(共34张PPT)
第1课时 二次根式的加法与减法
01
课前预习
二次根式的加减
法 则:一般地，二次根式加减时,先将二次根式化成______二次根式,
再将__________相同的二次根式合并.
依 据:逆用分配律,与合并同类项类似.
步 骤:（1）化简——将二次根式化成最简二次根式;
（2）识别——找出被开方数相同的二次根式;
（3）合并——类似于合并同类项,将被开方数相同的二次根式进行
合并.
注 意:化简后被开方数不同的二次根式不能合并.#1.4
最简
被开方数
02
考点探究
1
可以合并的二次根式
例1 下列各式中,能与 合并的二次根式是( )
D
A. B. C. D.
2
二次根式的加减
例2 （教材P13例1变式）计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
例3 （教材P13例2变式）计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
3
二次根式的加减的应用
例4 （教材P14例3变式）现有一块长为、宽为 的木板,
能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两块面积分别是
和 的正方形木板？
解： 在这块木板上截出两块面积分别是和 的正
方形木板,
这两块正方形木板的边长分别为和 .
,而, ,
能够在这块木板上截出两块面积分别是和 的正
方形木板.
03
课堂检测
1.计算 的结果是( )
C
A.5 B.6 C. D.
2.下列根式中,可以与 合并的是( )
B
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.已知三角形的三边长分别为,, ,则这个三角
形的周长为______________ .
5.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
第2课时 二次根式的混合运算
01
课前预习
二次根式的混合运算
运算顺序:与有理数的运算顺序一样,先算______,再算______,最后算
加减,有括号时先算______里的（或先去掉括号）.
运算依据:整式的乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.
注 意:计算结果如果是二次根式,一定要化成______二次根式.
乘方
乘除
括号
最简
02
考点探究
1
二次根式的混合运算
例1 计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
2
二次根式与乘法公式
例2 已知，求 的值.
解： .
当时，原式 .
【变式】 已知, .
（1）求, 的值;
解：, ,
;
.
（2）求 的值.
解：由（1）知,, ,
.
03
课堂检测
1.计算 的结果为( )
B
A. B. C. D.
2.计算 的结果为( )
B
A.2 B. C. D.
3.计算: ___.
5
4.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
5.计算： .
解：原式
.
6.已知, ,求下列各式的值:
（1） ;
解：原式
.
（2） .
解：原式
.(共52张PPT)
第1课时 二次根式的乘法
01
课前预习
1.二次根式的乘法法则
法 则: .
拓 展:（1）二次根式的乘法法则对于多个二次根式相乘也适用,例
如 ;
（2） ,利用它可以进行二次根式的化简.
2.二次根式的化简
目 的:二次根式的化简,就是要将二次根式的被开方数中能开得尽平
方的因数或因式从根号中开出来.
注 意:（1）数的开方,关键是将开得尽方的因数从根号中开出来;
（2）被开方数如果含有字母,一要考虑二次根式的隐含条件
（被开方数是非负数）,二要考虑整个式子的值的符号；
（3）在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
02
考点探究
1
例1 （教材P6例1变式）计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
2
例2 （教材P7例2变式）化简:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
例3 （教材P7例3变式）计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
03
课堂检测
1.一个长方形的长和宽分别是和 ,则这个长方形的面
积为_____ .
2.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
3.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
第2课时 二次根式的除法
01
课前预习
二次根式的除法法则
法 则:,___0 .
拓 展:把 反过来,就得到
_ ____________________,利用它可以进行二次根式的化简.
02
考点探究
1
例1 （教材P8例4变式）计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
2
例2 （教材P8例5变式）化简:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
【点悟】在逆用二次根式的除法法则 时,一定要注意各
字母的取值范围为, .
（1）分母有理化是指在二次根式中分母原为无理数,而将分母
化为有理数的过程,也就是将分母中的根号去掉.进行分母有理化之
前,要先把分子、分母中的二次根式进行化简.
（2）分母有理化常用的两种方法:一是分子、分母都乘适当的
二次根式;二是根据题目的特点,把分母或分子适当地分解因式,再约分.
3
二次根式的应用
例3 （教材P9例6变式）设长方形的面积是,相邻两边的长分别是, .
（1）若,,求 的长;
解：由题意,得 .
（2）若,,求 的长.
解：由题意,得 .
03
课堂检测
1.计算 的结果为( )
A
A. B.5 C. D.
2.化简 结果正确的是( )
B
A. B. C. D.7
3.化简: _____.
4.已知长方形的面积是24,其中一边长为 ,则相邻的一边长为______.
5.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
6.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
第3课时 最简二次根式
01
课前预习
最简二次根式
定 义:如果二次根式的被开方数不含______,且被开方数中不含能开
得尽平方的____________,我们就把这样的二次根式叫作最简二次
根式.
注 意:在二次根式的运算中,一般要把最后结果化简，使其中的二次
根式为______________,并且分母中不含二次根式.
分母
因数或因式
最简二次根式
02
考点探究
1
最简二次根式
例1 下列式子是最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
2
化简二次根式
例2 把下列式子化成最简二次根式：
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
【变式】 化简:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
03
课堂检测
1.下列根式中,不是最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
2.若二次根式是最简二次根式,则正整数 的最小值为___.
2
3.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二
次根式的进行化简.
（1） ;
解： ,含有开得尽平方的因数,因此它不是最简二次根式.
（2） ;
解： ,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
（3） ;
解： 被开方数不含分母,且被开方数中不含能开得尽平方的因数或
因式,因此它是最简二次根式.
（4） ;
解： ,在二次根式的被开方数中,含有小数,因此它不
是最简二次根式.
（5） .
解： ,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
4.计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
5.计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .(共35张PPT)
第1课时 二次根式的概念
01
课前预习
1.二次根式
定 义:一般地,我们把形如____的式子叫作二次根式,“ ”称为
__________.
注 意:（1）形式上必须是“ ”的形式;
（2）被开方数 必须是______数.
二次根号
非负
2.二次根式有意义的条件
条 件:二次根式的被开方数____________0.
拓 展:求被开方数中所含字母的取值范围是字母满足题目要求的条
件,一般可分为两种类型思考:一类是求使字母所在的式子有意义时,
字母满足的条件;另一类是求使字母所在的实际问题有意义时,字母
满足的条件.
大于或等于
02
考点探究
1
二次根式的概念
例1 有下列式子：,,,,,,, ,
.其中是二次根式的是:_____________________
_______________________.
,,,
,
2
二次根式有意义的条件
例2 当 满足什么条件时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） ;
解：由题意,得,解得, 当时, 在实数范
围内有意义.
（2） ;
解：由题意,得 ,
,解得, 当时, 在实数范围内有
意义.
（3） ;
解：由题意,得解得 ,
当时, 在实数范围内有意义.
（4） .
解：由题意,得解得且 ,
当且时, 在实数范围内有意义.
【点悟】（1）二次根式的被开方数大于或等于0;（2）分式的
分母不能等于0;（3）零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于0.
3
二次根式的实际应用
例3 （教材P3练习T1变式）如图,计划围一个面积为 的长方形
场地,一边靠旧墙墙长为 ,另外三边用篱笆围成,且它的长与宽
之比为 讨论方案时,小英说:“我们不可能围成满足要求的长方形
场地.”请你判断小英的说法是否正确,为什么？
解：不正确.理由如下:
设长方形场地的长为,宽为 ,
由题意,得,解得 （负值已舍去）,
该长方形场地的长为,宽为 .
,.由上可知,且 .
若长与墙平行,墙长只有 ,故不能围成满足条件的长方形场地;
若宽与墙平行,则能围成满足条件的长方形场地.
小英的说法不正确.
03
课堂检测
1.下列式子中,不属于二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
2.已知是二次根式,则 的值可以是( )
C
A. B. C.2 D.
3.已知一个正方形的面积是6,则它的边长为____.
4.若式子在实数范围内有意义,则 应满足的条件是______.
5.当 满足什么条件时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ;
解：任意实数.
（4） .
解： .
6.当时,求 的值.
解：当时, .
第2课时 二次根式的性质
01
课前预习
二次根式的性质
性 质:（1）___ ;
（2）___ ;
（3）___ .
注 意:（1）对于二次根式,不仅被开方数为非负数,而且 本身
也是一个非负数;
（2）由式子,知;反之,当时, ,利用它
可以把一个非负数写成一个数的平方的形式.
拓 展:当时, .
02
考点探究
1
二次根式的性质
例1 已知,则 ___.
6
2
利用 进行计算
例2 计算:
（1） ;
解： .
（2） .
解：
3
利用 进行计算
例3 求下列各式的值:
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
03
课堂检测
1.下列计算正确的是( )
C
A. B. C. D.
2.要使二次根式有意义，则 应满足的条件
是( )
C
A. B. C. D.
3.下列式子中,计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.已知是整数,则正整数 的最小值是( )
D
A.4 B.2 C.3 D.1
5.若,则 的取值范围是______.
6.若实数,, 在数轴上对应点的位置如图所示,则化简
___________.
