(共18张PPT)
21.2.3 三角形的中位线
01
课前预习
1.三角形中位线的概念
定 义：连接三角形两边______的线段叫作三角形的中位线.
易混点：三角形的中位线的两个端点均为边的中点，而三角形中线
的一个端点是边的中点，另一个端点是顶点，两者不同.
拓 展：三角形的中位线有3条，它们组成一个新的三角形，并且三
角形的3条中位线把原三角形分成4个小三角形，这些小三角形均全
等，每个小三角形的面积是原三角形面积的__.
中点
2.三角形的中位线定理
定 理：三角形的中位线______于三角形的第三边，并且等于第三
边的______.
作 用：（1）可以证明两条直线平行；
（2）可以证明线段相等或倍分的关系.
平行
一半
02
考点探究
1
三角形的中位线的证明
例1 （教材63探究）如图，，分别是的边， 的中
点，求证：，且 .
例1答图
证明：如答图，延长到点，使 ，连接
， ，AF.
， ，
四边形是平行四边形， .
，
四边形是平行四边形， .
又，， .
2
三角形的中位线的运用
例2 如图，在中，，，分别为边 ，
，的中点.求证：四边形 是平行四边形.
证明：，，分别为，， 的中点，
，均为 的中位线.
，， 四边形 是平行四
边形.
【点悟】三角形的中位线为证明几何中的平行关系、线段的倍
分关系提供了新的依据，所以在处理相关几何问题时，若遇到中点
或中位线时，可以联想中位线的性质，或通过作辅助线构造中位线，
为求解问题提供方便.
【变式】 如图，的中线，相交于点，， 分别是
，的中点，线段与线段 之间有什么关系？为什么？
变式答图
解：， .理由如下：
如答图，连接 .
，分别是， 的中点，
是的中位线，， .
同理，， ，
， .
03
课堂检测
1.如图，在等边中，，分别是， 的中
点，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，，分别是， ，
，的中点.若，则 ( )
B
A.4.5 B.6 C.7 D.8
3.如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面 垂
直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端 离地
面的高度为____ .
80
4.如图，在中，对角线，相交于点，是 的中
点，，则的长为____ .
10
5.如图，在中，平分 ，
，.求证： .
证明：，平分 ，
为边上的中线，为 的中点.
，为 的中点.
为的中位线， .(共43张PPT)
第1课时 矩形的性质
01
课前预习
1.矩形的概念
定 义：有一个角是______的平行四边形叫作矩形.
注 意：（1）矩形首先是平行四边形，然后增加“有一个角是直角”
这一特殊条件；
（2）矩形的定义既可作为矩形的性质，又可作为矩形的判定.
直角
2.矩形的性质
性 质：（1）矩形的四个角都是______；
（2）矩形的对角线______.
拓 展：（1）矩形是特殊的平行四边形，因此具有一般平行四边形
的所有性质；
（2）矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点连线所在的直线，两
条对称轴的交点也是对角线的交点.
直角
相等
3.直角三角形斜边上的中线的性质
性 质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
拓 展：直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题也是真命题，即
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是
____________.
一半
直角三角形
02
考点探究
1
矩形的概念与性质
例1 证明：矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形 是矩形.
求证： .
证明： 四边形 是矩形，
四边形是平行四边形， ，， .
， ，
.
例2 证明：矩形的对角线相等.
已知：如图，在矩形中，连接，BD.求证： .
证明： 四边形是矩形， ，____.
又，， .
则在“____”处应该补充的证明过程是( )
C
A. B.
C. D.
例3 （教材69例1变式）如图，在矩形中，对角线，
相交于点， ，，求矩形 的面积.
解： 四边形 是矩形，
，，， ，
.
， ， 是等边三角形，
.
在 中，由勾股定理，得
，
.
2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例4 （教材 69思考）下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅
助线的方法，选择其中一种方法，完成证明.#1
证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半. 已知：如图，在中， ， 是 的中点. 求证： .
方法一： 证明：如图①，延长到点 ，使得 ，连接， . __________________________________________ 方法二：
证明：如图②，取 的
中点 ，连接DE.
________________________________
①
②
证明：方法一：如图①，延长到点，使得，连接 ，
BE.
是的中点， .
又， 四边形 是平行四边形.
， 四边形是矩形， .
.
方法二：如图②，取的中点 ，连接DE.
是的中点，是 的中位线，
， ，
是线段的垂直平分线， .
， .
03
课堂检测
1.如图，在矩形中，对角线， 相交于点
，若，则 的长为( )
C
A.7 B.8 C.14 D.16
2.在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是( )
A
A.6 B.4 C.8 D.12
3.如图，在矩形中，对角线， 相交于
点，，分别是， 的中点.若
，，则 的周长为
( )
C
A. B. C. D.
4.如图，矩形的对角线，相交于点，若 ，
，则 的长为___.
2
5.如图，矩形的对角线和相交于点，过点 的直线分
别交和于点，，， ，则图中阴影部分的面
积为___.
4
6.如图，在矩形中，，是上的两点， .求
证： .
证明： 四边形是矩形，， .
在和中， .
， .
第2课时 矩形的判定
01
课前预习
矩形的判定定理
定 理：（1）对角线______的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是______的四边形是矩形.
注 意：（1）矩形的定义"有一个角是直角的平行四边形是矩形"可
作为矩形的判定方法.#1.1.2
相等
直角
（2）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是
有一个角是直角；二是四边形是平行四边形.也就是说，有一个角
是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它
才是矩形.
（3）用判定定理（1）证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条
件：一是对角线相等；二是四边形是平行四边形.也就是说，两条
对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，
它才是矩形.
（4）用判定定理（2）可直接证明一个四边形是矩形.#1.1.2.3
02
考点探究
1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
例1 如图，在中，是边的中点，且 .求证：
是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
是边的中点， .
在和中， .
， .
， .
又 四边形是平行四边形， 是矩形.
2
对角线相等的平行四边形是矩形
例2 证明：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图，在中，对角线与相交于点 ，且
.
求证： 是矩形.
证明：方法一： 四边形是平行四边形， ，
.
，，， .
， .
， 是矩形.
方法二： 四边形是平行四边形，， .
，， ，
， 是矩形.
例3 如图，的对角线， 相交于点
，是等边三角形， .
（1）求证： 是矩形；
证明： 是等边三角形，
， .
四边形 是平行四边形，
， ，
， 是矩形.
（2）求 的长.
解：是矩形， .
是等边三角形，， ，
.
3
有三个角是直角的四边形是矩形
例4 证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 中，
.
证明： ，
， ，
，， 四边形 是平行四边形.
， 四边形 是矩形.
求证：四边形 是矩形.
例5 如图，在中，，，垂足为， 是
的外角的平分线，，垂足为 .求证：四边形
是矩形.
证明：，， .
是的外角 的平分线，
，
.
又，， ，
，
四边形 是矩形.
03
课堂检测
1.在中，增加一个条件可使四边形 成为矩形，则可增
加的条件是( )
B
A. B.
C. D.
2.如图，四边形 的对角线互相平分，要使
它成为矩形，则需要添加的条件是( )
D
A. B.
C. D.
3.如图，在中，对角线 ，延长
至点，使得，连接 .求证：四边
形 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
， ，
四边形 是平行四边形.
， ，
四边形 是矩形.
4.如图，在中，，，， 分别是
，，， 的平分线.求证：四
边形 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
.
，分别平分， ，
， .
， .
同理可证， ， 四边形 是矩形.(共45张PPT)
第1课时 菱形的性质
01
课前预习
1.菱形的概念
定 义:有一组邻边______的平行四边形叫作菱形.
注 意:（1）菱形首先是一个平行四边形,然后增加一个特殊条件—
—一组邻边相等;
（2）菱形的定义既可作为菱形的性质,又可作为菱形的判定.
相等
2.菱形的性质
性 质:（1）菱形的四条边都______;
（2）菱形的两条对角线__________,并且每一条对角线平分______
_____.
说 明:菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形,两条对
角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
相等
互相垂直
一组
对角
3.菱形的面积
面积公式:（1）菱形的面积等于底×高,即（其中, 分别
为菱形的底边及底边上的高）;
（2）菱形的面积等于两条对角线____________,即
（其中, 表示菱形的两条对角线的长）.
拓 展:任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线
乘积的一半.
乘积的一半
02
考点探究
1
菱形的概念与性质
例1 证明:菱形的两条对角线互相垂直平分,且每
条对角线平分一组对角.
已知:四边形是菱形,对角线, 相
交于点 .
求证:,,, 平分
和,平分和 .
证明： 四边形 是菱形,
四边形是平行四边形, ,
,, ,
,平分和,平分和 .
【变式】 如图，菱形的对角线长，周长是 .求：
（1）线段， 的长度；
解： 菱形的周长为 ，
.
四边形 是菱形，
，， .
在 中，
，
.
（2）菱形 的面积.
解：， ，
.
例2 如图,在菱形中,,分别是,
的中点,连接,.线段和 有怎样的数
量关系？请说明理由.
解： .理由如下:
四边形 是菱形,
,, .
又,分别是, 的中点,
,, .
, .
2
菱形的面积
例3 （教材P73例3变式）如图,菱形花坛的边长为 ,
,沿着菱形的对角线修建了两条小路和 .
（1）求两条小路的长（结果保留小数点后两位）;
解：设与相交于点 （图略）.
菱形花坛的边长为, ,
, ,
是等边三角形,
, .
,
.
两条小路的长分别约为, .
（2）求花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：由（1）得,花坛的面积为 .
03
课堂检测
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
D
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.如图,在菱形 中,下列结论错误的是( )
D
A. B.
C. D.
3.如图,菱形的两条对角线相交于点,若, ,则
菱形 的周长是____.
52
4.如图，菱形的对角线,,则 的长为
______.
5.如图,在菱形中, .若,则菱形 的周
长为____.
24
6.如图,已知四边形是菱形, 是对角线,
, .
（1）求 的度数;
解： 四边形是菱形, ,
,
.
（2）求 的长.
第6题答图
解：如答图,连接交于点 .
, .
, .
, .
第2课时 菱形的判定
01
课前预习
菱形的判定
定 理:（1）对角线__________的平行四边形是菱形;
（2）四条边______的四边形是菱形.
注 意:（1）菱形的定义“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可
作为菱形的判定方法;
（2）运用判定定理（1）时,要先证明四边形是平行四边形,再证明
对角线互相垂直;
（3）运用判定定理（2）时,可以直接证明一个四边形是菱形.
互相垂直
相等
拓 展:因为菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质,
所以“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”也可以作为判定菱形
的一种方法.
02
考点探究
1
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
例1 如图,在中,是的平分线,
交于点,交于点.求证:四边形
是菱形.
证明：, ,
四边形是平行四边形, .
是的平分线, ,
, 四边形 是菱形.
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2 证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知和求证的一部分,
请你补全已知和求证,并写出证明过程.
已知:如图,在中,对角线, 相交
于点 ,_________.
求证:___________________.
四边形是菱形
证明： 四边形是平行四边形, .
于点 ,
, 四边形 是菱形.
例3 （教材P74例4变式）如图, 的两条对
角线,相交于点,,, .
求证:四边形 是菱形.
证明： 四边形 是平行四边形,
, .
,
为直角三角形,且 ,即
,
四边形 是菱形.
【点悟】已知四边形是平行四边形,只需证明“对角线互相垂直”
或“有一组邻边相等”即可判定四边形是菱形.
3
四条边相等的四边形是菱形
例4 如图,在中,是边上的一点,连接 .将
沿翻折,使点落在点处,当 时,求
证:四边形 是菱形.
证明：由折叠的性质,得,, .
,, ,
, ,
四边形 是菱形.
【点悟】如果四边形中相等的边数较多,可考虑直接利用四条
边相等来判定四边形是菱形.
03
课堂检测
1.如图,已知四边形 是平行四边形,要使它成
为菱形,则需要添加的条件可以是( )
A
A. B.
C. D.
2.如图，在四边形中，对角线， 相
交于点 ，给出下列4组条件：
① ；
②， ；
③，， ；
B
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
④ .
其中，能得到“四边形 是菱形”的条件有
( )
3.如图,在中,平分, ,则
的周长为___.
8
4.如图,在四边形中,, ,
.求证:四边形 是菱形.
证明：, ,
四边形 是平行四边形.
,
四边形 是菱形.
5.如图,在中,对角线,相交于点 ,已
知, .
（1）求证: 是菱形;
证明：, ,
是等边三角形. .
又 四边形是平行四边形， 是菱形.
（2）求 的长.
解：在菱形中,, .
, ,
, .(共44张PPT)
第1课时 平行四边形的判定（1）
01
课前预行四边形的判定定理
判定定理1:两组对边分别______的四边形是平行四边形.
判定定理2:两组对角分别______的四边形是平行四边形.
判定定理3:对角线__________的四边形是平行四边形.
说明:平行四边形的定义也可作为平行四边形的判定方法.
相等
相等
互相平分
02
考点探究
1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例1 如图,,分别是的边, 上的点,
且.求证: .
证明： 四边形 是平行四边形,
,即， .
,, .
又, 四边形 是平行四边形,
.
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例2 证明:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:在四边形中,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明：如答图,连接 .
在和中,
,, ,
,, 四边形 是平行四边形.
例2答图
【变式】 在四边形中,,.若 ,则
的度数为____.
3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例3 证明:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形中,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明： ,, ,
, , .
同理可证,, 四边形 是平行四边形.
4
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例4 证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形中,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明：在和中, ,
, ,
,同理可证,, 四边形 是平行四边形.
【变式】 如图,在中,对角线,相交于点,,,
为直线上的两个动点（点,始终在的外部）,连接 ,
,,,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形,
, .
,, ,
,
四边形 是平行四边形.
03
课堂检测
1.如图,,要使四边形 成为平行四边形,还需要添加的条
件是( )
D
A. B.
C. D.
2.下面给出的是四边形中,,, 的度数比,其中能判断
四边形 是平行四边形的是( )
B
A. B. C. D.
3.如图,四边形的对角线,相交于点 ,
,请添加一个条件:___________________
_____（只添一个即可）,使四边形 是平行
四边形.
（答案不唯
一）
4.如图,,,且 ,求证:四边形
是平行四边形.
证明：,, , .
在和中,
,
, 四边形 是平行四边形.
5.如图，四边形的对角线,相交于点，且为 的中
点，，，求证：四边形 是平行四边形.
证明：为的中点， .
， .
， .
在和中，
，
.
又, 四边形 是平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定（2）
01
课前预习
1.平行四边形的判定定理4
判定定理4:一组对边____________的四边形是平行四边形.
2.平行四边形判定方法的归纳
归 纳:如图,在四边形中,对角线与相交于点 ,满足如下
①～⑤中任意一条均能推出四边形 是平行四边形.
平行且相等
注 意:平行四边形的判定方法既可以作为证明一个四边形是平行四
边形的依据,也可以作为画平行四边形的依据.
说 明:（1）平行线间的平行线段的长度都______;
（2）平移变换中连接对应点的线段（不在同一条直线上）_______
_____;
（3）求证“线段相等”或“角相等”时,一般能用平行四边形证明的就
不选用全等三角形来证明,这样能使证明过程更简洁.
相等
平行且
相等
02
考点探究
1
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例1 证明:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形中,, .
求证:四边形 是平行四边形.
例1答图
证明：如答图,连接 .
, .
在和中,
,, ,
四边形 是平行四边形.
2
平行四边形判定的综合
例2 （教材P62例5变式）如图,在中,如果,分别是边 ,
的中点,交于点,交于点 .
（1）求证:四边形是平行四边形,四边形 是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形,, .
,分别是边,的中点,,, .
又, 四边形 是平行四边形.
同理可证,四边形 是平行四边形.
（2）求证:四边形 是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形, .
同理可证,, 四边形 是平行四边形.
（3）若将“,分别是,的中点”改为“点,分别在边, 上,
且”,四边形 是否仍为平行四边形？若是平行四边形,
请说明理由;若不是平行四边形,请画图举反例说明.
解：四边形 仍为平行四边形.理由如下:
如答图,分别过点,作,,分别交, 的延长线
于点, .
四边形是平行四边形, .
又,, .
在和 中,
, .
例2答图
,,, .
又, 四边形 是平行四边形.
四边形是平行四边形,, .
, .
又, 四边形 是平行四边形.
, 四边形 仍为平行四边形.
03
课堂检测
1.如图，在四边形中，，要使四边形 成为平行
四边形，则应添加的条件是( )
D
A.
B.
C.
D.
2.如图，与的边， 在同一条
直线上，，且 ，求证：
四边形 是平行四边形.
证明：，，即 .
，，， ，
.
， 四边形 是平行四边形.
3.如图，，，点，在上，且 .
（1）求证： ；
证明：，点,在上，且 .
，， .
在和中，
.
（2）连接，，求证：四边形 是平行四边形.
第3题答图
证明：如答图，连接, .
由（1）知， ，
， ，
， .
又， 四边形 是平行四边形.
4.如图，是四边形的对角线，为的中点， .从
，， 这三个选项中选择一个作为
已知条件，使四边形 为平行四边形，并说明理由.
解：添加条件 .理由如下：
为的中点， .
在和中，
，
，， .
， ，
四边形 为平行四边形.
添加条件 .理由如下：
由添加条件的证明知 ，
， 四边形 为平行四边形.(共30张PPT)
第1课时 正方形的性质
01
课前预习
1.正方形的概念
定 义:有一组邻边______且有一个角是______的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质
性 质:（1）四条边都______;
（2）四个角都是______;
（3）对角线相等,并且互相__________,每条对角线______一组对角.
相等
直角
相等
直角
垂直平分
平分
拓 展:（1）正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱
形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质;
（2）正方形是轴对称图形,有___条对称轴,分别是对边中点的连线
和两条对角线所在的直线.
4
02
考点探究
正方形的概念与性质
例 如图,在正方形中,为上的一点,与
交于点,连接, .
（1）求 的度数;
解：四边形是正方形, ,
.
（2）求证: ;
证明： 四边形 是正方形,
, .
又, .
（3）求 的度数.
解：, .
, .
03
课堂检测
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
B
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角相等
2.若一个正方形的对角线长为 ，则它的周长为( )
C
A.2 B. C.4 D.
3.如图，在正方形中，对角线, 相交于点
，下列说法不正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.图中只有4个等腰直角三角形
第2课时 正方形的判定
01
课前预习
正方形的判定
判 定:（1）有一组邻边______的矩形是正方形;
（2）对角线__________的矩形是正方形;
（3）有一个角是______的菱形是正方形;
（4）对角线______的菱形是正方形;
（5）四条边都______,四个角都______的四边形是正方形;
（6）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.
相等
互相垂直
直角
相等
相等
相等
判定思路:（1）先判定四边形是矩形,再证明有一组邻边______或对
角线__________;
（2）先判定四边形是菱形,再证明有一个角是______或对角线
_______.
相等
互相垂直
直角
相等
02
考点探究
正方形的判定
例1 如图,在菱形中,对角线,相交于点,点, 在对角线
上,且,.求证:四边形 是正方形.
证明： 四边形 是菱形,
,, .
,, 四边形 是平行四边形.
又, 四边形 是菱形.
,,即 ,
四边形 是正方形.
例2 如图，正方形的对角线，相交于点， ，
.求证：四边形 是正方形.
证明：， ，
四边形 是平行四边形.
四边形是正方形， ，
， 四边形 是矩形.
四边形是正方形,，，且 ，
， 四边形 是正方形.
03
课堂检测
1.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了一
道题,从下列四个条件: ,
,, 中选两
个作为补充条件,使 为正方形（如图）.
现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )
B
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
2.如图,正方形 的边长为8,在各边上顺次截
取,则四边形 的面
积是( )
D
A.30 B.34 C.36 D.40
3.如图，在矩形中，对角线，相交于点 ，请添加一个
条件:________________________，使矩形 是正方形.
（答案不唯一）
4.如图，是正方形对角线上一点，， ，
垂足分别为，，正方形的周长是 .
（1）求证：四边形 是矩形.
证明： 四边形 是正方形，
， .
，， ， .
，
四边形 是矩形.
（2）求四边形 的周长.
解：正方形的周长是 ,
.
四边形 是正方形，
为等腰直角三角形，
，
四边形 的周长为
.
（3）当的长为多少时，四边形 是正方形？
解：若要四边形是正方形，只需 ，
， ,
当时，四边形 是正方形.(共42张PPT)
21.1.1 四边形及其内角和
01
课前预习
1.四边形的相关概念
定 义：在平面内，由______同一直线上的四条线
段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.图中四边
不在
四边形
同一侧
不相邻
形记作_____________.
凸四边形：画出四边形的任何一条边所在直线，整个四边形都在这
条直线的________，这样的四边形叫作凸四边形.
四边形的对角线：连接四边形________的两个顶点的线段，叫作四
边形的对角线.#1.4
四边形的角：四边形__________组成的角叫作四边形的内角，简称
四边形的角.
四边形的外角：四边形的角的一边与________________组成的角叫
作四边形的外角.#1.6
相邻两边
另一边的延长线
2.四边形的内角和
结 论：四边形的内角和等于______.
3.四边形的外角和
结 论：四边形的外角和等于______.
4.四边形的不稳定性
结 论：四边形具有不稳定性.#4.1
02
考点探究
1
四边形及其相关概念
例1 如图，在四边形 中，边是_________
______，角是________________________，对
角线是_______,外角_______________________
______.
,,,
,,,
,
,,,
2
四边形的内角和
例2 如图，在四边形中，与 的平分线
相交于点，且 ， ，求 的
度数.
解：与的平分线相交于点 ，
, .
在中,
.
3
四边形的外角和
例3 如图，在四边形中， ，
与，相邻的外角都是 ，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
4
四边形的不稳定性
例4 四边形具有不稳定性，这一特性在生活中被广泛应用.以下四
个例子利用这一特性的是 ( )
D
A. B. C. D.
03
课堂检测
1.如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩
门利用了( )
A
A.四边形的不稳定性 B.三角形的稳定性
C.四边形的稳定性 D.三角形的不稳定性
2.如图，在四边形中，， ，则
的度数为____.
3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ，其中
， ，则 的度数是______.
4.如图，在四边形中， ， ，则
______.
5.如图， 的度数是______.
6.如图，在四边形中， ，
，为四边形 的一个外
角，且 ，求 的度数.
解： ， .
， ，
.
21.1.2 多边形及其内角和
01
课前预习
1.多边形及其相关概念
多边形：在平面内，由 条线段首尾顺次相接,组成的图形叫
作多边形.
边形：如果一个多边形由___条线段组成，那么这个多边形就叫作
边形.
多边形的内角：多边形______两边组成的角叫作多边形的内角.
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的________组成的角叫作多
边形的外角.#1.4
相邻
延长线
多边形的对角线：连接多边形____相邻的两个顶点的线段，叫作多
边形的对角线.
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都
在这条直线的________，那么这个多边形就是凸多边形.#1.6
不
同一侧
2.正多边形的概念
定 义：各个____都相等、各条____都相等的多边形叫作正多边形.
3.多边形的内角和与外角和
内角和： 边形的内角和等于______________.
外角和：多边形的外角和等于______.#3.2
角
边
02
考点探究
1
多边形及其相关概念
例1 下列图形不是多边形的是( )
C
A. B. C. D.
例2 从四边形的一个顶点出发可画___条对角线；从五边形的一个
顶点出发可画___条对角线；从六边形的一个顶点出发可画___条对
角线.请猜想从七边形的一个顶点出发有___条对角线；从 边形的
一个顶点出发有________条对角线；从而推导出 边形一共有
_ ______条对角线.
1
2
3
4
2
正多边形
例3 下列图形中，是正多边形的是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形
3
多边形的内角和
例4 （教材P52练习T1变式）求出下列图形中 的值：
解：（1）根据图形可知：,解得 .
（2）根据图形可知： ,解得
.
（3）根据图形可知：
,解得 .
4
多边形的外角和
例5 如图，小明从点出发，前进后向右转 ，再前进 后
又向右转 ，这样一直走下去，他第一次回到出发点 时一共
走了,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
例6 阅读小明和小红的对话，解决下列问题:
小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 .
小红：多边形的内角和不可能是 ，我看了你的过程，
你多加了一个外角.
（1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是 ”的理由；
解：设多边形的边数为 ,
则 ，解得 .
为正整数，
多边形内角和不可能为 .
（2）求该多边形的内角和.
解：设一个外角为 ，根据题意可得 ,
.
，
，解得 ，
该多边形的边数为10，
，
故该多边形的内角和为 .
03
课堂检测
1.如图所示的图形中，多边形有( )
A
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数是( )
B
A.5 B.6 C.7 D.8
3.一个多边形的内角和为 ，则这个多边形是( )
A
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
4.如图，在正六边形内，以 为边作正五
边形，则 ( )
B
A. B. C. D.
5.已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的
一个顶点处可以引对角线的条数是( )
B
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图所示的图形中，是正多边形的是________（请直接填上序号
即可）.
②③⑤(共42张PPT)
第1课时 平行四边形的性质（1）
01
课前预习
1.平行四边形的定义及表示
定 义:两组对边分别______的四边形叫作平行四边形.
平行
表示方法:平行四边形用“”表示,如图,平行四边形 记作“
”.
注 意:平行四边形要按一定的顺序依次表示各顶点,一般按逆时针或
顺时针的顺序依次排列各顶点的字母,如图中的平行四边形不能表
示成,也不能表示成 .
易错点:一组对边平行的四边形不一定是平行四边形.
2.平行四边形的性质
性质1:平行四边形的对边______.
性质2:平行四边形的对角______.
性质3:平行四边形的对角线__________.
相等
相等
互相平分
注 意:平行四边形的定义具有双重属性.
（1）如果所给四边形的两组对边分别平行,那么它是平行四边形.这
是判定四边形是平行四边形的一种方法.
（2）定义给出了平行四边形的一个重要性质——两组对边分别平行.
02
考点探究
1
平行四边形的概念
例1 如图,,, ,则图中共有___个平行四边形,
它们分别是________________________.
3
,,
2
平行四边形的对边相等
例2 如图，在中，,是 上的两点，且
，连接,.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
，
， .
在和中，
， .
3
平行四边形的对角相等
例3 如图,在中,, ,垂足
分别为,.求证: .
证明： 四边形是平行四边形, ,
.
, ,
,
, .
【变式】 如图,在中,点在边 上,以点
为圆心,的长为半径画弧,交边于点 ,连接
,.求证: .
证明：由题意,得 .
四边形 是平行四边形，
,, .
在和中, .
4
平行四边形的对角线互相平分
例4 证明:平行四边形的对角线互相平分.
已知:如图，的对角线,相交于点 .
求证:, .
证明： 四边形 是平行四边形,
,, .
在和中,
,, .
【变式】 如图,的对角线, 相交
于点,,,且 .
（1）求 的长;
解：, 设,则 .
,, ,
解得（负值已舍去）, .
四边形是平行四边形, .
（2）求 的面积.
解：, .
03
课堂检测
1.在中, ,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
2.如图,在中,,, 的平
分线交于点,则 的长为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图,的对角线,相交于点 ,则下
列说法一定正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.如图,在中,对角线与相交于点 ,
, ,则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
5.如图，在中，点，分别在，
上，且，，相交于点 ，求证：
.
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
，
，且， ，
，
.
第2课时 平行四边形的性质（2）
01
课前预习
1.两条平行线之间的距离
定 义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫
作这两条平行线之间的距离.
性 质:平行线之间的距离处处相等.
2.平行四边形的面积
公 式:平行四边形的面积计算公式为（其中,, 分别表示平
行四边形的底边长、底边上的高、平行四边形的面积）.
拓 展:同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积______.
方法技巧:平行四边形的面积可用两种不同的底与高的乘积表示,它
的这种特性常常用来求某一线段的长（高或底）.
相等
3.平行四边形性质的综合运用
方法技巧:（1）利用对边平行可以证明线段平行的问题;
（2）利用对边相等可以证明线段相等的问题;
（3）利用对角相等可以证明角相等的问题;
（4）利用对角线互相平分可以解决有关中点或线段相等的问题;
（5）综合运用这些性质可以解决有关线段倍分和差等关系的问题;
（6）常与平行线、三角形、面积等综合在一起进行证明或计算,解
决有关问题.
02
考点探究
1
平行四边形的性质综合
例1 如图,在中,对角线,相交于点,过点作直线 ,分
别交,于点, .
（1）求证: .
证明： 四边形 是平行四边形,
,, .
在和中,
, .
（2）四边形的面积与四边形 的面积有何关系？
解： .理由如下:
四边形 是平行四边形,
,, ,
, .
由（1）可知,, .
又 ,
,
.
2
两条平行线之间的距离
例2 如图,直线,,,,点, 为垂足,则下列说
法不正确的是( )
D
A.
B.
C.,两点的距离就是线段 的长度
D.直线与的距离就是线段 的长度
03
课堂检测
1.如图，直线,则直线, 之间的距离是
( )
B
A.线段的长度 B.线段 的长度
C.线段 D.线段
2.如图，，若 的面积是15，则
的面积是( )
D
A.7.5 B.12 C.14 D.15
3.如图，已知直线,直线与它们分别垂直且相交于，，
三点，若，，则平行线, 之间的距离是___.
3
4.如图，在中，点在 边上，且
，为线段 上一点，且
.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
，
.
在和中，
，
.
5.如图，在中，对角线与相交于点，点， 在对
角线 上，若_____________________________，则
.
请从；； 这三个选项中
选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
（或）
解：（答案不唯一）选择 为条件，使结论成立.理由
如下：
四边形 是平行四边形，
， ，
.
在和中，
.
