第一章 幂的运算 培优题（含解析）2026年北师大版七年级下册数学

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2026年北师大版七年级下册数学第一章幂的运算培优题
一．选择题（共8小题）
1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
3．已知ax+20，bx+19，cx+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
6．若M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（　　）
A．零 B．负数 C．正数 D．整数
7．若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（　　）
A．﹣1006 B．﹣1007 C．﹣1008 D．﹣1009
8．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
二．填空题（共4小题）
9．已知2m+5n+3＝0，则4m×32n的值为　 　 ．
10．若m2﹣5m+1＝0，则　 　 ．
11．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　 　 ．
12．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008+22009，则2S＝2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S＝22010﹣1，所以1+22+23+…+22009＝22010﹣1仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是　 　 ．
三．解答题（共17小题）
13．已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
14．已知x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p 27﹣q，用x，y表示z的代数式．
15．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n的值．
16．回答下列问题
（1）填空：x2（x）2﹣　 　 ＝（x）2+　 　
（2）若a5，则a2　 　 ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2的值．
17．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果8x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
18．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式：　 　 ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
19．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
20．阅读下面的材料并填空：
①（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1）
②（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1）＝　 　 ×　 　
③（1）（1）＝1，反过来，得1　 　
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1）（1）（1）……（1）（1）（1）
21．有一系列等式：
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　 　
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
22．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　 ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　 ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
23．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
请借鉴该同学的经验，计算：．
24．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2015）+M（2016）的值：
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
25．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定填空：（4，16）＝ 　 　 ，（5，1）＝ 　 　 ，（6， 　 　 ；
（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
26．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝　 　 ，log216＝　 　 ，log264＝　 　 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN＝　 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am an＝am+n以及对数的含义证明你的猜想．
27．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
28．（1）从图1～3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，求关于a，b的等量关系．
（2）尝试解决：
①已知a﹣3b＝3，ab＝2，求（a+3b）2的值；
②已知（7﹣x）（8﹣x）＝6，求（7﹣x）2+（8﹣x）2的值．
（3）填数游戏：如图4，把数字1～9填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17，将每边四个数字的平方和分别记作A，B，C，已知A+B+C＝299．若将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x，y，x+y，则xy的值为　 　 ．（直接写出答案）
29．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　 　 ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　 平方单位．
2026年北师大版七年级下册数学第一章幂的运算培优题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D A C D C
一．选择题（共8小题）
1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
【点评】变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
3．已知ax+20，bx+19，cx+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
【解答】解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），
又由ax+20，bx+19，cx+21，
得（a﹣b）x+20x﹣19＝1，
同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，
所以原式＝a﹣2b+cx+20﹣2（x+19）x+21＝3．
故选B．
法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，
[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
（1+1+4）＝3．
故选：B．
【点评】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键．
4．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．
【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
所求式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．
5．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【分析】要把代数式x2+y2+2x﹣4y+7进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围．具体如下：
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故选：A．
【点评】主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．
6．若M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（　　）
A．零 B．负数 C．正数 D．整数
【分析】本题可将M进行适当变形，将M的表达式转换为几个完全平方式的和，然后根据非负数的性质来得出M的取值范围．
【解答】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13，
＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2），
＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2＞0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，将M的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键．
7．若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（　　）
A．﹣1006 B．﹣1007 C．﹣1008 D．﹣1009
【分析】设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可．
【解答】解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]（12﹣2019）＝﹣1009；
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
8．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
【点评】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案．
二．填空题（共4小题）
9．已知2m+5n+3＝0，则4m×32n的值为　　 ．
【分析】都化成以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2m+5n＝﹣3，再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：4m×32n，
＝22m×25n，
＝22m+5n，
∵2m+5n+3＝0，
∴2m+5n＝﹣3，
∴4m×32n＝2﹣3．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数的性质，要注意整体思想的利用．
10．若m2﹣5m+1＝0，则　23　 ．
【分析】由于m≠0，把m2﹣5m+1＝0两边除以m可得到m5，再把m5两边平方得到m2+225，变形即可得到m2的值．
【解答】解：∵m2﹣5m+1＝0，
∴m﹣50，即m5，
∴（m）2＝25，
∴m2+225，
∴m223．
故答案为23．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力．
11．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　±4　 ．
【分析】将2a+2b看作整体，用平方差公式解答，求出2a+2b的值，进一步求出（a+b）的值．
【解答】解：∵（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，
∴（2a+2b）2﹣12＝63，
∴（2a+2b）2＝64，
2a+2b＝±8，
两边同时除以2得，a+b＝±4．
【点评】本题考查了平方差公式，整体思想的利用是解题的关键，需要同学们细心解答，把（2a+2b）看作一个整体．
12．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008+22009，则2S＝2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S＝22010﹣1，所以1+22+23+…+22009＝22010﹣1仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是　　 ．
【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52009，
则5S＝5+52+53+…+52010，
5S﹣S＝﹣1+52010，
4S＝52010﹣1，
则S．
故答案为：
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
三．解答题（共17小题）
13．已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
【分析】由2a＝3，2b＝5，2c＝30，可得2a 2b＝15，则可得2 2a 2b＝30，继而求得a，b，c之间的关系．
【解答】解：∵2a＝3，2b＝5，2c＝30，
∴2a 2b＝15，
∴2 2a 2b＝30，
∴2a+b+1＝2c，
∴a+b+1＝c．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题难度适中，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
14．已知x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p 27﹣q，用x，y表示z的代数式．
【分析】由于z＝4p 27﹣q＝（22）p （33）﹣q＝（2p）2 （3﹣q）3，题目要求用x，y表示z，又x＝3﹣q，那么关键是用y的代数式表示2p．由y﹣1＝21﹣p，根据负整指数幂的意义，可知2p＝2y．
【解答】解：由y﹣1＝21﹣p，
得，
所以2p＝2y．
z＝4p 27﹣q＝（22）p （33）﹣q＝（2p）2 （3﹣q）3＝（2y）2 x3＝4x3y2．
【点评】本题综合考查了幂的运算性质、负整指数幂的意义及代数式的恒等变形．本题能够由已知条件y﹣1＝21﹣p，得出2p＝2y是解题的关键．
15．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n的值．
【分析】将已知的式子利用多项式乘以多项式的法则变形，合并后根据乘积中不含x2和x3项，得到这两项系数为0，列出关于m与n的方程，求出方程的解即可得到m与n的值．
【解答】解：（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）
＝x4+nx3+3x2﹣3x3﹣3nx2﹣9x+mx2+mnx+3m
＝x4+（n﹣3）x3+（3﹣3n+m）x2+（mn﹣9）x+3m，
∵乘积中不含x2和x3项，
∴n﹣3＝0，3﹣3n+m＝0，
解得：m＝6，n＝3．
【点评】本题主要考查多项式的乘法，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
16．回答下列问题
（1）填空：x2（x）2﹣　2　 ＝（x）2+　2　
（2）若a5，则a2　23　 ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2的值．
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答；
（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a3，然后根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a＝0时方程不成立，
∴a≠0，
∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣30，
移项得：a3，
∴a2（a）2﹣2＝7．
【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
17．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果8x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25，
∴3x＝5，
解得x；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m
＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形是关键．
18．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式：　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2 ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
【分析】（1）由题意得：长方形的面积＝长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式；
（2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形．
【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，
∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，
∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），
由此可画出的图形为：
【点评】本题考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型．
19．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【分析】（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S（3n+1﹣1），
则1+3+32+33+34+…+3n（3n+1﹣1）．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．
20．阅读下面的材料并填空：
①（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1）
②（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1）＝　　 ×　　
③（1）（1）＝1，反过来，得1　（1）（1）　
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1）（1）（1）……（1）（1）（1）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1），
②（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1），
③（1）（1）＝1，反过来，得1（1）（1）
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1）（1）（1）……（1）（1）（1）
．
故答案为：，，（1）（1）．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．
21．有一系列等式：
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　892
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解；
（2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方．
【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；
故答案为：892；
（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，
等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2 3n （n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，
左边＝右边．
【点评】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算．
22．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1　 ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1　 ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为：①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
23．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2（1）（1）（1）（1）（1）
＝2（1）
＝2．
【点评】此题考查了平方差公式的应用，弄清题意是解本题的关键．
24．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2015）+M（2016）的值：
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【分析】（1）根据M（n），可得M（5），M（6），根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据乘方的意义，可得M（2015），M（2016），根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据乘方的意义，可得M（n），M（n+1），根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；
（2）2M（2015）+M（2016）＝2×（﹣2）2015+（﹣2）2016＝﹣（﹣2）×（﹣2）2015+（﹣2）2016＝﹣（﹣2）2016+（﹣2）2016＝0；
（3）2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1＝0，
∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，相反数的性质：互为相反数的和为零．
25．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定填空：（4，16）＝ 　2　 ，（5，1）＝ 　0　 ，（6， 　﹣2　 ；
（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据新运算的定义计算即可；
（2）根据新运算的定义和同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵42＝16，50＝1，6﹣2，
（4，16）＝2，（5，1）＝0，（6，）＝﹣2．
故答案为：2，0，﹣2．
（2）a，b，c之间的数量关系为2a+b＝c．理由如下：
∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，
∴3a＝4，3b＝6，
∵（3，96）＝c，
∴3c＝96＝42×6＝32a 3b＝32a+b，
∴2a+b＝c．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
26．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝　2　 ，log216＝　4　 ，log264＝　6　 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN＝　loga（MN）　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am an＝am+n以及对数的含义证明你的猜想．
【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；
（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；
（3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则M，N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
（2）log24+log216＝log264；
（3）猜想logaM+logaN＝loga（MN）．
证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则M，N，
故可得MN ，b1+b2＝loga（MN），
即logaM+logaN＝loga（MN）．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
27．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
【分析】（1）由题意可求得当n＝1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n＝1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；
（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：（1）∵当n＝1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0，
当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1，
当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3，
当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6，
…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；
（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；
（3）∵当n＝1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21，
当n＝2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22，
当n＝3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23，
当n＝4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S＝2n．
【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．
28．（1）从图1～3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，求关于a，b的等量关系．
（2）尝试解决：
①已知a﹣3b＝3，ab＝2，求（a+3b）2的值；
②已知（7﹣x）（8﹣x）＝6，求（7﹣x）2+（8﹣x）2的值．
（3）填数游戏：如图4，把数字1～9填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17，将每边四个数字的平方和分别记作A，B，C，已知A+B+C＝299．若将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x，y，x+y，则xy的值为　2　 ．（直接写出答案）
【分析】（1）观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；
（2）①根据（a+3b）2＝（a﹣3b）2+12ab代入求值即可；②先得出（7﹣x）﹣（8﹣x）＝﹣1，再得出[（7﹣x）﹣（8﹣x）]2＝1，最后利用（1）的结论解答即可；
（3）先求数字1～9的和，再求出12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，最后根据（x+y）2﹣2xy＝5得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（填一个即可）
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（填一个即可）
（2）①∵ab＝2，∴12ab＝24，
∵（a+3b）2＝（a﹣3b）2+12ab，a﹣3b＝3，12ab＝24，
∴（a+3b）2＝32+24＝33；
②∵（7﹣x）﹣（8﹣x）＝﹣1，
∴[（7﹣x）﹣（8﹣x）]2＝1，
∵（7﹣x）（8﹣x）＝6，
∴（7﹣x）2+（8﹣x）2＝1+2（7﹣x）（8﹣x）＝1+12＝13；
（3）数字1～9的和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
∵各边上的四个数字的和都等于17，
∴17×3﹣45＝6，
∴x+y+（x+y）＝6，即x+y＝3，
∵每边四个数字的平方和分别记A、B、C，满足A+B+C＝299，
且12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，
∴x2+y2+（x+y）2＝299﹣285，
∴x2+y2+9＝299﹣285，
∴x2+y2＝5，
∴（x+y）2﹣2xy＝5，
∴xy＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，看懂和理解题图是解决本题的关键．
29．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　12　 ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　384　 平方单位．
【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（2）根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可；
（3）根据题意可得，（20﹣x）（12﹣x）＝160，即（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，根据（1）中提供的方法，求出（20﹣x）2+（12﹣x）2的结果就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]（32﹣2020）；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．
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