第二十二章 二次函数 期末单元复习卷（含答案）人教版九年级数学上册

第二十二章《 二次函数》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点
C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大
4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知点，，均在抛物线上，则
A． B． C． D．
6．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
8．某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．90元 B．85元 C．55元 D．80元
9．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
若时，则
若方程有四个根，且四个根和为，则
已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是
其中结论正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知抛物线与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点在第 象限．
12．若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ．
13．已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（1，0），则当2≤x≤6时，y的取值范围是 ．
14．如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ．
15．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．（6分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
17．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个图象的顶点坐标和对称轴．
18．（6分）二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点．
(1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．
19．（8分） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．
20．（8分）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？
(2)当为多少米时，花圃的面积最大？
21．（9分）二次函数（b，c为实数）的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标．
(2)点在该二次函数图象上．
①若，求点的坐标；
②当时，n的最大值是5，最小值是1，求m的取值范围．
22．（10分）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标．
23．（10分）投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．
24．（12分）抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标．
(2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标．
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数；
B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数；
C、函数化简为，是二次函数；
D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数．
故选：C
2．B
解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为，即，
故选：B．
3．C
解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意；
B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意；
C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意；
D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
4．C
解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，
则抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的解为，，可得，
设，可得，
∴，，
由上可得，方程的两个根为，，
故选：C．
5．B
解：∵，
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为，
∴当时，y随着x的增大而减少，且当和时，函数值均为，
∵，
∴ ，
故选：B．
6．D
从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误；
从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误；
从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误；
从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确．
故选：D．
7．A
解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴，即，
∴抛物线的对称轴为直线，
故选：A．
8．D
解：设每月利润为元，则，
展开得：，
此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为：
，
因，符合条件，
故售价定为80元时利润最大，
故选：D．
9．C
解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
故选：C．
10．A
解：∵过，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故正确；
当时，抛物线为，
∴，，
∴，故错误；
∵方程有四个根，
∴，各有两个根，
∴每个方程的根的和为，
∴四个根总和，
由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴点在对称轴处，即顶点，
∴为最大值，故且，
要满足，由，则需比离对称轴更近，
∴，解得，故错误；
综上，正确结论为，
故选：．
二、填空题
11．一
解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为，即在y轴右侧，
∴该抛物线的顶点在第一象限，
故答案为：一．
12．5
解： ，，
关于二次函数的对称轴对称，
，
，
故答案为：．
13．﹣4≤y≤5．
解：将点（1，0）代入y＝x2+bx+5，
得：0＝1+b+5，
解得：b＝﹣6，
∴该二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
∴该函数的对称轴为直线，
∵a＝1＞0，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵6﹣3＞3﹣2，
∴再2≤x≤6之间，当x＝6时，函数有最大值y＝62﹣6×6+5＝5，
当x＝3时，函数有最小值y＝32﹣6×3+5＝﹣4，
∴当2≤x≤6时，y的取值范围是﹣4≤y≤5．
故答案为：﹣4≤y≤5．
14．
解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
，
则的值为，
故答案为：．
15．
解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
三、解答题
16．解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m，
当m时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
17．（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
18．（1）解：设抛物线的顶点式为，
抛物线过，
，
解得．
，即．
关于直线的对称点为，
当时，；
（2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，
则新图象顶点为，
由顶点式，可得，
当时，；
当时，，
新抛物线与坐标轴的交点为，，．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC，
∴OC＝OB＝3，
∴C（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入得，
﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
如图，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点E．
设直线BC的解析式为y＝kx+3，将（3，0）代入得，0＝3k+3，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝4﹣2＝2，
∴S△CDB DE OB2×3＝3
20．（1）解：设的长为x米，则长为米且，即，
根据题意得：，
解得：或5（不合题意舍弃）.
答：边的长应是20米．
（2）解：花圃的面积为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积．
21．（1）解：二次函数的图象经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式，
，
顶点坐标为．
（2）①当时，
，
点在该二次函数图象上，
．
②的顶点坐标为，
函数的最大值为5，
n的最大值为5，点在该二次函数图象上，
m的最大值为1，
令，则，
解得：，，
m的取值范围为：．
22．（1）解：对于，当时，；当时，
．
抛物线的顶点为，
．又抛物线经过点，
，解得，
抛物线对应的函数解析式为，
（2）点在抛物线上，
，解得，
的值为1或．
（3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P．
点的坐标为，对称轴是直线，
，则直线的函数解析式为．
联立解得
故点P的坐标为．
23．（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为，
∴抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，
解得或（舍），
∵四边形是矩形，
∴，
∴（米），
∴人离壶的距离为米；
（3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，
当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入，
得，
解得，
∴，
∴．
24．（1）解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点，
当时，，
，
当时，得：， 解得或，
，．
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
，
，
设直线的解析式为，则有，
所以直线的解析式为，
设，
，
为抛物线上的点，
设 ，
设直线的解析式为，则有，
，
，
，
，
要使的值最小，即取最大值时，
，且随着的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
联立，解得，
点的坐标为，
即当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：点在一条定直线上．理由如下：
由题意知抛物线：，
联立，解得，，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为，
则 ， 解得，
直线的解析式为，
直线经过点，
，即．
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线的解析式为，
联立 ，
直线与相交于点，
，
解得 ，即，
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得 ，解得，
当，时，无论、为何值时，等式恒成立，
点在定直线上．
即点是在一条定直线上，该直线的解析式为．