【浙教版】2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（3）（含解析）

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2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
3．判断命题“如果x＜2，那么x2﹣4＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠BAD＝56°，则∠C等于（　　）
A．28° B．29° C．30° D．31°
5．已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
6．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（　　）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
7．若m＞n，则（　　）
A．m+3＞n﹣3 B．m﹣3≥n C．m﹣3＞n+3 D．n+3≥m
8．下面图象中，不可能是关于x的一次函数y＝kx﹣（k﹣3）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接AB，BC，CD，DA，则下列说法正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BCD B．∠BAD+∠BCD＝45° C．∠ADC＝120° D．∠ABC﹣∠BCD＝90°
10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标 　 　 ．
12．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是　 　 ．
13．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　 折出售．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∠BAD＝28°，AD＝AE，则∠EDC的度数为　 　 °．
15．定义：若x，y满足x＝10t，y＝﹣3t﹣3（t为常数），则称点M（x，y）为“好点”．在﹣3＜x＜6的范围内，若直线y＝x+c上存在“好点”，则c的取值范围为　 　 ．
16．如图（1），在矩形ABCD中，E为边DC上一点．现有点P以1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止．△AEP的面积y（单位：cm2）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图象如图（2）所示，则AB的值为　 　 cm，当点P运动的时间t为　 　 s时，△AEP为直角三角形．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）解不等式（组）：
（1）解不等式：3﹣（2x﹣1）≥﹣2；（2）解不等式组：．
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　 ；
（2）已知线段CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 　 　 ；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若﹣6≤x＜4，求y的取值范围．
21．（8分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形．
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长．
22．（10分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元．
（2）该商店计划用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔共20个，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍．若销售一个A种头盔的利润是35元，销售一个B种头盔的利润是15元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
23．（10分）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图象提供的信息，解答下列问题．
（1）乙容器中铁块的高度是　 　 cm．
（2）当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长．
（3）若甲容器的底面积为60cm2，丙容器的底面积为10cm2，则a的值为　 　 ．
24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
（1）如图1，若∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE＝AD．通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解析】解：x﹣3＜0，
移项得：x＜3，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
3．判断命题“如果x＜2，那么x2﹣4＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可．
【解析】解：A、1＜2，12﹣4＜0，故A不符合题意；
B、0＜2，02﹣4＜0，故B不符合题意；
C、﹣1＜2，（﹣1）2﹣4＜0，故C不符合题意；
D、﹣2＜2，（﹣2）2﹣4＝0，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子．
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠BAD＝56°，则∠C等于（　　）
A．28° B．29° C．30° D．31°
【点拨】根据题意可知∠ADB的度数，然后再利用∠ADC是三角形ADC的一个外角 即可求得答案．
【解析】解：∵AB＝AD＝CD，
∴∠B＝∠ADB，∠DAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝56°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣56°）＝62°，
在等腰三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠C＝×62°＝31°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为180°的知识点，此题难度不大．
5．已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
【点拨】先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案．
【解析】解：由条件可知2k＝1，得，
∴，
当x＝1时，，故选项A不符合题意；
当x＝2时，y＝1，故选项B不符合题意；
当x＝4时，y＝2，故选项C符合题意；
当x＝﹣1时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（　　）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
【点拨】直接利用线段垂直平分线的性质求解．
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
7．若m＞n，则（　　）
A．m+3＞n﹣3 B．m﹣3≥n C．m﹣3＞n+3 D．n+3≥m
【点拨】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【解析】解：A．若m＞n，则m+3＞n+3，所以m+3＞n﹣3，故选项A正确；
B．若m＞n，则m﹣3＞n﹣3，故选项B错误；
C．若m＞n，则m﹣3＞n﹣3，故选项C错误；
D．若m＞n，则n+3＜m+3，故选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8．下面图象中，不可能是关于x的一次函数y＝kx﹣（k﹣3）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据一次函数的图象与系数的关系分别判断各选项的正误即可．
【解析】解：A、图象走向确定k＜0，图象交y轴正半轴，故选项错误，符合题意；
B、图象走向确定k＞0，当k＜3图象交y轴正半轴，故选项正确，不符合题意；
C、图象过原点，k＝3时有这种情况存在，故选项正确，不符合题意；
D、图象走向确定k＜0，图象交y轴正半轴，故选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握图象与常数之间的关系式解答本题的关键．
9．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接AB，BC，CD，DA，则下列说法正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BCD B．∠BAD+∠BCD＝45°
C．∠ADC＝120° D．∠ABC﹣∠BCD＝90°
【点拨】取格点E，连接BE，CE，利用网格线的性质利用SAS证明△ABD≌△CBE，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
【解析】解：如图，取格点E，连接BE，CE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠BDC＝90°+45°＝135°，
若∠BAD＝∠BCD，则∠BCE＝∠BCD，
∵∠BCE＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝CD（与题干矛盾），
故A选项错误；
∵∠BAD＝∠BCE，∠BCE+∠BCD＝45°，
∴∠BAD+∠BCD＝45°，
故B选项正确；
∠ADC＝90°+45°＝135°，
故C选项错误；
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD＝∠BCE，∠BCE＝∠DBC，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABC﹣∠BCD＜90°，
故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的对应边相等，对应角相等是解本题的关键．
10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解析】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标 　（2，3）　 ．
【点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解析】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点睛】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是　3＜x＜11　 ．
【点拨】根据三角形的三边关系解答即可．
【解析】解：由三角形的三边关系可知：7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11，
故答案为：3＜x＜11．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
13．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　八　 折出售．
【点拨】设该移动手环打x折销售，利用利润＝售价×折扣率﹣进价，结合单件利润不低于24元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解析】解：设该移动手环打x折销售，
根据题意得：280×﹣200≥24，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，
∴最低可打八折出售．
故答案为：八．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∠BAD＝28°，AD＝AE，则∠EDC的度数为　14　 °．
【点拨】由三线合一可得∠CAD＝∠BAD＝28°，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC上的高，∠BAD＝28°，
∴∠CAD＝∠BAD＝28°，∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°，
则∠EDC的度数为14°，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．定义：若x，y满足x＝10t，y＝﹣3t﹣3（t为常数），则称点M（x，y）为“好点”．在﹣3＜x＜6的范围内，若直线y＝x+c上存在“好点”，则c的取值范围为　﹣＜c＜　 ．
【点拨】根据题意得出，消去t得c＝﹣x﹣3，由﹣在﹣3＜x＜6，得出﹣＜c＜．
【解析】解：∵在﹣3＜x＜6的范围内，若直线y＝x+c上存在“好点”，
∴，
消去t得c＝﹣x﹣3，
∵﹣3＜x＜6，
∴﹣＜c＜，
故答案为：﹣＜c＜．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
16．如图（1），在矩形ABCD中，E为边DC上一点．现有点P以1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止．△AEP的面积y（单位：cm2）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图象如图（2）所示，则AB的值为　8　 cm，当点P运动的时间t为　2或12　 s时，△AEP为直角三角形．
【点拨】根据点（8，24）可以求出AB，BC的长，再根据面积为18时求出EC的长，然后分当∠APE为直角时和当∠AEP是直角时两种情况求出点P运动的时间t．
【解析】解：由图2可知，当0≤t≤8时面积越来越大，最大为24，
∴AB＝1×8＝8（cm），
∴AB BC＝24，
∴BC＝6（cm），
∵当面积为18时P与C重合，
∴EC BC＝18，
∴EC＝6（cm），
∴DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝2（cm），
①当∠APE为直角时，如图：
此时EP⊥AB，
∴AP＝DE＝2（cm），
点P运动的时间t为：2÷1＝2（s）；
②当∠AEP是直角时，如图：
∵∠AEP＝90°，
∴∠AED+∠PEC＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠PEC＝∠EAD，
∵∠ADE＝ECP＝90°，
∵DE＝2（cm），
∴EC＝AD＝6cm，
∴△ADE≌△ECP（AAS），
∴CP＝DE＝2cm，
∴BP＝6﹣2＝4（cm），
∴AB+BP＝8+4＝12（cm），
∴点P运动的时间t为12÷1＝12（s），
综上所述，点P运动的时间t为2或12s，
故答案为：8，2或12．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图2得出AB、BC、EC的长度，注意培养自己的读图能力．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．解不等式（组）：
（1）解不等式：3﹣（2x﹣1）≥﹣2； （2）解不等式组：．
【点拨】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）3﹣（2x﹣1）≥﹣2，
3﹣2x+1≥﹣2，
﹣2x≥﹣2﹣3﹣1，
﹣2x≥﹣6，
x≤3；
（2），
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜5，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　4　 ；
（2）已知线段CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 　（4，5）或（4，1）　 ；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【点拨】（1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（2）根据平行于y轴的坐标的特征可得答案；
（3）由P为y轴上一点，设P（0，p），根据△ABP的面积为4，可得，从而可得答案．
【解析】解：（1）△ABC如图，
；
故答案为：4；
（2）∵线段CD∥y轴，且CD＝2，
设D（4，d），则|3﹣d|＝2，
∴3﹣d＝2或3﹣d＝﹣2，
解得：d＝1或d＝5，
∴点D的坐标为（4，5）或（4，1），
故答案为：（4，5）或（4，1）；
（3）设P（0，p），
由题意可知：，
∴，
∴AP＝4，
∵A（0，1），
∴|1﹣p|＝4，
∴1﹣p＝4或1﹣p＝﹣4，
解得：p＝﹣3或p＝5，
∴点P的坐标为（0，﹣3）或（0，5）．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
【点拨】（1）可得∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠ACB，由三角形内角和定理可求出答案；
（2）证得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（ASA）．
【解析】解：（1）∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝＝＝72°．
（2）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠BCA＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．在平面直角坐标系中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若﹣6≤x＜4，求y的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分别求出x＝﹣6及x＝4时y的值，据此可求出y的取值范围．
【解析】解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线AB的解析式为y＝．
（2）当x＝﹣6时，
y＝；
当x＝4时，
y＝，
所以当﹣6≤x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键．
21．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形．
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长．
【点拨】（1）根据△ABC和△ABD是直角三角形，点E是AB的中点DECE＝1/2AB，DE＝1/2AB，由此可得出结论；
（2）过点E作EG⊥CD于G，由（1）的结论得CG＝DG，证明△ABC是等腰直角三角形，得CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，则BF＝1，EF＝3，CE＝5，再由三角形面积公式求出EG＝2.4，进而得CG＝3.2，由此可得CD的长．
【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB，
∴CE＝DE，
∴△CDE是△ECD是等腰三角形；
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示：
∵CE＝DE，
∴CG＝DG，
∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB，
∵BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝3，
由勾股定理得：CF＝＝5，
由三角形的面积公式得：S△CEF＝CF EG＝CE EF，
∴EG＝＝＝2.4，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG＝＝3.2，
∴CG＝DG＝3.2，
∴CD＝CG+DG＝6.4．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元．
（2）该商店计划用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔共20个，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍．若销售一个A种头盔的利润是35元，销售一个B种头盔的利润是15元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
【点拨】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买m个A种头盔，则购买（20﹣m）个B种头盔，根据用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍，结合（1）的结论，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，得出可进货方案，再计算出各方案的利润，进行比较即可．
【解析】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元；
（2）设购买m个A种头盔，则购买（20﹣m）个B种头盔，
题意得：，
解得：≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m＝7或m＝8，
∴该商店共有2种进货方案，
方案1：购买7个A种头盔、13个B种头盔，可获得的总利润为35×7+15×13＝440（元），
方案2：购买8个A种头盔、12个B种头盔，可获得的总利润为35×8+15×12＝460（元），
∵440＜460，
∴最大利润是460元．
答：商店利润最大的进货方案为购买8个A种头盔、12个B种头盔，最大利润是460元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图象提供的信息，解答下列问题．
（1）乙容器中铁块的高度是　8　 cm．
（2）当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长．
（3）若甲容器的底面积为60cm2，丙容器的底面积为10cm2，则a的值为　24　 ．
【点拨】（1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得8cm；
（2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为；
（3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为24cm．
【解析】解：（1）由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程，
故当1分钟时，铁块高度＝h＝8cm，
故答案为：8．
（2）由图象可得1≤t≤3时，甲、乙两容器中水的深度相同，
设h甲＝kt+b，
把（0，15），（5，0）代入，得，
解得，
所以h甲＝﹣3t+15，
设h乙＝mt+n（1≤t≤3），
把（1，8），（3，20）代入，得，
解得，
所以h乙＝6t+2（1≤t≤3），
令h甲＝h乙，得﹣3t+15＝6t+2，解得，
所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为．
（3）由题图，得甲容器中初始水面高度为15cm，
所以水的总体积为15×60＝900（cm3），
所以每分钟甲容器中的水倒出900÷5＝180（cm3），
所以乙容器1～3分钟水的体积增加了（3﹣1）×180＝360（cm3），
因为乙容器 1～3 分钟水面升高了20﹣8＝12（cm），
所以乙容器的底面积为360÷12＝30（cm2）．
因为丙容器的底面积为10cm2，
所以当水面为20cm高时，丙容器中水的体积为10×20＝200（cm3），
此时甲容器中剩余的水的体积为900﹣180﹣360﹣200＝160（cm3），
所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度a＝20+[160÷（30+10）]＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于中档题．
24．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
（1）如图1，若∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE＝AD．通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数．
【点拨】（1）根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE＝∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠AEB＝120°，得到答案；
（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC＝150°，可求出答案；
②在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC＝∠E＝30°，进而求出∠BDC．
【解析】（1）证明：如图1，在BM上取一点E，使AE＝AD，
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝120°，
∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°；
（2）①如图2，在BD上取一点E，AE＝AD，
∵∠ABC＝∠ADB＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，
∴∠BAC＝∠EAD＝120°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°；
②∠BDC的度数会变化，
理由如下：如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，
同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠E＝30°，
∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
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