【浙教版】2025-2026学年第一学期七年级数学期末模拟试卷（2）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【浙教版】2025-2026学年第一学期七年级数学期末模拟试卷（2）（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 564.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年第一学期七年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（ ）
A．支出210元 B．收入210元 C．支出90元 D．收入90元
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
3．如图，点C在直线AB上，若∠DCE＝60°，∠BCE＝140°，则∠ACD的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．3a与﹣3a B．3c2b与﹣8b2c C．与4xyz D．4mn2与2m2n
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b D．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则a＝b
6．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
7．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．c﹣a＜0 C．a+c＞b D．|c|＞a
8．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（ ）
A．6x+4（8﹣x）＝38 B．8x+6x＝38 C．4x+6x＝38 D．4x+6（8﹣x）＝38
9．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
10．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．|﹣3|＝ ．
12．化简：x+2x﹣5x＝ ．
13．如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点，若AB＝14cm，BD＝3cm，则线段AC的长为 cm．
14．已知x＝﹣2是关于x的方程3x+2a＝2的解，则a的值为 ．
15．如图，已知∠AOB＝135°，∠COD＝45°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，则∠EOF的度数为 ．
16．已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）2x+5＝3（x﹣1）；
（2）﹣1＝．
19．（8分）已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．
（1）计算：5A﹣2B；
（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．
20．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝52°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
21．（8分）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨．已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表：
到C工地 到D工地
A仓库 每吨15元 每吨12元
B仓库 每吨10元 每吨9元
（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则从A仓库运到D工地的水泥为 吨，从B仓库运到D工地的水泥为 吨；
（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？
22．（10分）探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：a b＝ab﹣a﹣b．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，（﹣3） （﹣2）＝11，0 （﹣2）＝2，作出下列表格：
﹣3 0 1 5 n
﹣2 11 2 ﹣1 x y
3 ﹣9 ﹣3 ﹣1 7 2n﹣3
（1）x＝5 （﹣2）＝ ，y＝ （用n来表示）；
（2）判断“ ”运算是否满足交换律，即对于任意有理数a、b，是否有a b＝b a？请通过代数推导说明理由；
（3）若2 n2025＝3，那么2 （n2025﹣2）的值为多少？
23．（10分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费：
月用水量 单价/（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费 元；如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费 元．
（2）如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？
（3）若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有60%的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？
24．（12分）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（ ）
A．支出210元 B．收入210元 C．支出90元 D．收入90元
【点拨】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解析】解：如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示支出90元，
故选：C．
【点睛】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：12500000＝1.25×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，点C在直线AB上，若∠DCE＝60°，∠BCE＝140°，则∠ACD的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【点拨】首先求出∠ACE＝180°﹣∠BCE＝40°，然后利用角的和差求解即可．
【解析】解：∵∠BCE＝140°，
∴∠ACE＝180°﹣∠BCE＝40°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝20°．
故选：B．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，正确掌握图形找中各角度的关系是解题的关键．
4．下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．3a与﹣3a B．3c2b与﹣8b2c C．与4xyz D．4mn2与2m2n
【点拨】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解析】解：A、符合同类项的定义，是同类项；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项；
C、所含字母不相同，不是同类项；
D、相同字母的指数不相同，不是同类项；
故选：A．
【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b D．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则a＝b
【点拨】根据等式的性质即可求出答案．
【解析】解：（D）当c＝0时，则a不一定等于b，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
6．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【点拨】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解析】解：当a+2b＝3时，原式＝2（a+2b）＝2×3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
7．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．c﹣a＜0 C．a+c＞b D．|c|＞a
【点拨】先根据数轴得到c＜0＜a＜b，|c|＜|a|，再根据有理数的加减计算法则求解即可．
【解析】解：由数轴可知，c＜0＜a＜b，|c|＜|a|，
A、a﹣b＜0，故该项不正确，不符合题意；
B、c﹣a＜0，故该项正确，符合题意；
C、a+c＜b，故该项不正确，不符合题意；
D、|c|＜a，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（ ）
A．6x+4（8﹣x）＝38 B．8x+6x＝38 C．4x+6x＝38 D．4x+6（8﹣x）＝38
【点拨】设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得等量关系：大船坐的总人数+小船坐的总人数＝38，然后再列出方程即可．
【解析】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得：
4x+6（8﹣x）＝38，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【点拨】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解析】解：由所给图形可知，
图①中正方形的个数为：1；
图②中正方形的个数为：3＝1+2；
图③中正方形的个数为：6＝1+2+3；
…，
所以图n中正方形的个数为：1+2+3+…+n＝．
因为图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，
所以，
解得n＝9．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第n个图形中正方形的个数为是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
【点拨】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．
【解析】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，
∴∠3＝∠BOD，
∵∠EOD+∠1＝90°，
∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，
∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，
故选：D．
【点睛】本题考查互余的概念，关键是掌握余角的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．|﹣3|＝ 3 ．
【点拨】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解析】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值，注意：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．化简：x+2x﹣5x＝ ．
【点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解析】解：x+2x﹣5x＝（1+2﹣5）x＝﹣2x．
故答案为：﹣2x．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点，若AB＝14cm，BD＝3cm，则线段AC的长为 8 cm．
【点拨】根据题意，点D为线段BC的中点，BD＝3cm，则得BC＝2BD＝6cm，再根据AC＝AB﹣BC进行计算，即可得出答案．
【解析】解：∵点D为线段BC的中点，BD＝3cm，
∴BC＝2BD＝2×3＝6（cm），
∵AB＝14cm，
∴AC＝AB﹣BC＝14﹣6＝8（cm）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．
14．已知x＝﹣2是关于x的方程3x+2a＝2的解，则a的值为 4 ．
【点拨】根据方程的解的定义，把方程中的未知数x换成﹣2，再解关于a的一元一次方程即可．
【解析】解：根据题意将x＝﹣2代入得：﹣6+2a＝2，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查方程解的含义，方程的解，就是能使等式成立的未知数的值．
15．如图，已知∠AOB＝135°，∠COD＝45°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，则∠EOF的度数为 75° ．
【点拨】设∠BOC＝n°，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可．
【解析】解：设∠BOC＝n°，结合已知可求，
，
根据角的和差关系可得：
，
∴．
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．
16．已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 2 个．
【点拨】根据题意，可得n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解．
【解析】解：∵a，b，n均为正整数，，
∴n＞1，且n﹣1，n，n+1为三个连续的自然数，
∴，
∵02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16， ，
∴（n﹣1）2与n2之间的整数有（2n﹣2）个，n2与（n+1）2之间的整数有2n个，
∴2n﹣（2n﹣2）＝2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：（1）；
（2）．
【点拨】（1）先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【解析】解：（1）
＝3﹣1+（﹣2）
＝0；
（2）
＝5×
＝﹣3+4×
＝﹣3+1
＝﹣2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．解方程：
（1）2x+5＝3（x﹣1）；
（2）﹣1＝．
【点拨】（1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解析】解：（1）2x+5＝3（x﹣1），
去括号，得2x+5＝3x﹣3，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣8，
将系数化为1，得x＝8；
（2），
去分母，得3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7），
去括号，得9y﹣3﹣12＝10y﹣14，
移项、合并同类项，得﹣y＝1，
将系数化为1，得y＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
19．已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．
（1）计算：5A﹣2B；
（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．
【点拨】（1）先将A和B代入，然后去括号，合并同类项进行化简；
（2）根据结果与b的取值无关，则含b的项的系数和为0，从而列出方程求解．
【解析】解：（1）原式＝5（2ab﹣a）﹣2（﹣ab+2a+b）
＝10ab﹣5a+2ab﹣4a﹣2b
＝12ab﹣9a﹣2b，
（2）∵5A﹣2B的值与字母b的取值无关，
∴12a﹣2＝0，
解得：a＝，
即a的值为．
【点睛】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝52°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
【点拨】（1）利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据∠AOC：∠BOC＝1：5，求出∠AOC＝30°，再根据∠AOE＝∠AOC+∠COE求解即可．
【解析】解：（1）由条件可知∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝38°，
∴∠AOC的度数为38°；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：5，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°．
【点睛】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键．
21．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨．已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表：
到C工地 到D工地
A仓库 每吨15元 每吨12元
B仓库 每吨10元 每吨9元
（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则从A仓库运到D工地的水泥为 （20﹣x） 吨，从B仓库运到D工地的水泥为 （15+x） 吨；
（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？
【点拨】（1）A仓库原有的20吨去掉运到C工地的水泥，就是运到D工地的水泥；首先求出B仓库运到D仓库的吨数，也就是D工地需要的水泥减去从A仓库运到D工地的水泥；
（2）用x表示出A、B两个仓库分别向C、D运送的吨数，再乘每吨的运费，然后合并起来即可；
（3）把x＝10代入（2）中的代数式，求得问题的解．
【解析】解：（1）从A仓库运到D工地的水泥为：（20﹣x）吨，
从B仓库将水泥运到D工地的水泥为：35﹣（20﹣x）＝35﹣20+x＝（15+x）吨．
故答案为：（20﹣x）；（15+x）．
（2）把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运输费为：
15x+12×（20﹣x）+10×（15﹣x）+[35﹣（20﹣x）]×9
＝15x+240﹣12x+150﹣10x+（15+x）×9
＝15x+240﹣12x+150﹣10x+135+9x
＝（2x+525）元．
（3）当x＝10时，
2x+525＝2×10+525＝545（元）；
答：总运费为545元．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，整式的加减，熟练掌握以上知识点是关键．
22．探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：a b＝ab﹣a﹣b．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，（﹣3） （﹣2）＝11，0 （﹣2）＝2，作出下列表格：
﹣3 0 1 5 n
﹣2 11 2 ﹣1 x y
3 ﹣9 ﹣3 ﹣1 7 2n﹣3
（1）x＝5 （﹣2）＝ ﹣13 ，y＝ ﹣3n+2 （用n来表示）；
（2）判断“ ”运算是否满足交换律，即对于任意有理数a、b，是否有a b＝b a？请通过代数推导说明理由；
（3）若2 n2025＝3，那么2 （n2025﹣2）的值为多少？
【点拨】（1）依据题意得，x＝5 （﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2），y＝n （﹣2）＝n×（﹣2）﹣n﹣（﹣2），从而计算可以得解；
（2）依据题意得，a b＝ab﹣a﹣b，b a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b，则a b＝b a，故“ ”运算满足交换律，即可得解；
（3）依据题意得，2 （n2025﹣2）＝2（n2025﹣2）﹣2﹣（n2025﹣2）＝n2025﹣4，又2 n2025＝3，则2 n2025＝2n2025﹣2﹣n2025＝3，可得n2025＝5，从而代入计算可以得解．
【解析】解：（1）由题意得，x＝5 （﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）
＝﹣10﹣5+2
＝﹣13．
y＝n （﹣2）＝n×（﹣2）﹣n﹣（﹣2）
＝﹣2n﹣n+2
＝﹣3n+2．
故答案为：﹣13；﹣3n+2．
（2）由题意得，a b＝ab﹣a﹣b，b a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b，
∴a b＝b a．
∴“ ”运算满足交换律．
（3）由题意得，2 （n2025﹣2）＝2（n2025﹣2）﹣2﹣（n2025﹣2）
＝2n2025﹣4﹣2﹣n2025+2
＝n2025﹣4．
又∵2 n2025＝3，
∴2 n2025＝2n2025﹣2﹣n2025＝3．
∴n2025＝5．
∴2 （n2025﹣2）＝n2025﹣4＝5﹣4＝1．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、有理数的混合运算、代数式求值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
23．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费：
月用水量 单价/（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费 3 元；如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费 45 元．
（2）如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？
（3）若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有60%的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？
【点拨】（1）利用实际每立方米收取水费＝2.8+0.2，即可求出结论；利用嘉淇家7月份应该缴纳水费＝3×嘉淇家7月份的用水量，即可求出结论；
（2）设嘉淇家8月份用水x立方米，求出当月用水量为20立方米时应缴纳水费，将其与72比较后，可得出x＞20，利用嘉淇家8月份共缴纳水费＝3×20+（3.8+0.2）×（嘉淇家8月份的用水量﹣20），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设嘉淇家9月份实际用水y立方米，利用嘉淇家9月份缴纳的水费＝3×60%×嘉淇家9月份实际用水量，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入3×20+（3.8+0.2）（y﹣20）中，即可求出结论．
【解析】解：（1）根据题意得：如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费2.8+0.2＝3（元）；
如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费3×15＝45（元）．
故答案为：3，45；
（2）设嘉淇家8月份用水x立方米，
∵3×20＝60（元），60＜72，
∴x＞20．
根据题意得：3×20+（3.8+0.2）（x﹣20）＝72，
解得：x＝23．
答：嘉淇家8月份用水23立方米；
（3）设嘉淇家9月份实际用水y立方米，
根据题意得：3×60%y＝45，
解得：y＝25，
∴3×20+（3.8+0.2）（y﹣20）＝3×20+（3.8+0.2）×（25﹣20）＝80（元）．
答：嘉淇家9月份实际应该缴纳水费80元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣4 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 1 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
【点拨】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解析】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为：﹣4、1；
（2）①根据题意，得：
6t﹣2t＝10，
解得t＝2.5，
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得：
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
③根据题意，当点B为PQ的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4）
解得t＝1.25；
当点P为BQ的中点：
（﹣4）﹣（6﹣6t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4﹣2t）
解得：t＝2；
当点Q为BP的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（﹣4﹣2t）﹣（6﹣6t），
解得：t＝5；
答：当点P运动1.25秒，2秒，或5秒时，点P，点Q，点B是一组“幸福点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
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2025-2026学年第一学期七年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（ ）
A．支出210元 B．收入210元 C．支出90元 D．收入90元
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
3．如图，点C在直线AB上，若∠DCE＝60°，∠BCE＝140°，则∠ACD的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．3a与﹣3a B．3c2b与﹣8b2c C．与4xyz D．4mn2与2m2n
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b D．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则a＝b
6．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
7．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．c﹣a＜0 C．a+c＞b D．|c|＞a
8．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（ ）
A．6x+4（8﹣x）＝38 B．8x+6x＝38 C．4x+6x＝38 D．4x+6（8﹣x）＝38
9．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
10．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．|﹣3|＝ ．
12．化简：x+2x﹣5x＝ ．
13．如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点，若AB＝14cm，BD＝3cm，则线段AC的长为 cm．
14．已知x＝﹣2是关于x的方程3x+2a＝2的解，则a的值为 ．
15．如图，已知∠AOB＝135°，∠COD＝45°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，则∠EOF的度数为 ．
16．已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）2x+5＝3（x﹣1）；
（2）﹣1＝．
19．（8分）已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．
（1）计算：5A﹣2B；
（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．
20．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝52°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
21．（8分）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨．已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表：
到C工地 到D工地
A仓库 每吨15元 每吨12元
B仓库 每吨10元 每吨9元
（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则从A仓库运到D工地的水泥为 吨，从B仓库运到D工地的水泥为 吨；
（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？
22．（10分）探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：a b＝ab﹣a﹣b．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，（﹣3） （﹣2）＝11，0 （﹣2）＝2，作出下列表格：
﹣3 0 1 5 n
﹣2 11 2 ﹣1 x y
3 ﹣9 ﹣3 ﹣1 7 2n﹣3
（1）x＝5 （﹣2）＝ ，y＝ （用n来表示）；
（2）判断“ ”运算是否满足交换律，即对于任意有理数a、b，是否有a b＝b a？请通过代数推导说明理由；
（3）若2 n2025＝3，那么2 （n2025﹣2）的值为多少？
23．（10分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费：
月用水量 单价/（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费 元；如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费 元．
（2）如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？
（3）若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有60%的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？
24．（12分）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（ ）
A．支出210元 B．收入210元 C．支出90元 D．收入90元
【点拨】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解析】解：如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示支出90元，
故选：C．
【点睛】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：12500000＝1.25×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，点C在直线AB上，若∠DCE＝60°，∠BCE＝140°，则∠ACD的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【点拨】首先求出∠ACE＝180°﹣∠BCE＝40°，然后利用角的和差求解即可．
【解析】解：∵∠BCE＝140°，
∴∠ACE＝180°﹣∠BCE＝40°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝20°．
故选：B．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，正确掌握图形找中各角度的关系是解题的关键．
4．下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．3a与﹣3a B．3c2b与﹣8b2c C．与4xyz D．4mn2与2m2n
【点拨】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解析】解：A、符合同类项的定义，是同类项；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项；
C、所含字母不相同，不是同类项；
D、相同字母的指数不相同，不是同类项；
故选：A．
【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b D．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则a＝b
【点拨】根据等式的性质即可求出答案．
【解析】解：（D）当c＝0时，则a不一定等于b，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
6．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【点拨】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解析】解：当a+2b＝3时，原式＝2（a+2b）＝2×3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
7．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．c﹣a＜0 C．a+c＞b D．|c|＞a
【点拨】先根据数轴得到c＜0＜a＜b，|c|＜|a|，再根据有理数的加减计算法则求解即可．
【解析】解：由数轴可知，c＜0＜a＜b，|c|＜|a|，
A、a﹣b＜0，故该项不正确，不符合题意；
B、c﹣a＜0，故该项正确，符合题意；
C、a+c＜b，故该项不正确，不符合题意；
D、|c|＜a，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（ ）
A．6x+4（8﹣x）＝38 B．8x+6x＝38 C．4x+6x＝38 D．4x+6（8﹣x）＝38
【点拨】设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得等量关系：大船坐的总人数+小船坐的总人数＝38，然后再列出方程即可．
【解析】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得：
4x+6（8﹣x）＝38，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【点拨】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解析】解：由所给图形可知，
图①中正方形的个数为：1；
图②中正方形的个数为：3＝1+2；
图③中正方形的个数为：6＝1+2+3；
…，
所以图n中正方形的个数为：1+2+3+…+n＝．
因为图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，
所以，
解得n＝9．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第n个图形中正方形的个数为是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
【点拨】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．
【解析】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，
∴∠3＝∠BOD，
∵∠EOD+∠1＝90°，
∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，
∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，
故选：D．
【点睛】本题考查互余的概念，关键是掌握余角的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．|﹣3|＝ 3 ．
【点拨】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解析】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值，注意：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．化简：x+2x﹣5x＝ ．
【点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解析】解：x+2x﹣5x＝（1+2﹣5）x＝﹣2x．
故答案为：﹣2x．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点，若AB＝14cm，BD＝3cm，则线段AC的长为 8 cm．
【点拨】根据题意，点D为线段BC的中点，BD＝3cm，则得BC＝2BD＝6cm，再根据AC＝AB﹣BC进行计算，即可得出答案．
【解析】解：∵点D为线段BC的中点，BD＝3cm，
∴BC＝2BD＝2×3＝6（cm），
∵AB＝14cm，
∴AC＝AB﹣BC＝14﹣6＝8（cm）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．
14．已知x＝﹣2是关于x的方程3x+2a＝2的解，则a的值为 4 ．
【点拨】根据方程的解的定义，把方程中的未知数x换成﹣2，再解关于a的一元一次方程即可．
【解析】解：根据题意将x＝﹣2代入得：﹣6+2a＝2，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查方程解的含义，方程的解，就是能使等式成立的未知数的值．
15．如图，已知∠AOB＝135°，∠COD＝45°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，则∠EOF的度数为 75° ．
【点拨】设∠BOC＝n°，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可．
【解析】解：设∠BOC＝n°，结合已知可求，
，
根据角的和差关系可得：
，
∴．
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．
16．已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 2 个．
【点拨】根据题意，可得n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解．
【解析】解：∵a，b，n均为正整数，，
∴n＞1，且n﹣1，n，n+1为三个连续的自然数，
∴，
∵02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16， ，
∴（n﹣1）2与n2之间的整数有（2n﹣2）个，n2与（n+1）2之间的整数有2n个，
∴2n﹣（2n﹣2）＝2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：（1）；
（2）．
【点拨】（1）先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【解析】解：（1）
＝3﹣1+（﹣2）
＝0；
（2）
＝5×
＝﹣3+4×
＝﹣3+1
＝﹣2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．解方程：
（1）2x+5＝3（x﹣1）；
（2）﹣1＝．
【点拨】（1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解析】解：（1）2x+5＝3（x﹣1），
去括号，得2x+5＝3x﹣3，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣8，
将系数化为1，得x＝8；
（2），
去分母，得3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7），
去括号，得9y﹣3﹣12＝10y﹣14，
移项、合并同类项，得﹣y＝1，
将系数化为1，得y＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
19．已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．
（1）计算：5A﹣2B；
（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．
【点拨】（1）先将A和B代入，然后去括号，合并同类项进行化简；
（2）根据结果与b的取值无关，则含b的项的系数和为0，从而列出方程求解．
【解析】解：（1）原式＝5（2ab﹣a）﹣2（﹣ab+2a+b）
＝10ab﹣5a+2ab﹣4a﹣2b
＝12ab﹣9a﹣2b，
（2）∵5A﹣2B的值与字母b的取值无关，
∴12a﹣2＝0，
解得：a＝，
即a的值为．
【点睛】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝52°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
【点拨】（1）利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据∠AOC：∠BOC＝1：5，求出∠AOC＝30°，再根据∠AOE＝∠AOC+∠COE求解即可．
【解析】解：（1）由条件可知∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝38°，
∴∠AOC的度数为38°；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：5，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°．
【点睛】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键．
21．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨．已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表：
到C工地 到D工地
A仓库 每吨15元 每吨12元
B仓库 每吨10元 每吨9元
（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则从A仓库运到D工地的水泥为 （20﹣x） 吨，从B仓库运到D工地的水泥为 （15+x） 吨；
（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？
【点拨】（1）A仓库原有的20吨去掉运到C工地的水泥，就是运到D工地的水泥；首先求出B仓库运到D仓库的吨数，也就是D工地需要的水泥减去从A仓库运到D工地的水泥；
（2）用x表示出A、B两个仓库分别向C、D运送的吨数，再乘每吨的运费，然后合并起来即可；
（3）把x＝10代入（2）中的代数式，求得问题的解．
【解析】解：（1）从A仓库运到D工地的水泥为：（20﹣x）吨，
从B仓库将水泥运到D工地的水泥为：35﹣（20﹣x）＝35﹣20+x＝（15+x）吨．
故答案为：（20﹣x）；（15+x）．
（2）把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运输费为：
15x+12×（20﹣x）+10×（15﹣x）+[35﹣（20﹣x）]×9
＝15x+240﹣12x+150﹣10x+（15+x）×9
＝15x+240﹣12x+150﹣10x+135+9x
＝（2x+525）元．
（3）当x＝10时，
2x+525＝2×10+525＝545（元）；
答：总运费为545元．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，整式的加减，熟练掌握以上知识点是关键．
22．探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：a b＝ab﹣a﹣b．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，（﹣3） （﹣2）＝11，0 （﹣2）＝2，作出下列表格：
﹣3 0 1 5 n
﹣2 11 2 ﹣1 x y
3 ﹣9 ﹣3 ﹣1 7 2n﹣3
（1）x＝5 （﹣2）＝ ﹣13 ，y＝ ﹣3n+2 （用n来表示）；
（2）判断“ ”运算是否满足交换律，即对于任意有理数a、b，是否有a b＝b a？请通过代数推导说明理由；
（3）若2 n2025＝3，那么2 （n2025﹣2）的值为多少？
【点拨】（1）依据题意得，x＝5 （﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2），y＝n （﹣2）＝n×（﹣2）﹣n﹣（﹣2），从而计算可以得解；
（2）依据题意得，a b＝ab﹣a﹣b，b a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b，则a b＝b a，故“ ”运算满足交换律，即可得解；
（3）依据题意得，2 （n2025﹣2）＝2（n2025﹣2）﹣2﹣（n2025﹣2）＝n2025﹣4，又2 n2025＝3，则2 n2025＝2n2025﹣2﹣n2025＝3，可得n2025＝5，从而代入计算可以得解．
【解析】解：（1）由题意得，x＝5 （﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）
＝﹣10﹣5+2
＝﹣13．
y＝n （﹣2）＝n×（﹣2）﹣n﹣（﹣2）
＝﹣2n﹣n+2
＝﹣3n+2．
故答案为：﹣13；﹣3n+2．
（2）由题意得，a b＝ab﹣a﹣b，b a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b，
∴a b＝b a．
∴“ ”运算满足交换律．
（3）由题意得，2 （n2025﹣2）＝2（n2025﹣2）﹣2﹣（n2025﹣2）
＝2n2025﹣4﹣2﹣n2025+2
＝n2025﹣4．
又∵2 n2025＝3，
∴2 n2025＝2n2025﹣2﹣n2025＝3．
∴n2025＝5．
∴2 （n2025﹣2）＝n2025﹣4＝5﹣4＝1．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、有理数的混合运算、代数式求值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
23．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费：
月用水量 单价/（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费 3 元；如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费 45 元．
（2）如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？
（3）若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有60%的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？
【点拨】（1）利用实际每立方米收取水费＝2.8+0.2，即可求出结论；利用嘉淇家7月份应该缴纳水费＝3×嘉淇家7月份的用水量，即可求出结论；
（2）设嘉淇家8月份用水x立方米，求出当月用水量为20立方米时应缴纳水费，将其与72比较后，可得出x＞20，利用嘉淇家8月份共缴纳水费＝3×20+（3.8+0.2）×（嘉淇家8月份的用水量﹣20），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设嘉淇家9月份实际用水y立方米，利用嘉淇家9月份缴纳的水费＝3×60%×嘉淇家9月份实际用水量，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入3×20+（3.8+0.2）（y﹣20）中，即可求出结论．
【解析】解：（1）根据题意得：如果月用水量不超过20m3，那么实际每立方米收取水费2.8+0.2＝3（元）；
如果7月份嘉淇家的用水量为15m3，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费3×15＝45（元）．
故答案为：3，45；
（2）设嘉淇家8月份用水x立方米，
∵3×20＝60（元），60＜72，
∴x＞20．
根据题意得：3×20+（3.8+0.2）（x﹣20）＝72，
解得：x＝23．
答：嘉淇家8月份用水23立方米；
（3）设嘉淇家9月份实际用水y立方米，
根据题意得：3×60%y＝45，
解得：y＝25，
∴3×20+（3.8+0.2）（y﹣20）＝3×20+（3.8+0.2）×（25﹣20）＝80（元）．
答：嘉淇家9月份实际应该缴纳水费80元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣4 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 1 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
【点拨】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解析】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为：﹣4、1；
（2）①根据题意，得：
6t﹣2t＝10，
解得t＝2.5，
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得：
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
③根据题意，当点B为PQ的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4）
解得t＝1.25；
当点P为BQ的中点：
（﹣4）﹣（6﹣6t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4﹣2t）
解得：t＝2；
当点Q为BP的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（﹣4﹣2t）﹣（6﹣6t），
解得：t＝5；
答：当点P运动1.25秒，2秒，或5秒时，点P，点Q，点B是一组“幸福点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
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