（期末过关练）第5章一次函数（含解析）-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

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（期末过关练）第5章一次函数-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）
一、单选题
1．一次函数的图象为（ ）．
A． B．
C． D．
2．若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数的图象经过原点，则（　　）
A． B． C． D．且
4．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象必经过点
B．函数的图象经过第一、二、三象限
C．若点在该函数图象上，则
D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的
6．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则函数过点
二、填空题
9．已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ．
10．直线与直线平行，且经过，则该直线的解析式为 ．
11．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
12．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．
13．如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A，B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影三角形，则这三个阴影三角形的面积之和为 ．
14．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ．
三、解答题
15．在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为．
(1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
(2)当腰时，求底边的长；
(3)当底边时，求腰长．
16．在平面直角坐标系中，已知函数和，这两个函数的图象交于点．
(1)求与的值；
(2)当时，求的取值范围．
17．已知与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求y的值；
(3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为．
(1)在图中画出关于y轴的对称图形
(2)分别写出对应点、、的坐标．
(3)请在图中的x轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标．
19．某超市分两次购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶进行销售，两次购进同一种茶叶的进价相同，具体情况如表所示：
购进数量/盒 购进所需费用/元
苦荞茶 信阳毛尖
第一次 50 70 5000
第二次 40 60 4200
(1)求苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶每盒的进价分别是多少元；
(2)该超市决定苦荞茶以每盒45元出售，信阳毛尖以每盒75元出售．为满足市场需求，需购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶共500盒，且苦荞茶的数量不少于300盒，不多于400盒，请你帮超市求出获利最大的进货方案，并计算出最大利润．
20．【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
【问题提出】
（1）求直线的函数表达式；
【初步探究】
（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值．
《（期末过关练）第5章一次函数-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B D A B B
1．A
【分析】本题考查一次函数的图象，先分别求出当时，；当时，；得出函数图象过点和，再进行判断即可．
【详解】解：一次函数，
当时，；当时，；
∴一次函数的图象过点和，
满足条件的只有选项A，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是利用一次函数图象的增减性进行分析．根据一次函数的系数知，y随x的增大而增大，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择．
【详解】解：∵，
∴，
∴y随x的增大而增大．
又点、，在图象上，且，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的图象与性质，将代入解析式结合即可求解．
【详解】解：将代入得：，
解得：
∵为一次函数
∴
∴
故
故选：C．
4．B
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可．
【详解】解：∵的图象经过点，
∴，
当时，，
即在函数的图象上．
又∵在的图象上．
∴与相交于点．
则函数图象如图．
则不等式的解集为．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，
根据一次函数的性质逐一判断各选项．
【详解】解：∵ 对于一次函数 ，
当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意；
∵ ，，
∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意；
∵ 当 时，；
当 时，，
∴ ，C错误，不符合题意；
∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意.
故选：D．
6．A
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解．
【详解】∵ 方程 可变形为 ，
方程 可变形为 ，
∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标．
又∵ 两函数图像交于点 ，
∴ 方程组的解为 ．
故答案为：A．
7．B
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
在中，，求出，即可求解．
【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
设，
连接，
∵与关于对称，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴；
故选：B．
8．B
【分析】由E到F时间未知，所以无法表示，所以不能确定与的大小关系，即可判断A错误；
先确定点的纵坐标，再根据，求出点的横坐标，由此得出到需要的时间，从而可求得与比较，即可判断B；
由于不知道到需要的时间，所以不能确定到需要的时间，也就不能确定的位置，所以不一定成立，可判断C错误；
根据，可求得点的坐标，再根据面积关系求得点的坐标，就可判断D．
【详解】解：设动点P沿图1的边线运动速度为，
因为段面积增大，段面积不变，段又增大，到P时最大，段面积又不变，段面积减小，
所以J对应点G，K对应点C，M对应点D，P对应点E，Q对应点F，N对应点H，
由函数图象可知：经历了，经历了，经历了，经历时间未知，经历时间未知，但经历了，
所以函数图象可知，G到C需要，C到D要，D到E要，E到H要，
所以（），（），（），（），
因为点G是的中点，
所以（），
因为时间为时，相应的的面积y（）为，
所以，解得：，
所以（），
当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，
设直线的表达式为，
所以，
解得：，
所以直线的表达式为，
因为速度不变，
所以可用平移得到，
设的解析式为，
所以，
解得：，
所以的解析式为，
当时，，
所以，
作点关于轴的对称点，
则，
连接，
设的解析式为，
由于，，
所以，
解得：，
所以的解析式为，
因为速度不变，
所以直线可以由直线平移得到，
设直线的解析式为，
当时，
，
此时，
所以，
解得：，
所以直线的解析式为，
当时，，
解得：，
所以此时，
所以到需（），
所以，
又，
所以此时，
故B正确；
由于不知道到需要的时间，
所以不能确定到需要的时间，
也就不能确定的位置，
所以不一定成立，
故C错误；
若，则，
所以经历了（），
所以，
所以，
所以H处，，
所以，
故D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，动点问题的函数图象，一次函数图象平移问题，求一次函数解析式，其他问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
9．
【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键．
由题意可得，，，计算求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的一次函数，
∴且．
由，得，解得．
由，得．
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了两直线平行问题，根据两平行直线解析式的k值相等求出k的值是解题的关键．
由两直线平行k相等，即 ，再代入点 求即可．
【详解】解：∵直线 与直线 平行，
∴ ，
∴直线为 ，
又∵经过点 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故该直线解析式为 ．
故答案为 ：．
11．或
【分析】本题考查一次函数的增减性与最值，根据的正负，判断随的增减规律是解题关键．
根据一次函数的性质，分和两种情况讨论最大值的位置．
【详解】解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值，
代入得，解得；
当时，随的增大而减小，在处取得最大值，
代入得，解得．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用图象法解不等式是解题的关键．
观察一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由图象得，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键．
分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可．
【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，
点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标；
点B横坐标为1，代入得；
点C横坐标为2，代入得；
记直线与y轴的交点为，如图，
点A形成的三角形面积：；
点B形成的三角形面积：；
点C形成的三角形面积：，
∴这三个三角形的面积之和为3．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，根据直角距离的定义，第一问直接计算坐标差的绝对值之和；第二问设Q点坐标，代入直角距离公式，转化为绝对值表达式，利用数轴上的距离关系求最小值．
【详解】解：对于和，直角距离为；
对于，Q为直线上任意一点，设，则直角距离为．
表示数轴上点x到点和点11的距离之和，当点x在点和点11之间（含端点）时，该和最小，最小值为．
故答案为：11，14．
15．(1)，
(2)
(3)腰长为7.5
【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围；
（2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解；
（3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解．
【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为，
∴，
∴，
由题意得，，即，
解得；
∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为；
（2）解：代入到，则，
∴底边的长为4；
（3）解：代入，得，
解得，
∴腰长为7.5．
16．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，函数图象交点问题，以及不等式的求解．
（1）可根据函数图象交点坐标代入函数解析式计算与的值即可．
（2）利用不等式关系求解的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点分别代入函数和中，得，
解得．
（2）解：由（1）可知，，
，
．
解得，
∴的取值范围为．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）由题意设，代入时，求出，写出与之间的函数表达式；
（2）当时代入解析式，求的值；
（3）分别求出当和时，对应的x的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围．
【详解】（1）解：设，
当时，．
，
，
则，
；
（2）解：当时，
；
（3）解：当时，
，
当时，
，
一次函数，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，．
18．(1)见解析
(2)
(3)图见解析，
【分析】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）根据（1）中图象读出点的坐标即可；
（3）找到点B关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，即为所求，然后求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）点、、的坐标分别为．
（3）如图，点P即为所求，
设直线的解析式为，把，代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点P的坐标为．
19．(1)苦荞茶每盒的进价是30元，信阳毛尖每盒的进价是50元．
(2)购进300盒苦荞茶，200盒信阳毛尖时获利最大，最大利润为9500元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键．
（1）设苦荞茶每盒的进价是x元，信阳毛尖每盒的进价是y元，再根据表格中的数据建立方程组求解即可；
（2）设购进m盒苦荞茶，则购进盒信阳毛尖，设购进的两种茶叶全部售出后获得的总利润为w元，根据利润等于每盒的利润乘以销售量分别求出两种茶叶的利润，进而列出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设苦荞茶每盒的进价是x元，信阳毛尖每盒的进价是y元，
根据题意得，
解得．
答：苦荞茶每盒的进价是30元，信阳毛尖每盒的进价是50元．
（2）解：设购进m盒苦荞茶，则购进盒信阳毛尖，
根据题意得，
设购进的两种茶叶全部售出后获得的总利润为w元，
根据题意得，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值，
此时，．
答：购进300盒苦荞茶，200盒信阳毛尖时获利最大，最大利润为9500元．
20．（1）；（2）或 ；（3）
【分析】本题考查了求一次函数解析式，求直线围成的图形面积，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键掌握上述知识点并能运用求解．
（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答；
（2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答；
（3）连接，由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】(1) 解：将代入，则，
∴点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
(2) 存在．
令，解得，
∴点B的坐标为，
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
当时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得；
(3) 如图，连接，
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，，
∴，
即的最小值为．
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