第一章 三角形的证明及其应用 单元培优题（含解析）2025-2026北师大数学八年级下册

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第一章三角形的证明及其应用单元培优题2025-2026北师大数学八年级下册
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续作下去，得OP2018＝（　　）
A． B．2018 C． D．1
二．填空题（共5小题）
6．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 　 　 cm2．
7．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　 　 ．
8．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　 ．
9．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为　 　 ．
10．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　 ．
三．解答题（共15小题）
11．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
12．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝64°，求∠3的度数．
13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN．
（1）用含t的式子表示BM、MC；
（2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN；
（3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是射线BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP．
（1）如图1，点P在边BC上，写出线段PD，PE，BF之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点P在BC的延长线上．当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，求线段PD的长．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
17．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
18．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
19．如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　 　 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数．
20．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　 ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
21．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
22．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　 　
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　 　
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
23．现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 　 　 ．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 　 　 ；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
24．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
25．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
第一章三角形的证明及其应用单元培优题2025-2026北师大数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A B C
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2．
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即a+d＝b+c，
∵a＝2，b+c＝12，
d＝12﹣2＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理，用α和β表示出∠DAE的度数即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC＝90°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据折叠得出∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义可得∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°，由此即可得答案．
【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，
∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED，
∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°．
∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，
又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即，
∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是解题关键．
5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续作下去，得OP2018＝（　　）
A． B．2018 C． D．1
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1，OP2，OP32，OP4，
…，
以此类推，OP2018．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
二．填空题（共5小题）
6．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 　126或66　 cm2．
【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠ABC为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．
【解答】解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD5（cm），
在Rt△ADC中，
CD16（cm），
∴BC＝21，
∴S△ABC21×12＝126（cm2）；
当∠ABC为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD5（cm），
在Rt△ADC中，
CD16（cm），
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11（cm），
∴S△ABC11×12＝66（cm2），
故答案为：126或66．
【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
7．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　180°　 ．
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
8．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　4　 ．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
9．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为　70°　 ．
【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．
【解答】解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，
∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，
∴∠2+∠3＝180°35°，
∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．
10．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　 ．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，
∴∠BA1A（180°﹣∠B）（180°﹣40°）＝70°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1∠BA1A70°＝35°；
同理可得，∠DA3A270°＝17.5°，∠EA4A370°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．
故答案为：17.5°，．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共15小题）
11．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求．
【解答】解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键．
12．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝64°，求∠3的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，AE＝AB，从而得到∠2＝∠1＝64°，从而求出∠B+∠3＝116°，进而根据等边对等角即可解答．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD（全等三角形对应角相等），AE＝AB（全等三角形对应边相等）．
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠2＝∠1＝64°，
∴∠B+∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣64°＝116°，
∴AE＝AB，
∴∠3＝∠B＝58°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝0B＝OC＝5cm；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN．
（1）用含t的式子表示BM、MC；
（2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN；
（3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）由点N的运动速度也为每秒1cm，则NC＝t，BM＝NC，再由△DBM≌△MCN，则MC＝BD＝6，所以10﹣t＝6，然后求解即可；
（3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC，△DBM≌△NCM，则BM＝MC，NC＝BD＝6，即M为BC中点，所以t＝10﹣t，然后求解即可；
【解答】解：（1）由题意得：BM＝t，MC＝10﹣t；
（2）∵点N的运动速度也为每秒1cm，
∴NC＝t，BM＝NC，
∵△DBM≌△MCN；BD＝6cm，
∴MC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等），
∴10﹣t＝6，
解得t＝4，
∴t＝4时，△DBM≌△MCN；
（3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC，
∵△DBM≌△NCM，
∴BM＝MC，NC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等），
∴M为BC中点，
∴t＝10﹣t，
解得：t＝5，
∴点N的速度为每秒．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是射线BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP．
（1）如图1，点P在边BC上，写出线段PD，PE，BF之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点P在BC的延长线上．当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，求线段PD的长．
【分析】（1）由题意得出S△ABC＝S△ABP+S△APC，则有，再结合AB＝AC即可得出结论；
（2）由题意得出S△ABC＝S△ABP﹣S△APC，则有，再结合AB＝AC，得出BF＝PD﹣PE，由三角形的面积求出BF的长，最后即可得出答案．
【解答】解：（1）BF＝PD+PE，理由如下：
∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABP+S△APC，即，
∵AB＝AC，
∴BF＝PD+PE；
（2）∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△APC，即，
∵AB＝AC，
∴BF＝PD﹣PE．
∵S△ABC＝10，
∴AC BF＝10，
∵AC＝AB＝5，
所以，
整理得，5BF＝20，
解得BF＝4，
∴PD＝BF+PE＝4+2＝6，
所以线段PD的长为6．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等积法是解题的关键．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
17．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
【分析】（1）过点P作PF平行于AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB＝AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP＝PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP＝CQ，等量代换得PF＝CQ，再加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF＝CDCF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长．
（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE＝EF，再又第一问的全等可知DF＝CD，所以ED＝EF+FD＝BE+DCBC＝3，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值．
【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF＝CDCF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FCBC＝3，
∴CDCF；
（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB＝PF，
BE＝EF，
∴PF＝CQ，
∴FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BE+DCBC＝3，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PMC，
∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD＝DM，
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴ED＝EM﹣DMDMDM＝3+DM﹣DM＝3，
综上所述，线段ED的长度保持不变．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
18．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可求出答案；
（2）h1﹣h2＝h；
（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在；
【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，
∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，
S△ABMAB×MEAB×h1，
S△AMCAC×MFAC×h2，
又∵S△ABCAC×BDAC×h，AB＝AC，
∴AC×hAB×h1AC×h2，
∴h1+h2＝h．
（2）解：如图所示：
h1﹣h2＝h．
（3）解：在yx+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，
所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB5，AC＝5，所以AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：My＝OB，My＝3，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx，
所以此时M（，）．
②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：MyOB，My＝3，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx，
所以此时M（，）．
③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在；
综上所述：点M的坐标为M（，）或（，）．
【点评】（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．
19．如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　36　 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数．
【分析】（1）连接AD并延长，用两次外角定理即可．
（2）①依据（1）中的结论即可解决问题．
②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
连接AD并延长到点E，
∵∠BDE是△ABD的外角，
∴∠BDE＝∠B+∠BAD．
同理，∠CDE＝∠C+∠CAD，
则∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C．
又∠BDE+∠CDE＝∠BDC，∠BAD+∠CAD＝∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）中的结论可知，
∠X＝∠ABX+∠A+∠ACX．
又∠A＝54°，∠X＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为：36．
②由（1）中的结论可知，
∠DBE＝∠CDB+∠DCE+∠CEB，
则∠CDB+∠CEB＝∠DBE﹣∠DCE．
又DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠CDB，∠AEC＝∠CEB．
则∠ADC+∠AEC＝∠CDB+∠CEB．
又∠DCE＝∠ADC+∠DEA+∠AEC，
∴∠DCE＝∠DBE﹣∠DCE+∠DAE．
即∠DCE．
又∠DAE＝α，∠DBE＝β，
所以∠DCE．
【点评】本题考查三角形内角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整体思想是解题的关键．
20．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
21．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
22．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　15°　
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　20°　
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　∠EDC∠BAD
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．
（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．
（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC∠BAD）．
（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC∠BAD
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．
23．现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 　∠1＝2∠A ．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 　∠1+∠2＝2∠A ；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
故答案为：（1）∠1＝2∠A；
（2）∠1+∠2＝2∠A．
（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【点评】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．
24．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝40°，所以∠CDF＝20°，又由平角定义，可求∠ACD＝130°，所以∠ECD＝65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD＝∠F+∠CDF，∠F＝45度．
（2）同理可证，∠F＝45度．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．
（2）不变化，∠F＝45°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°∠OCD，∠CDF＝45°∠OCD．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．
【点评】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．
25．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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