4）解：∵，，
∴，
∵与相切，切点为D，
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴，
设（），，
由（3）知，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴与之间满足的函数关系为．
23．（1）解：∵，
，
，
，
，
把，代入函数解析式得：，
解得：；
．
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，即；
∵恰好与两坐标轴相切，
∴；
②当与坐标原点相交时，与两坐标轴有3个交点，
此时；
（3）解：，
∴设直线的解析式为：，
把代入得：，
，
设，则：，
，
，
，
∴当时，的最大值为．