第二十一章 一元二次方程 期末单元复习卷 （含答案）人教版九年级数学上册

第二十一章《一元二次方程》期末单元复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，，
2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ）
A． B．2 C． D．或2
4．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71
A． B．
C． D．
5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A． B． C．4 D．6
9．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B． C． D．
10．对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
12．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 ．
13．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ．
14．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ．
15．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根．
利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．（每小题3分，共6分）解下列方程
(1) (2)
17．（6分）已知是方程的一个根，试求的值．
18．（7分）关于的方程，
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为3，求的值．
19．（8分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
20．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程，可将方程变形为，
然后设，则，原方程化为，
解得，，
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；
所以原方程的解为或．
问题：
(1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　；
(2)利用以上学习到的方法解下面方程：
21．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
22．（10分）已知关于x的方程．
(1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)求出方程的根（用含k的代数式表示）．
(3)若等腰三角形的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值．
23．（10分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
24．（12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当t=_______时，四边形是矩形；
(2)当是等腰三角形时，求t的值；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
解：转化为一般形式为：，
∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，，
故选：C．
2．D
解：把代入一元二次方程，得，
，
两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得，
，
．
∴当时，方程成立．
∴方程必有一根为 ，
故选：D．
3．A
解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0．
一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即．
解这个方程：，即
∴
又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得．
因此，．
故选：A．
4．C
解：由表可知，时，随x的增大而增大，
当时，，当时，，
因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是，
故选C．
5．B
解：
，，，
，
，
，
一元二次方程的两个根，其中较小的根为．
故选：B．
6．D
解：通过题意易知，矩形的面积，
又∵矩形的周围是的边框，
∴整个海报的长为，宽为，面积为，
又∵边框面积矩形图案面积，
∴边框面积，
∴海报面积图案面积边框面积，
即．
故选：D．
7．C
由新定义知：（﹣1）☆x＝
解得
此方程没有实数根
故答案为：C
8.C
解：∵方程的两个根为，
∴，
∴，
故选：C．
9．B
解：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选：B．
10．B
解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意；
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；
④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
二、填空题
11．或
解：根据题意，得，
解得，
故答案为：或．
12．
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
13．14或16
解：，
，
，
或，
，
∵是等腰三角形，
∴或，
∴或，
①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
②当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
综上，这个三角形的周长为14或16，
故答案为：14或16．
14．，
令，则方程可化为，
关于的方程的解是，，
或，
解得，．
故答案为：，．
15．
解：根据题意，构造图形如图所示:
则，，
∵，
∴，
即m就是的一个正根，
∴
解得 (负值已舍)．
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
解得：．
17．解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案为：．
18．（1）证明：，，，
，
在实数范围内，无论取何值，都有，即．
关于的方程恒有两个不相等的实数根．
（2）将代入方程，
可得，
解得．
19．（1）解：由题意得：，
即，
解得，
则m的取值范围为；
（2）由韦达定理可知：，，
若，
由可得，
即，
将，代入得：，
即，
解得，
由（1）可知，故符合题意，
因此，m的值为．
20．（1）解：根据题意可得，化为一般式为，
故答案为：；
（2）解：设，则原方程化为，
整理，得，解得或，
当时，即，解得或
当时，即，方程无解；
综上所述，原方程的解为或．
21.（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
22．（1）证明：∵，
∴不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，
．
（3）解：∵，故由等腰三角形的周长为 14 ，
得①，解得：，
∴三边长分别为，符合题意．
②，，
∴三边长分别为，符合题意．
综上所述，或．
23．（1）解：当，，时，，
能够组成一个勾系一元二次方程：；
（2）根据题意得，
∵，
∴．
即，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）当时，有，即，
∵四边形的周长，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
24．（1）解：由题意得，，，
∵四边形是矩形，
∴，即，
解得，
故答案为：3；
（2）解：作于点M，
由题意，，，，，
①当时，，
即，解得，，
②当时，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
③当时，
由勾股定理得，，
即，
解得或3，
综上所述，t的值为2，，1，3；
（3）解：不存在，理由如下：
设，则，
即，
∴，
整理得，，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不成立，
即，不存在某一时刻t使得．