（期末过关练）第3章勾股定理（含解析）-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

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（期末过关练）第3章勾股定理-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）
一、单选题
1．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5
2．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，在中，于点交BC于点．若，则与之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长100米，长80米，则A点和B点之间的距离为（ ）米．
A．100 B．80 C．60 D．120
7．如图，将一长方形纸片沿折叠，若，，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题
9．等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ．
10．在中，，边上的高为4，将放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴的正半轴上，那么点的坐标是 ．
11．如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为 ．
12．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ．
13．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
14．如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边．
(1)当时，则 ；
(2)连结、，则最小值为 ．
三、解答题
15．如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为．
(1)求供水阀M到喷头A的距离；
(2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由．
16．如图，已知，在中，．
(1)请在线段上作一点，使点到边、的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长度．
17．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度）
18．如图，在中，，D是的中点，E、F分别在上，且．
(1)求证：
(2)若，求的长
(3)求证：
19．如图1，，，
(1)求证：；
(2)若，设，求的值；
(3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明．
《（期末过关练）第3章勾股定理-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A C B D
1．D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解．
【详解】解：选项A：，，
，
故选项A不符合题意；
选项B：，，
，
故选项B不符合题意；
选项C：，，
，
故选项C不符合题意；
选项D：，，
，
故选项D符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键．
根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等．
【详解】解：由已知可得，，，最长边是，
，，
，是直角三角形，故符合题意；
由已知可得，，，最长边为，
，，
，不是直角三角形，故不符合题意；
由已知可得，，，最长边为，
，，
，不是直角三角形，故不符合题意；
由已知可得，，，最长边为，
，，
，不是直角三角形，故不符合题意；
故选．
3．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质及勾股定理等知识，完全平方公式，掌握这些知识是关键．
设，由含30度直角三角形的性质及勾股定理，可分别求出的长，进而可表示出的面积，即可求得与之间的数量关系．
【详解】解：设，
∵，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
即，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
即．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质．
设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：设，
由折叠可得，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
则．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数．
【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为．
∴，
又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点，
∴点表示的数．
故选：．
6．C
【分析】根据勾股定理可以直接求解．
本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．
【详解】由题可知，米，米，，
米．
故选：C
7．B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据长方形的性质得， ，推出，根据折叠的性质得，得到，继而得到，根据勾股定理求出，得到．
【详解】解：长方形纸片，
， ，
，
由折叠的性质得 ，
，
，
在中，
，
，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】解：①沿展开，如图所示，
在中，，，，
∴；
②沿展开，如图所示：
在中，，，，
∴，
∵，
∴最短路线长是，
故选：D．
9．/
【分析】本题考查勾股定理；等腰直角三角形的两腰相等且为直角边，通过勾股定理求得斜边长，再计算周长.
【详解】解：∵等腰直角三角形的腰长为，
∴两腰之和为，
∴斜边长为，
∴周长为.
故答案为：.
10．
【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质，解题的关键是要先建立直角坐标系．
建立平面直角坐标系，再以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于四点，即为所求．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于点，即为所求．
由图可得，点的纵坐标为，
∴点的坐标为；
同理可得，点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为．
综上所述，点B的坐标是．
故答案为：．
11．1
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
过点A作于点E，根据等腰直角三角形性质得，设，则，，，在中，由勾股定理求出，继而可得的长为
【详解】解：过点A作于点E，如图所示：
，
是直角三角形，
在中，，，
，
设，则，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，或，不合题意，舍去，
，
即的长为
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称，
∴，
∵为定值， 要使周长最小，即最小，
∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示，
∵ ，且，
∴ ，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
∴，
∴，
故答案为： ．
13．或
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系．
先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度．
【详解】解：如图，过作，则，
在中，，
当点在点右侧时，即，
如图，在上截取，
此时，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
当点在点左侧，即，
此时点与上述情况的点重合，
；
综上，的长为或．
故答案为：或．
14．（1）4 （2）
【分析】（1）由可得，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，可得，从而，可证，可得，从而点的轨迹为垂直于的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出的最小值．
【详解】（1）解：设，则，
∵在等边中，，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：4
（2）解： 过点作于，则，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的轨迹为垂直于的直线，
作点关于的对称点，连接，即为的最小值．
连接交于，过点作于，延长交于，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题，勾股定理的应用，灵活运用方程思想，熟练掌握动点轨迹判断，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题的解决方法是解题的关键．
15．(1)供水阀到灌溉喷头的距离为
(2)灌溉渠与管道互相垂直，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）根据（1）所求可证明，则，即．
【详解】（1）解：由题意得，
在中，因为，，
所以，
所以，
在中，，
所以供水阀到灌溉喷头的距离为；
（2）解：灌溉渠与管道互相垂直，理由如下：
因为，，
所以，
所以，
所以．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作的平分线交于点，点即为所作；
（2）作于，由作图可得平分，则，，证明，得出，由勾股定理可得，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，点即为所作，
；
（2）解：如图，作于，
由作图可得：平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴．
17．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解．
【详解】解：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
即池水看起来变浅了．
18．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得，证明 ，即可求证；
（2）由（1）得 ，，再根据勾股定理即可求解；
（3）由（1）得，即可知，可推出，即可求解.
【详解】（1）证明：连接
∵ ，D是中点
∴
∵
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
在中，
（3）∵
∴
∴
∵ D是中点
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，面积求解等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点，并能综合运用.
19．(1)见解析
(2)2
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用“角角边”证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据，可得，证明为等腰直角三角形，可
，，再由是等腰直角三角形，以及，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
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