《垂径定理（第一课时）》教案
教学目标：
1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法
教学重点：垂径定理的掌握及运用.
教学难点：垂径定理的探索和证明
教学用具：圆规，三角尺，课件
教学过程：
一、开门见山，直入课题
上一节课我们认识了圆的相关概念，这节课我们来学习圆的有关性质。
二、新课
（一）探究1：
1、剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
通过实验学生发现：圆是轴对称图形，有无数条对称轴。
老师提问：圆的对称轴是什么？强化直径所在的直线是圆的对称轴。并且让学生在练习本的圆上画出圆的一条轴CD
老师提问：你能证眀圆是一个轴对称图形吗？学生思考
老师再提问:既然圆是个轴对称图形，那现在在你所画的圆上任意取一点A，你能做出点A关于CD的对称点吗？你是如何做的？你找的点在哪儿？
2、学生自己动手找点A的对称点，并且给与说明。
学生在老师的引导下说出自己的想法，老师规范并且给与证明
老师：因为圆是无数个点组成，要证明圆是一个轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上。
3、设CD是⊙O 的任意一条直径，A为⊙O 上的点C，D以外的任意一点，过点A作AA’ ⊥CD,交⊙O 于点A’,
垂足为M，连接OA,OA’
在△OAA’中，
∵OA=OA’
∴△OAA’是等腰三角形
又∵AA’ ⊥CD，∴AM=MA’
即CD是AA’的垂直平分线。
这就是说，对于圆上任意一点A,
在圆上都有关于直线CD的对称点A’，因此关于直线CD对称.
所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴
（二）探究2
1、从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA ′ ，垂足为E,那么点A和A ′是对称点.若把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A ′重合，由此你发现还有哪些量重合？能得到哪些等量关系？
学生观察老师的课件，通过课件的翻折思考得到哪些量重合，有哪些等量关系
线段AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD,由此我们就得到垂径定理：
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，
且平分这条弦所对的弧。
2、分析垂径定理的条件和结论
（1）、此定理得条件是两个：直径，垂直于弦，结论有三个：平分弦，平分弦所对的两段弧
老师给与定理得符号语言
（2）、若此定理中的平分弦与垂直弦互换，此命题是否还成立？既（平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
学生观察，思考，并且给与证明。老师强调平分弦（此弦不能是直径）从而得到垂径定理得推论
（3）、利用反例、变式图形进一步掌握定理
看下列图形，是否能使用垂径定理？
引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
（三）例题：
在上述第4个图形的基础上对问题进行延伸：
若AB=8，OE=3，则r=__________
若r=5,OE=3,则AB=___________
若r=5,EF=2,则AB=_______________(延长OE交圆于点F)
（学生思考，上黑板板演，老师再课件演示）
若r=5,EF=8,则AB=__________(延长EO交圆于点F)
若AC⊥AB,OD⊥AC,则四边形ODAE是什么图形？
若AC⊥AB,OD⊥AC, 且AC=AB,则四边形ODAE是什么图形？
（四）应用
同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
其中赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的
半径（即AB所在圆的半径）是多少？
老师引导学生若此圆的圆心为O，则根据你对垂径定理得理解，你认为圆心O,C,D有什么位置关系？（学生回答在同一条直线上），老师画出图形，学生自己解决，老师规范步骤。
解：如图，用AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m
∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=r-7.23
解得r≈27.3（m）
即主桥拱半径约为27.3m.
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
(虎山中学牟丽丽)
课件12张PPT。24.1.2 垂直于弦的直径（1） 人教版九年级上册 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？探究1：你能证明这个结论吗？要证明圆是一个轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上。
设CD是⊙O 的任意一条直径，A为⊙O 上的点C，D以外的任意一点，过点A作AA’ ⊥CD,交⊙O 于点A’,
垂足为M，连接OA,OA’
在△OAA’中，
∵OA=OA’
∴△OAA’是等腰三角形
又∵AA’ ⊥CD，∴AM=MA’
即CD是AA’的垂直平分线。
这就是说，对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A’，因此关于直线CD对称.
所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴A探究2： 从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA ′ ，垂足为M,那么点A和A ′是对称点.若把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A ′重合，由此你发现还有哪些量重合？能得到哪些等量关系？·OAA ′CDM线段: AM=A′M垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AA ′ ∵ CD是直径，∴ AE=BE,·OABCDE归纳：反过来，平分弦的直径垂直于弦吗？平分弦所对的两条弧吗？ 推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是深化：OBA└E问题1：若AB=8，OE=3，则半径r =________问题2：若半径r=5，OE=3，
则AB=_________问题5：若AB ⊥AC,四边形OEAD是什么图形？为什么？问题6：若AB=AC，AB ⊥AC,四边形OEAD又是什么图形？为什么？问题3：若半径r=5，EF=2，
则AB=_________F问题4：若AB=8，EF=2，
则半径r=______解：∵OE ⊥AB ∴AE=EB=4
∵EF=2 ∴0E=r-2
在Rt △AOE中，由勾股定理，
得 OA2=AE2+OE2
即r2=42+(r-2)2 解得r=5F8圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1 m）．应用：∴ AB=37m，CD=7.23m∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=r-7.23∵ ∴解得r≈27.3（m）即主桥拱半径约为27.3m.总结；这节课你学到了哪些知识？OABE解：连接OA ,∴∴即⊙O的半径为5cm.∵OE⊥AB
