第25章 概率初步 期末单元复习卷（含答案）人教版九年级数学上册

第25章《概率初步》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，其内角和为
B．在平面内任意画一个三角形，它是等腰三角形
C．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
D．过平面内不在同一直线上的三点画一个圆
2．一个不透明的袋子里装有大小、形状完全一样的7个红球和11个白球，则下列说法不正确的是（ ）
A．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件
B．从中随机摸出8个球，可能都是红球
C．从中随机摸出10个球，一定有白球
D．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大
3．调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（ ）．
A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低
B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同
C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高
D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占
4．在化学课上，老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下面四个试验中，试验结果概率最小的是（ ）
A．如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率
B．如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率
7．第一个盒中有2个白球、1个黄球、2个红球，第二个盒中有1个白球、1个黄球、2个红球，这些球除了颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取1个球，下列说法正确的是（ ）
A．取出的2个球都是黄球的概率为
B．取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为
C．取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率为
D．取出的2个球中1个黄球、1个红球的概率为
8．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：
投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率
下面有3个推断：
① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是；
② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；
③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
9．如图所示是一个正方形飞镖靶的示意图，如果向该飞镖靶任意抛一枚飞镖，飞镖插在阴影区域的概率为，飞镖插在空白区域的概率为，则和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
10．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是 ．
12．口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ．
13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ．
14．如图，一只圆形平盘被同心圆划成，两个区域（其中区域是半径为的圆，区域是圆环）．随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圆半径，则大圆半径 ．

15．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 .
解答题（8小题共75分）
16．（本题8分）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下：
落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150
落在阴影内次数 23 91 186 300
请根据以上信息，回答问题：
(1)石子落在圆内的概率约为________；
(2)估计封闭图形的面积．
17．（本题8分）为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______；
(2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明
18．（本题8分）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去．
(1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率．
19．（本题8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
(1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率．
(2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率．
20．（本题9分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
21．（本题10分）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时转动转盘A与B．
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
22．（本题11分）2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次比赛获奖的总人数共有 人；补全条形统计图
(2)扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；
(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
23．（本题13分）高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内．
(1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率；
(2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案：
方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元；
方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元．
已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A. 四边形的内角和恒为 ，而不是 ，因此该描述的事件根本不可能出现，
∴是不可能事件，故A不符合题意；
B. 画一个三角形时，是否为等腰三角形是不确定的．有可能画出等腰三角形，也有可能画出不等腰三角形．结果不确定，取决于怎么画．
∴这是一个随机事件，故B符合题意；
C. 平行四边形的对角线互相平分，图形绕交点旋转 后与自身重合，必然满足中心对称的性质，
∴是必然事件，故C不符合题意；
D. 三个不共线的点唯一确定一个圆（即唯一的外接圆），作圆的过程必然成功，
∴是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
2．B
解：A、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，说法正确，故A不符合题意；
B、从中随机摸出8个球，只有7个红球，则摸到的8个球中至少有一个白球，说法错误，故B符合题意；
C、从中随机摸出10个球，一定有白球，说法正确，故C不符合题意；
D、从中随机摸出1个球，白球的个数多于红球，则摸到白球的可能性更大，说法正确，故D不符合题意；
故选：B．
3．C
解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为，
第3人与其余2人生日均不相同的概率为：，
第4人与其余3人生日均不相同的概率为：，
第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：，
∴（50人中至少有2人生日相同的概率）；
∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高；
故选C．
4．C
解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是化学变化的有4种结果，
所以从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是，
故选：C．
5．A
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：．
故选：A．
6．D
A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4；
B. 如图2，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为 ；
C. 记小明、小红、小刚3位同学分别为A，B，C，3人随机站成一排，所有等可能的结果有，，，，，，共6种，其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有，，，，共4种，∴小明、小刚两人恰好相邻的概率为；
D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率 ．
故选：D．
7．D
解：总情况数：第一个盒子5个球，第二个盒子4个球，总共有种可能．
A：第一个盒子取黄球的概率为，第二个盒子取黄球的概率为，概率为，故本选项不符合题意；
B：分两种情况：①第一个盒子取白（概率），第二个盒子取红（概率），概率为；②第一个盒子取红（概率），第二个盒子取白（概率），概率为，总概率为，故本选项不符合题意；
C：①第一个盒子取白（概率），第二个盒子取黄（概率），概率为；②第一个盒子取黄（概率），第二个盒子取白（概率），概率为，
总概率为，故本选项不符合题意；
D：①第一个盒子取黄（概率），第二个盒子取红（概率），概率为；②第一个盒子取红（概率），第二个盒子取黄（概率），概率为，总概率为，故本选项符合题意；
故选：D．
8．B
解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理；
② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理；
③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理，
故选：B．
9．A
解：如图：
由图可得：，
4个半圆的面积是
，
设正方形的边长为，
则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
10．D
解：由题意可知．
∵，m，n均为正整数，
∴．
①当时，，
∴，
∴，
∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6，
此时的值可以是8，12，16，20．
②当时， ，，
∴， ，
∴，
∴，
∴．
③当时，，
∴，
∴，不符合题意．
综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为．
故选：D．
二、填空题
11．
解：在，，，，中，无理数有、，共个，
在个实数中，随机任取一个实数，取到无理数的概率为．
故答案为：．
12．3
解：根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
故答案为：3．
13．
解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，
根据题意，作出树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中符合条件的可能性有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是．
故答案为：．
14．
解：事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，
区域和区域的面积相等，
区域的面积为，
区域的面积为，
整理得：，
解得：或(负数不符合题意，舍去)，
大圆半径．
故答案为： ．
15．
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
则不等式组的整数解为,共4个，
画树状图如下；
共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个，
∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为．
故答案为：
三、解答题
16．（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在，
∴石子落在圆内的概率约为；
（2）解：设封闭图形的面积为．
根据题意得，解得．
则估计封闭图形的面积为．
17．（1）解：∵共有4个比赛项目，
∴恰好抽中“唐诗”的概率是．
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果有6种，
∴刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的概率为．
18．（1）解：∵在内道门处设有A，B两个出入口，
∴小字经过内道门时，从B口出去的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，
∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为．
19．（1）解：若一元二次方程有实数根，
则，
∴，
∵数字，，，中，小于等于的有，，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果：，，，，，，，，，，，，
其中落在第二象限内的有：，，共2种结果，
∴点落在第二象限内的概率为．
20．（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个，
蓝球个数为个，
答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个；
（2）解：游戏不公平，理由为：
列表为：
红1 红2 黄 蓝
红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1
红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2
黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄
蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝
由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种，
故甲胜的概率为，乙胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
21．解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则不公平．
设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．
这样的规则是公平的，理由如下：
由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则公平．
22．（1）解：本次比赛获奖的总人数共有（人），
三等奖人数：（人），
补全条形统计图如下图：
（2）解：扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是，
（3）解：树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能结果，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
23．（1）解：根据题意，画出如下树形图，
共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种，
∴(从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率；
（2）解：方案二中的定价最高为55元．
理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内，
∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内，
则商家的获利大约为（元）；
由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内），
从入口处投放一个小球落人乙槽内，
则商家的获利大约为（元）；
∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得，
故方案二中商品的定价最高为55元．