【浙教版】2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【浙教版】2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应满足（ ）
A．v≤100 B．v＝100 C．80≤v≤100 D．v≥80
3．如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（ ）
A．1 B．5 C．8 D．14
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或4
5．下列叙述错误的是（ ）
A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
B．面积相等的两个三角形不一定全等
C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分
D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等
6．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．﹣3a＜﹣3b C．a﹣3＜b﹣3 D．
7．若一次函数y＝（2+k）x+b的图象过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，则k应满足的条件是（ ）
A．﹣3＜k＜2 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣2＜k＜3 D．2＜k＜3
8．如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知△ABC，∠A＝20°，∠B＝50°，则△ABC是 三角形．（填“直角”“锐角”或“钝角”）
12．把点A（﹣2，a）向上平移4个单位，所得像与点A关于x轴对称，则a＝ ．
13．如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，若△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为 ．
14．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小芬有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），且与y轴负半轴相交，则关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P为射线AC上一点．则当△ABP是等腰三角形时，AP的长为 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）解不等式（组）：
（1）x+1≥2； （2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，CD与BE交于点F，已知AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）证明：BD＝CE；
（2）若∠1＝25°，∠ACB＝70°，求证：BE⊥CD．
19．（8分）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C．连接AB，AC，BC．
（1）直接写出点C的坐标： ；
（2）若点P是y轴上一点，BP的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
（3）第二象限内有一点Q，若点Q到x轴的距离与点A到y轴的距离相等，试写出一个满足要求的点Q的坐标．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离．
21．（10分）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACD＝22.5°，则∠CBF＝ °；
（2）求证：CF＝DE；
（3）若AB＝AC，求证：BG＝2DE．
23．（10分）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
24．（12分）问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：BD＝CE．
类比探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为边BC上任意一点（不是BC中点），求证：BD2+DC2＝2AD2．
拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD，，BC＝4，求BD的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解析】解：∵4＞0，﹣1＜0，
∴点A（4，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
2．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应满足（ ）
A．v≤100 B．v＝100 C．80≤v≤100 D．v≥80
【点拨】由题意，根据不等式的定义列得不等式即可．
【解析】解：由图形可得汽车的最高车速为100km/h，最低车速为80km/h，
则80≤v≤100，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（ ）
A．1 B．5 C．8 D．14
【点拨】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，则9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，四个选项中只有8符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或4
【点拨】分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可．
【解析】解：分两种情况：
①当和1均为直角边时，第三条边长＝＝2；
②当1为直角边，为斜边时，第三条边长＝＝；
综上所述，第三边长为或2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
5．下列叙述错误的是（ ）
A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
B．面积相等的两个三角形不一定全等
C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分
D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等
【点拨】由全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，等腰三角形的性质，三角形面积公式，即可判断．
【解析】解：A、B、D中的叙述正确，故A、B、D不符合题意；
C、三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．
6．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．﹣3a＜﹣3b C．a﹣3＜b﹣3 D．
【点拨】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故选项B符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．若一次函数y＝（2+k）x+b的图象过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，则k应满足的条件是（ ）
A．﹣3＜k＜2 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣2＜k＜3 D．2＜k＜3
【点拨】根据一次函数y＝（2+k）x+b的图象经过点（m，1）和点（﹣1，m），得出方程组，求出k的表达式，由m＞1，即可判断k的取值范围，从而解答本题．
【解析】解：∵一次函数y＝（2+k）x+b的图象经过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，
∴，
解得，k＝﹣3+，
∵m＞1，
∴0＜＜1，
∴﹣3＜﹣3+＜﹣2，
即﹣3＜k＜﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是列出方程组，求出k的表达式．
8．如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【点拨】先求出∠B+∠C＝70°，根据AB＝BE，AC＝CD得∠BAE＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C，则∠BAE+∠CAD＝180°﹣（∠B+∠C）＝145°，然后根据∠DAE＝∠BAE+∠CAD﹣∠BAC即可得出答案．
【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝70°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，
又∵AC＝CD，
∴∠CAD＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠BAE+∠CAD＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣×70°＝145°，
∴∠DAE＝∠BAE+∠CAD﹣∠BAC＝145°﹣110°＝35°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【点拨】A．根据图象计算即可；
B．根据速度＝路程÷时间计算出甲的速度，由路程＝速度×时间计算出乙追上甲时甲的路程（与乙的路程相等），再根据起点与终点之间的距离计算即可；
C．由图象可知，当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远；根据乙追上甲时速度＝路程÷时间求出乙的速度，从而计算出乙到达终点所用的时间，进而求出此时甲走的路程，再根据起点与终点之间的距离计算二人的间距即可；
D．根据当乙到达终点时甲走的路程计算出甲剩下的路程，再由时间＝路程÷速度计算出甲还需多长时间到达终点，即甲到终点时，乙已经在终点处休息的时间．
【解析】解：16﹣4＝12（分），
∴乙用12分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为240÷4＝60（米/分），
乙追上甲时，二人离起点的距离为2400﹣60×16＝1440（米），
∴乙追上甲后，再走1440米才到达，
∴B正确，不符合题意；
乙的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分），
乙到达终点所用的时间为2400÷80＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为2400﹣2040＝360（米），
∴C错误，符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（2400﹣2040）÷60＝6（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】在EA上截取EH＝EEG＝1，连接HG，BF，证明△EHG是等腰直角三角形，则∠EHG＝45°，HG＝，再证明∠AGH＝∠BAD＝22.5°得AH＝HG＝，则AE＝，进而得AC＝AB＝2AE＝，证明△ABF是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝AB＝，然后根据CF＝AC﹣AF即可得出CF的长．
【解析】解：在EA上截取EH＝EG＝1，连接HG，BF，如图所示：
∵EF垂直平分AB，
∴∠HEG＝90°，AF＝BF，AB＝2AE，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴∠EHG＝45°，
由勾股定理得：HG＝√＝，
在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，
∵∠EHG＝∠BAD+∠AGH，
∴45°＝22.5°+∠AGH，
∴∠AGH＝22.5°，
∴∠AGH＝∠BAD＝22.5°，
∴AH＝HG＝，
∴AE＝AH+EH＝，
∴AC＝AB＝2AE＝，
∵∠BAC＝45°，AF＝BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝AF，
∴AF＝AB＝＝，
∴CF＝AC﹣AF＝＝．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知△ABC，∠A＝20°，∠B＝50°，则△ABC是 钝角 三角形．（填“直角”“锐角”或“钝角”）
【点拨】根据定理求解再分类即可．
【解析】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣50°＝110°，
因为最大的角为110°＞90°，
所以△ABC为钝角，
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握．
12．把点A（﹣2，a）向上平移4个单位，所得像与点A关于x轴对称，则a＝ ﹣2 ．
【点拨】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标得到点A（﹣2，a）关于x轴的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣a），而点A（﹣2，a）向上平移4个单位得到点A′，所以﹣a﹣a＝4，然后解方程即可．
【解析】解：∵点A（﹣2，a）关于x轴的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣a），
而点A′与点A的距离为4个单位，
∴﹣a﹣a＝4，
∴a＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）．
13．如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，若△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为 7 ．
【点拨】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．
【解析】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB＝19﹣12＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小芬有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为 3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 ．
【点拨】利用总价＝3×5+3×0.8×超过5件的部分，结合总价不超过27元，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：根据题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．
故答案为：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），且与y轴负半轴相交，则关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为 x＞﹣2 ．
【点拨】根据一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），求出直线y＝﹣kx﹣b过点（﹣2，0），根据一次函数的性质求出k＜0，求出﹣k＞0，再根据一次函数的性质得出不等式的解集即可．
【解析】解：∵把（﹣2，0）代入y＝kx+b，得0＝﹣2k+b，
∴2k﹣b＝0，
∴直线y＝﹣kx﹣b过点（﹣2，0），
∵由图象可知：k＜0，b＜0，
∴﹣k＞0，﹣b＞0，
即直线y＝﹣kx﹣b过第一、二、三象限，
∴关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点，能根据一次函数的性质求出﹣k＞0和﹣b＞0是解此题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P为射线AC上一点．则当△ABP是等腰三角形时，AP的长为 5或8或 ．
【点拨】分三种情况：当AP＝AB时，直接得出答案；当AB＝BP时，根据等腰三角形的性质得出答案；当AP＝BP时，设AP＝x，表示CP，再根据勾股定理求出答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
当AB＝BP时，
∵BC⊥AP，
∴AP＝2AC＝8；
当AP＝AB时，可知AP＝5；
当AP＝BP时，设AP＝x，则CP＝4﹣x，BP＝x，
根据勾股定理，得CP2+BC2＝BP2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解，
所以．
综上所述，AP的长为5或8或．
故答案为：5或8或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．解不等式（组）：
（1）x+1≥2； （2）．
【点拨】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）x+1≥2，
x≥2﹣1，
x≥1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＞5，
∴原不等式组的解集为：x＞5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，CD与BE交于点F，已知AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）证明：BD＝CE；
（2）若∠1＝25°，∠ACB＝70°，求证：BE⊥CD．
【点拨】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），得AE＝AD，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝70°，再求出∠3＝∠5＝45°，然后由三角形内角和定理得∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝90°，即可得出结论．
【解析】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE；
（2）在△ABC中，∠ACB＝70°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵∠2＝∠1＝25°，
∴∠3＝∠5＝70°﹣25°＝45°，
∴∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝180°﹣（45°+45°）＝90°，
∴BE⊥CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
19．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C．连接AB，AC，BC．
（1）直接写出点C的坐标： （1，1） ；
（2）若点P是y轴上一点，BP的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
（3）第二象限内有一点Q，若点Q到x轴的距离与点A到y轴的距离相等，试写出一个满足要求的点Q的坐标．
【点拨】（1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解；
（2）根据题意可得当P（0，﹣1）时，BP⊥y轴，此时BP的长有最小值，最小值为4；
（3）根据题意得出点Q的纵坐标为1，即可求解．
【解析】解：（1）∵点A（﹣1，4），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C，
∴点 C的坐标为（﹣1+2，4﹣3），即（1，1），
故答案为：（1，1）；
（2）∵B（﹣4，﹣1），
∴当P（0，﹣1）时，BP⊥y轴，此时BP的长有最小值，最小值为4，
（3）∵点A（﹣1，4），
∴点A到 y轴的距离为1，
∴点Q到 x轴的距离为1，即Q的纵坐标的绝对值为1，
又∵点Q在第二象限，
∴点Q的纵坐标为1，
∴Q（﹣1，1）满足题意．
【点睛】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离．
【点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EF＝AD，CF＝AD，进而求解EF＝CF；
（2）连接CE，易求EF＝AF＝CF＝6，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC＝60°，利用等边三角形的性质可求解CE的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝6，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝EF＝6，
∴C，E两点间的距离是6．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，求出∠EFC＝60°是解题的关键．
21．已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
【点拨】（1）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解；
（2）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解．
【解析】解：（1）由题意，设OC为S＝kt，
又过点（3，80），
∴80＝3k．
∴k＝．
∴．
（2）由题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得
∴
∴S＝60t﹣60．
∴相遇前，，解得；相遇后，，解得．
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当 t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距 20km．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
22．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACD＝22.5°，则∠CBF＝ 22.5 °；
（2）求证：CF＝DE；
（3）若AB＝AC，求证：BG＝2DE．
【点拨】（1）先证明△ABF是等腰直角三角形，则∠1＝∠A＝45°，进而得∠2＝67.5°，再根据BC＝CD得∠2＝∠CBD＝67.5°，据此可得∠CBF的度数；
（2）证明△BFC和△CED全等即可得出结论；
（3）过点C作CH⊥AB于H，则BH＝DH，证明CD是∠ACH的平分线得DE＝DH＝BH，则BD＝2DH＝2DE，再证明BG＝BD即可得出结论．
【解析】（1）解：如图1所示：
∵∠A＝45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠1＝∠A＝45°，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠2＝∠A+∠ACD＝67.5°，
∵BC＝CD，
∴∠2＝∠CBD＝67.5°，
即∠1+∠CBF＝67.5°，
∴∠CBF＝67.5°﹣∠3＝22.5°，
故答案为：22.5；
（2）证明：如图2所示：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠CED＝90°，
∵△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF，∠1＝∠A＝45°，
∵BC＝CD，
∴∠2＝∠CBD＝∠1+∠3＝45°+∠3，
∵∠2＝∠A+∠ACD＝45°+∠ACD，
∴∠3＝∠ACD，
在△BFC和△CED中，
，
∴△BFC≌△CED（AAS），
∴CF＝DE；
（3）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图3所示：
∵∠A＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝67.5°，
∵BC＝CD，CH⊥AB，∠ACH＝∠DCH＝1/2∠BCD，
∴∠2＝∠ABC＝67.5°，DH＝BH，
∴∠1+∠3＝∠ABC＝67.5°，
∵∠1＝∠A＝45°，
∴∠3＝22.5°，
∵∠2＝∠A+∠ACD＝65°，
∴∠ACD＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠ACH＝∠DCH＝∠BCD＝22.5°，
∴∠DCH＝∠ACD＝22.5°，
即CD是∠ACH的平分线，
又∵DE⊥AC，CH⊥AH，
∴DE＝DH＝BH，
∴BD＝2DH＝2DE，
在△BDH中，∠4＝180°﹣（∠1+∠2）＝67.5°，
∴∠2＝∠4＝67.5°，
∴BG＝BD，
∴BG＝2DE．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【点拨】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可；
（2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后代入函数关系式可计算对应a的值；
（3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可．
【解析】解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值5，把x＝﹣1，y＝5代入函数关系式得 5＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣2，
所以a＝4或a＝﹣2，
故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3或y＝﹣2x+3；
（3）依题意，得k＝a，
∴y1＝kx﹣k+1，
∵对任意实数x，y1＞y2都成立，
∴2k﹣4＜﹣k+1，
解得k＜，
∴k的取值范围是k＜且k≠0．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
24．问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：BD＝CE．
类比探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为边BC上任意一点（不是BC中点），求证：BD2+DC2＝2AD2．
拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD，，BC＝4，求BD的长．
【点拨】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），得出BD＝CE；
（2）以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，证出∠DCE＝90°，由勾股定理得出结论；
（3）以AB为边作等边△ABM，连接CM，过点M作MN⊥BC，交CB的延长线于点N，证明△MAC≌△BAD（SAS），得出CM＝BD，由勾股定理求出CM，则可得出答案．
【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴DE＝AD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴BD2+DC2＝2AD2．
（3）解：以AB为边作等边△ABM，连接CM，过点M作MN⊥BC，交CB的延长线于点N，
∵∠ADC＝60°，AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∵△ABM为等边三角形，
∴AB＝AM＝BM＝，∠BAM＝60°，
∴∠MAC＝∠BAD，
∴△MAC≌△BAD（SAS），
∴CM＝BD，
∵∠ABC＝90°，∠ABM＝60°，
∴∠MBN＝30°，
∴MN＝BM＝，
∴BN＝＝，
∴CN＝BN+CB＝+4＝，
∴CM＝＝，
∴BD＝．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应满足（ ）
A．v≤100 B．v＝100 C．80≤v≤100 D．v≥80
3．如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（ ）
A．1 B．5 C．8 D．14
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或4
5．下列叙述错误的是（ ）
A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
B．面积相等的两个三角形不一定全等
C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分
D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等
6．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．﹣3a＜﹣3b C．a﹣3＜b﹣3 D．
7．若一次函数y＝（2+k）x+b的图象过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，则k应满足的条件是（ ）
A．﹣3＜k＜2 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣2＜k＜3 D．2＜k＜3
8．如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知△ABC，∠A＝20°，∠B＝50°，则△ABC是 三角形．（填“直角”“锐角”或“钝角”）
12．把点A（﹣2，a）向上平移4个单位，所得像与点A关于x轴对称，则a＝ ．
13．如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，若△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为 ．
14．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小芬有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），且与y轴负半轴相交，则关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P为射线AC上一点．则当△ABP是等腰三角形时，AP的长为 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）解不等式（组）：
（1）x+1≥2； （2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，CD与BE交于点F，已知AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）证明：BD＝CE；
（2）若∠1＝25°，∠ACB＝70°，求证：BE⊥CD．
19．（8分）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C．连接AB，AC，BC．
（1）直接写出点C的坐标： ；
（2）若点P是y轴上一点，BP的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
（3）第二象限内有一点Q，若点Q到x轴的距离与点A到y轴的距离相等，试写出一个满足要求的点Q的坐标．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离．
21．（10分）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACD＝22.5°，则∠CBF＝ °；
（2）求证：CF＝DE；
（3）若AB＝AC，求证：BG＝2DE．
23．（10分）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
24．（12分）问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：BD＝CE．
类比探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为边BC上任意一点（不是BC中点），求证：BD2+DC2＝2AD2．
拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD，，BC＝4，求BD的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解析】解：∵4＞0，﹣1＜0，
∴点A（4，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
2．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应满足（ ）
A．v≤100 B．v＝100 C．80≤v≤100 D．v≥80
【点拨】由题意，根据不等式的定义列得不等式即可．
【解析】解：由图形可得汽车的最高车速为100km/h，最低车速为80km/h，
则80≤v≤100，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（ ）
A．1 B．5 C．8 D．14
【点拨】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，则9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，四个选项中只有8符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或4
【点拨】分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可．
【解析】解：分两种情况：
①当和1均为直角边时，第三条边长＝＝2；
②当1为直角边，为斜边时，第三条边长＝＝；
综上所述，第三边长为或2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
5．下列叙述错误的是（ ）
A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
B．面积相等的两个三角形不一定全等
C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分
D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等
【点拨】由全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，等腰三角形的性质，三角形面积公式，即可判断．
【解析】解：A、B、D中的叙述正确，故A、B、D不符合题意；
C、三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．
6．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．﹣3a＜﹣3b C．a﹣3＜b﹣3 D．
【点拨】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故选项B符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．若一次函数y＝（2+k）x+b的图象过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，则k应满足的条件是（ ）
A．﹣3＜k＜2 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣2＜k＜3 D．2＜k＜3
【点拨】根据一次函数y＝（2+k）x+b的图象经过点（m，1）和点（﹣1，m），得出方程组，求出k的表达式，由m＞1，即可判断k的取值范围，从而解答本题．
【解析】解：∵一次函数y＝（2+k）x+b的图象经过点（m，1）和点（﹣1，m），其中m＞1，
∴，
解得，k＝﹣3+，
∵m＞1，
∴0＜＜1，
∴﹣3＜﹣3+＜﹣2，
即﹣3＜k＜﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是列出方程组，求出k的表达式．
8．如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【点拨】先求出∠B+∠C＝70°，根据AB＝BE，AC＝CD得∠BAE＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C，则∠BAE+∠CAD＝180°﹣（∠B+∠C）＝145°，然后根据∠DAE＝∠BAE+∠CAD﹣∠BAC即可得出答案．
【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝70°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，
又∵AC＝CD，
∴∠CAD＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠BAE+∠CAD＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣×70°＝145°，
∴∠DAE＝∠BAE+∠CAD﹣∠BAC＝145°﹣110°＝35°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【点拨】A．根据图象计算即可；
B．根据速度＝路程÷时间计算出甲的速度，由路程＝速度×时间计算出乙追上甲时甲的路程（与乙的路程相等），再根据起点与终点之间的距离计算即可；
C．由图象可知，当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远；根据乙追上甲时速度＝路程÷时间求出乙的速度，从而计算出乙到达终点所用的时间，进而求出此时甲走的路程，再根据起点与终点之间的距离计算二人的间距即可；
D．根据当乙到达终点时甲走的路程计算出甲剩下的路程，再由时间＝路程÷速度计算出甲还需多长时间到达终点，即甲到终点时，乙已经在终点处休息的时间．
【解析】解：16﹣4＝12（分），
∴乙用12分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为240÷4＝60（米/分），
乙追上甲时，二人离起点的距离为2400﹣60×16＝1440（米），
∴乙追上甲后，再走1440米才到达，
∴B正确，不符合题意；
乙的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分），
乙到达终点所用的时间为2400÷80＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为2400﹣2040＝360（米），
∴C错误，符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（2400﹣2040）÷60＝6（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】在EA上截取EH＝EEG＝1，连接HG，BF，证明△EHG是等腰直角三角形，则∠EHG＝45°，HG＝，再证明∠AGH＝∠BAD＝22.5°得AH＝HG＝，则AE＝，进而得AC＝AB＝2AE＝，证明△ABF是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝AB＝，然后根据CF＝AC﹣AF即可得出CF的长．
【解析】解：在EA上截取EH＝EG＝1，连接HG，BF，如图所示：
∵EF垂直平分AB，
∴∠HEG＝90°，AF＝BF，AB＝2AE，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴∠EHG＝45°，
由勾股定理得：HG＝√＝，
在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，
∵∠EHG＝∠BAD+∠AGH，
∴45°＝22.5°+∠AGH，
∴∠AGH＝22.5°，
∴∠AGH＝∠BAD＝22.5°，
∴AH＝HG＝，
∴AE＝AH+EH＝，
∴AC＝AB＝2AE＝，
∵∠BAC＝45°，AF＝BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝AF，
∴AF＝AB＝＝，
∴CF＝AC﹣AF＝＝．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知△ABC，∠A＝20°，∠B＝50°，则△ABC是 钝角 三角形．（填“直角”“锐角”或“钝角”）
【点拨】根据定理求解再分类即可．
【解析】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣50°＝110°，
因为最大的角为110°＞90°，
所以△ABC为钝角，
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握．
12．把点A（﹣2，a）向上平移4个单位，所得像与点A关于x轴对称，则a＝ ﹣2 ．
【点拨】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标得到点A（﹣2，a）关于x轴的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣a），而点A（﹣2，a）向上平移4个单位得到点A′，所以﹣a﹣a＝4，然后解方程即可．
【解析】解：∵点A（﹣2，a）关于x轴的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣a），
而点A′与点A的距离为4个单位，
∴﹣a﹣a＝4，
∴a＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）．
13．如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，若△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为 7 ．
【点拨】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．
【解析】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB＝19﹣12＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小芬有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为 3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 ．
【点拨】利用总价＝3×5+3×0.8×超过5件的部分，结合总价不超过27元，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：根据题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．
故答案为：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），且与y轴负半轴相交，则关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为 x＞﹣2 ．
【点拨】根据一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），求出直线y＝﹣kx﹣b过点（﹣2，0），根据一次函数的性质求出k＜0，求出﹣k＞0，再根据一次函数的性质得出不等式的解集即可．
【解析】解：∵把（﹣2，0）代入y＝kx+b，得0＝﹣2k+b，
∴2k﹣b＝0，
∴直线y＝﹣kx﹣b过点（﹣2，0），
∵由图象可知：k＜0，b＜0，
∴﹣k＞0，﹣b＞0，
即直线y＝﹣kx﹣b过第一、二、三象限，
∴关于x的不等式﹣kx﹣b＞0的解集为x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点，能根据一次函数的性质求出﹣k＞0和﹣b＞0是解此题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P为射线AC上一点．则当△ABP是等腰三角形时，AP的长为 5或8或 ．
【点拨】分三种情况：当AP＝AB时，直接得出答案；当AB＝BP时，根据等腰三角形的性质得出答案；当AP＝BP时，设AP＝x，表示CP，再根据勾股定理求出答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
当AB＝BP时，
∵BC⊥AP，
∴AP＝2AC＝8；
当AP＝AB时，可知AP＝5；
当AP＝BP时，设AP＝x，则CP＝4﹣x，BP＝x，
根据勾股定理，得CP2+BC2＝BP2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解，
所以．
综上所述，AP的长为5或8或．
故答案为：5或8或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．解不等式（组）：
（1）x+1≥2； （2）．
【点拨】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）x+1≥2，
x≥2﹣1，
x≥1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＞5，
∴原不等式组的解集为：x＞5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，CD与BE交于点F，已知AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）证明：BD＝CE；
（2）若∠1＝25°，∠ACB＝70°，求证：BE⊥CD．
【点拨】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），得AE＝AD，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝70°，再求出∠3＝∠5＝45°，然后由三角形内角和定理得∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝90°，即可得出结论．
【解析】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE；
（2）在△ABC中，∠ACB＝70°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵∠2＝∠1＝25°，
∴∠3＝∠5＝70°﹣25°＝45°，
∴∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝180°﹣（45°+45°）＝90°，
∴BE⊥CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
19．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C．连接AB，AC，BC．
（1）直接写出点C的坐标： （1，1） ；
（2）若点P是y轴上一点，BP的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
（3）第二象限内有一点Q，若点Q到x轴的距离与点A到y轴的距离相等，试写出一个满足要求的点Q的坐标．
【点拨】（1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解；
（2）根据题意可得当P（0，﹣1）时，BP⊥y轴，此时BP的长有最小值，最小值为4；
（3）根据题意得出点Q的纵坐标为1，即可求解．
【解析】解：（1）∵点A（﹣1，4），将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C，
∴点 C的坐标为（﹣1+2，4﹣3），即（1，1），
故答案为：（1，1）；
（2）∵B（﹣4，﹣1），
∴当P（0，﹣1）时，BP⊥y轴，此时BP的长有最小值，最小值为4，
（3）∵点A（﹣1，4），
∴点A到 y轴的距离为1，
∴点Q到 x轴的距离为1，即Q的纵坐标的绝对值为1，
又∵点Q在第二象限，
∴点Q的纵坐标为1，
∴Q（﹣1，1）满足题意．
【点睛】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离．
【点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EF＝AD，CF＝AD，进而求解EF＝CF；
（2）连接CE，易求EF＝AF＝CF＝6，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC＝60°，利用等边三角形的性质可求解CE的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝6，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝EF＝6，
∴C，E两点间的距离是6．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，求出∠EFC＝60°是解题的关键．
21．已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
【点拨】（1）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解；
（2）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解．
【解析】解：（1）由题意，设OC为S＝kt，
又过点（3，80），
∴80＝3k．
∴k＝．
∴．
（2）由题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得
∴
∴S＝60t﹣60．
∴相遇前，，解得；相遇后，，解得．
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当 t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距 20km．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
22．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACD＝22.5°，则∠CBF＝ 22.5 °；
（2）求证：CF＝DE；
（3）若AB＝AC，求证：BG＝2DE．
【点拨】（1）先证明△ABF是等腰直角三角形，则∠1＝∠A＝45°，进而得∠2＝67.5°，再根据BC＝CD得∠2＝∠CBD＝67.5°，据此可得∠CBF的度数；
（2）证明△BFC和△CED全等即可得出结论；
（3）过点C作CH⊥AB于H，则BH＝DH，证明CD是∠ACH的平分线得DE＝DH＝BH，则BD＝2DH＝2DE，再证明BG＝BD即可得出结论．
【解析】（1）解：如图1所示：
∵∠A＝45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠1＝∠A＝45°，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠2＝∠A+∠ACD＝67.5°，
∵BC＝CD，
∴∠2＝∠CBD＝67.5°，
即∠1+∠CBF＝67.5°，
∴∠CBF＝67.5°﹣∠3＝22.5°，
故答案为：22.5；
（2）证明：如图2所示：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠CED＝90°，
∵△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF，∠1＝∠A＝45°，
∵BC＝CD，
∴∠2＝∠CBD＝∠1+∠3＝45°+∠3，
∵∠2＝∠A+∠ACD＝45°+∠ACD，
∴∠3＝∠ACD，
在△BFC和△CED中，
，
∴△BFC≌△CED（AAS），
∴CF＝DE；
（3）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图3所示：
∵∠A＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝67.5°，
∵BC＝CD，CH⊥AB，∠ACH＝∠DCH＝1/2∠BCD，
∴∠2＝∠ABC＝67.5°，DH＝BH，
∴∠1+∠3＝∠ABC＝67.5°，
∵∠1＝∠A＝45°，
∴∠3＝22.5°，
∵∠2＝∠A+∠ACD＝65°，
∴∠ACD＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠ACH＝∠DCH＝∠BCD＝22.5°，
∴∠DCH＝∠ACD＝22.5°，
即CD是∠ACH的平分线，
又∵DE⊥AC，CH⊥AH，
∴DE＝DH＝BH，
∴BD＝2DH＝2DE，
在△BDH中，∠4＝180°﹣（∠1+∠2）＝67.5°，
∴∠2＝∠4＝67.5°，
∴BG＝BD，
∴BG＝2DE．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【点拨】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可；
（2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后代入函数关系式可计算对应a的值；
（3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可．
【解析】解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值5，把x＝﹣1，y＝5代入函数关系式得 5＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣2，
所以a＝4或a＝﹣2，
故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3或y＝﹣2x+3；
（3）依题意，得k＝a，
∴y1＝kx﹣k+1，
∵对任意实数x，y1＞y2都成立，
∴2k﹣4＜﹣k+1，
解得k＜，
∴k的取值范围是k＜且k≠0．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
24．问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：BD＝CE．
类比探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为边BC上任意一点（不是BC中点），求证：BD2+DC2＝2AD2．
拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD，，BC＝4，求BD的长．
【点拨】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），得出BD＝CE；
（2）以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，证出∠DCE＝90°，由勾股定理得出结论；
（3）以AB为边作等边△ABM，连接CM，过点M作MN⊥BC，交CB的延长线于点N，证明△MAC≌△BAD（SAS），得出CM＝BD，由勾股定理求出CM，则可得出答案．
【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴DE＝AD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴BD2+DC2＝2AD2．
（3）解：以AB为边作等边△ABM，连接CM，过点M作MN⊥BC，交CB的延长线于点N，
∵∠ADC＝60°，AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∵△ABM为等边三角形，
∴AB＝AM＝BM＝，∠BAM＝60°，
∴∠MAC＝∠BAD，
∴△MAC≌△BAD（SAS），
∴CM＝BD，
∵∠ABC＝90°，∠ABM＝60°，
∴∠MBN＝30°，
∴MN＝BM＝，
∴BN＝＝，
∴CN＝BN+CB＝+4＝，
∴CM＝＝，
∴BD＝．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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