第23章 旋转 期末单元复习卷（含答案）人教版九年级数学上册

第23章《旋转》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．3
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
9．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．
10．如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
13．如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
14．如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为 ．
15．如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
解答题（8小题共75分）
16．（本题8分）平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值．
17．（本题8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标．
18．（本题8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
19．（本题9分）（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接．
求：①旋转角的度数　　；②线段的长　　；③求的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明．
20．（本题9分）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
21．（本题9分）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
22．（本题11分）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
23．（本题13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．

(1)该抛物线的表达式为　　；
(2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形, 不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．B
解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限，
∴，解得：；
故选B．
3．C
解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：C．
4．D
解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故选：D．
5．C
解：由旋转的性质得，
∵M为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
6．B
解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
∵，，
，
，
与的面积之和为
．
故选：B．
7．D
解：如图，过点C作轴于点E，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，
如图，过点作轴于点，
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：D
8．B
解：过点作，交于，过点作垂足为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形和都是矩形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
故选：B．
9．A
解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：A．
10．D
解：①∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
二、填空题
11．
∵为的平分线，，
∴，
∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．
解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴．　
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．或
解：如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴；
如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴，
故答案为：或
14．
解：如图，
把绕点 逆时针旋转90°得到，
根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，
，，
，
，
在直角三角形中
故答案为：．
15．①②③
解：延长，并截取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据旋转可知，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即与面积相同，故①正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，故②正确；
当时，，
∴，，，，
∵，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴根据②可知，，
∵当时，，为中线，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
三、解答题
16．解：∵点与点关于原点对称，
∴；，
解得：，；．
∵点P在第二象限，
∴，即，
∴，
∴．
17．（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；．
18．（1）证明：是等边三角形，
，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
为等边三角形，
，
又，
．
19．解：（1）①为等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
②绕点B顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
③为等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
在中，，
，
，
为直角三角形，，
；
（2）时，．理由如下：
绕点B顺时针旋转后得到，
，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，，
，
当满足时，．
20．（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
21．（1）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
；
（3）是等边三角形，
，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时；
∴．
22．（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
23．（1）解：对称轴为直线，点的坐标为，
，
；
（2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图，
∵对称轴为直线，
∴，
，，
∴；

在中，令，得，
∴，
，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
∴，
∴，
由中点坐标公式得：，
设直线的关系式为：，
把C、E两点坐标分别代入得：，解得：，
直线的关系式为：，
联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：，
解得：（舍，，
当时，，
；
（3）解：存在；
点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于，
当在上方时，

则，设，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
∴，则，
又，
∴，
又，，
，
，，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得，（舍），
∴点Q的纵坐标为；
，
当在上方时，作对称轴于，

可知：为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
，
综上：或．