（期末过关练）第1章三角形（含解析）-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

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（期末过关练）第1章三角形-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）
一、单选题
1．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．为等边三角形
C． D．整个过程中下降的高度为
4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
6．如图，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，点、在边上，，点关于、的对称点分别为、，则线段的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
10．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ．
11．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，若，，则的周长为 ．
12．如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ．
13．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ．
14．如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则 ．
三、解答题
15．如图，在四边形中，，，，点为上一点，且．求证：．
16．如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：．
17．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．
如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分．
证明：连接，
∵点M在的垂直平分线上，
∴．（依据： ）
∵，
∴ ．
在和中，
∴（填判定依据，用字母表示），
又∵，
∴点M在的平分线上，（依据： ）
即平分．
18．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来解决不同平面几何作图题的方法，且只准许进行有限次操作．请按照要求，完成如下尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，已知，请作出的平分线；
(2)如图2，已知线段，请作出的垂直平分线；
(3)如图3，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
19．综合与实践：已知点D是等边的边或其延长线上的点．
(1)【操作判断】如图1，当点D是等边的边上的中点时，请在边的右侧作等边，连接，并判断图中，和之间的数量关系是 ；
(2)【问题探究】如图2，已知和都是等边三角形，当点D在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，已知和都是等边三角形，当点D在线段的延长线上时，连接．若，，请求出的长．
《（期末过关练）第1章三角形-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C C B A B
1．A
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题．
【详解】解：∵在中，为直角，在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等，
∴只需要做线段的垂直平分线即可，
A、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意；
B、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴整个过程中下降的高度为，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据，是边上的中线，得，故，即可作答．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，
即，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，点为边的中点，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵直线垂直平分线段，
∴，
∴的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，
∴周长的最小值为，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据全等三角形的性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可．
【详解】解：连接，过D作于G，
∵平分，交的延长线于F，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，证得是等边三角形是解题的关键．设交于H，交于S，交于K，连接，根据轴对称的性质得出，进而得出，然后证得是等边三角形，从而证得，进一步证得，证得是等边三角形，得出，因为的最小值为3，所以的最小值为3．
【详解】解：设交于H，交于S，交于K，连接，
∵点E和F关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∵点E和G关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，即，
∵垂直平分，即，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵当时，最短，此时，
∴的最小值为3，
故选：B．
9．14或16
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形．
分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可．
【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6，
，
能构成三角形，周长为；
当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4，
∵，
能构成三角形，周长为．
故答案为：14或16．
10．58米/
【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
在和中，
∴，
∴，
即池塘两岸A，B两点的距离是58米．
故答案为：58米．
11．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能熟练运用求解．
先根据垂直平分线的性质得出，再求的周长．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点M，
∴，
∵，，
∴的周长为
；
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示：
由，分别平分，，于点，，
故，
故，
，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键．
作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可．
【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点．
平分，平分，
，，
，
已知，，，
，
解得，即，
．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
作于M，延长至N使，设，先证明为等腰三角形，然后证明，推出，从而得出，即可得到是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作于M，延长至N使，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：2．
15．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质．
连接，根据平行线的性质和等边对等角的性质可得，再证明即可得到解答．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
17．见解析
【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可．
【详解】证明：连接，
∵点M在的垂直平分线上，
∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵，
∴．
在和中，
∴（填判定依据，用字母表示），
又∵，
∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上）
即平分．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握角平分线的性质和作法，线段的垂直平分线的性质和作法，是解题的关键．
（1）依题意，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等作的角平分线；
（2）依题意，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作的垂直平分线，
（3）到两个城镇，的距离必须相等，则信号发射塔必须在的垂直平分线上，到两条高速公路的距离相等，则信号发射塔必须在的角平分线上，所以信号发射塔建立在的垂直平分线与的角平分线的交点S处．
【详解】（1）解：就是的平分线．
（2）解：就是线段的垂直平分线．
（3）解：分别作的角平分线，线段的垂直平分线，两线的交点S即为所求的点．
19．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据等边三角形的性质可得出，，，然后根据证明，得出，即可得出结论；
（2）同（1）证明，得出，即可得出结论；
（3）类似（1）证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
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