【浙教版】2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）（含解析）

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2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．
2．抛物线y＝x2+5x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（5，0） B．（﹣6，0） C．（0，5） D．（0，﹣6）
3．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．65°
5．在⊙O中，OA为半径，CD垂直平分OA，且OA＝4cm，则弦CD的长是（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．8cm
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（　　）
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
A．开口向下
B．顶点坐标为（1，4）
C．当x＜1时，y随 x的增大而减小
D．m＝0
7．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
8．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
10．表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7．
x … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 …
y … 7 m 14 k 14 m 7 …
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①a＜0；②7＜m＜14；③当时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在比例尺为1：1000000的地图上，如果图上距离是5厘米的两地，那么实际距离是　 　 千米．
12．已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为 　 　 ．
13．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 　 　 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（3，2），以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA'B'并把△OAB的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是　 　 ．
15．二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，则a的取值范围是　 　 ．
16．如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于点F．点G在线段EF上，连结CG并延长，交线段DF于点M，交线段DB于点N．若，则的值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 　 　 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
18．（8分）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3经过（1，﹣4），（﹣1，0）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求其顶点坐标及对称轴；
（3）怎样平移可使得这个二次函数图象的顶点在原点处？
19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE，且∠CAE＝∠D．
（1）求证：△ABE∽△CAE．
（2）若AE＝5，BE＝8，求CE的长．
20．（8分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）求y与x的函数解析式并写出x的取值范围．
（2）若与墙垂直的一边长x不少于25m，求当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
21．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连结BC．
（1）若AE＝CD＝4，求AB的长；
（2）若∠BCD＝36°，OB＝6，求的长度．
22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣bx+3（b为常数）经过点A（3，0）．
（1）求b的值；
（2）点C（0，s），直线AC与抛物线的另一个交点为B，且点B为线段AC的中点，求s的值；
（3）设p≤2≤q，函数y＝x2﹣bx+3（p≤x≤q）最大值与最小值的差为9，求q+p的最大值．
23．（12分）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在 ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值．
24．（12分）在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点D是弧AB的中点，连接AC、BC、AD、BD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径；
（3）若CD＝7，求四边形ACBD的面积．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．
【点拨】把要求的式子化成1+，再把代入进行计算即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴＝1+＝1+＝．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2．抛物线y＝x2+5x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（5，0） B．（﹣6，0） C．（0，5） D．（0，﹣6）
【点拨】求抛物线与y轴的交点坐标，只需令x＝0，代入解析式计算y的值即可得到答案．
【解析】解：∵y＝x2+5x﹣6与y轴相交时，x＝0，
∴将x＝0代入y＝x2+5x﹣6，得y＝02+5×0﹣6＝﹣6，
∴交点坐标是（0，﹣6），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线与y轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
3．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【点拨】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解析】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．65°
【点拨】先根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再由∠CAB＝40°求出∠B的度数，由BE＝BC得出∠BCE的度数，再根据圆周角定理即可得出结论．
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝＝＝65°，
∴∠BAD＝∠BCE＝65°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
5．在⊙O中，OA为半径，CD垂直平分OA，且OA＝4cm，则弦CD的长是（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．8cm
【点拨】连OD，CD垂直平分OA，根据垂径定理得PC＝PD，OP＝PA，则OP＝2cm，在Rt△ODP中，根据勾股定理可计算出PD，即可得到CD．
【解析】解：连OD，设CD垂直平分OA，垂足为P，如图，
∵CD垂直平分OA，
∴PC＝PD，OP＝PA，
∵OA＝4cm，
∴OP＝2cm，
在Rt△ODP中，PD＝＝2cm，
∴CD＝4cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（　　）
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
A．开口向下 B．顶点坐标为（1，4）
C．当x＜1时，y随 x的增大而减小 D．m＝0
【点拨】根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），再根据抛物线的对称性解答．
【解析】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵x＝1时，y＝4最大，
∴抛物线开口向下，当x＜1时，y随 x的增大而增大，
当x＝3与x＝﹣1时，y值相等
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴x＝3时，y＝m＝0．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标．
7．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【点拨】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解析】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【点拨】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解析】解：∵AB＝1，
设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，，
解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），
经检验x1＝是原方程的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
【点拨】根据AB＝AC得∠B＝∠ACB＝90°﹣∠BAC，再根据AB∥CD得∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D＝180°，即90°﹣∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，由此即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴90°﹣∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，
整理得：3∠BAC+2∠CAD＝180°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．
10．表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7．
x … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 …
y … 7 m 14 k 14 m 7 …
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①a＜0；②7＜m＜14；③当时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】依据题意，首先根据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以a＜0；然后根据函数值是先增大后减小，可得7＜m＜14＜k；最后根据a＜0，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以b2≥4a（c﹣k），据此判断即可．
【解析】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，①符合题意；
∴7＜m＜14＜k，
∴7＜m＜14，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当x＝是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是k，故③不符合题意；
∵≥k，a＜0，
∴4ac﹣b2≤4ak，
∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在比例尺为1：1000000的地图上，如果图上距离是5厘米的两地，那么实际距离是　50　 千米．
【点拨】根据比例尺的定义可知，实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可．
【解析】解：两地的实际距离是：5÷＝5000000（厘米）＝50（千米）．
故答案为：50．
【点睛】此题考查了比例尺，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
12．已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为 　6　 ．
【点拨】设该扇形的半径是r，由扇形面积计算公式，即可计算．
【解析】解：设该扇形的半径是r，
∴＝12π，
∴r＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
13．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 　　 ．
【点拨】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果，根据概率公式计算可得．
【解析】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果，
∴朝上的面的点数为奇数的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（3，2），以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA'B'并把△OAB的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是　（1，2）或（﹣1，﹣2）　 ．
【点拨】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为的位似图形△OA′B′，A（2，4），
∴点A的对应点A′的坐标是（2×，4×）或（2×（﹣），4×（﹣）），即（1，2）或（﹣1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，则a的取值范围是a＜0或　 ．
【点拨】记z＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，则得对称轴为直线．分a＞0；a＜0两种情况，结合二次函数z在1＜x＜3时的增减情况即可求解．
【解析】解：二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，
y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1，
记z＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，则对称轴为直线．
当a＞0时，如图1．当1＜x＜3时，z随x的增大而增大．
∴当x＝3时，z≤0．则1＜x＜3，z＜0成立．
即9a+3a﹣2a﹣1≤0．解得．
∴．
当a＜0时，如图2．当1＜x＜3时，z随x的增大而减小．
∴当x＝1时，z≤0，则1＜x＜3，z＜0成立．
即a+a﹣2a﹣1≤0．而﹣1≤0恒成立．
综上，a＜0或时，y＜x始终成立．
故答案为：a＜0或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用，正确进行计算是解题关键．
16．如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于点F．点G在线段EF上，连结CG并延长，交线段DF于点M，交线段DB于点N．若，则的值是 　　 ．
【点拨】设FG＝a，则GE＝2a，FE＝3a，先证明四边形BDEF为平行四边形得到BD＝EF＝3a，DE＝BF，则AD＝a，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得到＝，则利用等线段代换和比例的性质得到＝，接着证明△CFG∽△CBN，利用相似比得到BN＝a，所以DN＝a，然后证明△FMG∽△DMN，从而利用相似三角形的性质得到的值．
【解析】解：设FG＝a，则GE＝2a，FE＝3a，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴BD＝EF＝3a，DE＝BF，
∵＝，
∴AD＝a，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵FG∥BN，
∴△CFG∽△CBN，
∴＝＝，
∴BN＝FG＝a，
∴DN＝BD﹣BN＝3a﹣a＝a，
∵FG∥DN，
∴△FMG∽△DMN，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行线分线段成比例定理．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 　　 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
【点拨】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示6种等可能的结果，再找出小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）明从自然景点中选中“郑州之林”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为1，
所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18．已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3经过（1，﹣4），（﹣1，0）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求其顶点坐标及对称轴；
（3）怎样平移可使得这个二次函数图象的顶点在原点处？
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）化成顶点式即可求得顶点坐标，对称轴；
（3）根据顶点坐标即可得到平移的方法．
【解析】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3经过（1，﹣4），（﹣1，0）两点，
∴，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标：（1，﹣4），对称轴：直线x＝1；
（3）∵抛物线的顶点坐标：（1，﹣4），
∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位这个二次函数图象的顶点在原点处．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，熟知待定系数法是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE，且∠CAE＝∠D．
（1）求证：△ABE∽△CAE．
（2）若AE＝5，BE＝8，求CE的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得∠B＝∠D，因为∠CAE＝∠D，所以∠B＝∠CAE，而∠E＝∠E，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△CAE；
（2）由相似三角形的性质得＝，因为AE＝5，BE＝8，所以CE＝＝．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠CAE＝∠D，
∴∠B＝∠CAE，
∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△CAE．
（2）解：∵△ABE∽△CAE，
∴＝，
∵AE＝5，BE＝8，
∴CE＝＝＝，
∴CE的长是．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠B＝∠CAE，进而证明△ABE∽△CAE是解题的关键．
20．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）求y与x的函数解析式并写出x的取值范围．
（2）若与墙垂直的一边长x不少于25m，求当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【点拨】（1）根据2x+y＝80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；
（2）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值．
【解析】解：（1）∵2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80，
∵0＜﹣2x+80≤42，
∴x的取值范围为19＜x＜40；
（2）∵S＝xy，
∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴当x＝20m时，S有最大值800m2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连结BC．
（1）若AE＝CD＝4，求AB的长；
（2）若∠BCD＝36°，OB＝6，求的长度．
【点拨】（1）连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列出方程，解方程求出r，进而求出AB；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式该计算，得到答案．
【解析】解：（1）连接OC，
设⊙O的半径为r，则OE＝4﹣r，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△OEC中，OE2+CE2＝OC2，即（4﹣r）2+22＝r2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝5；
（2）∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠BCD＝72°，
∴的长为：＝π．
【点睛】本题考查的是垂径定理、弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理、弧长公式是解题的关键．
22．已知抛物线y＝x2﹣bx+3（b为常数）经过点A（3，0）．
（1）求b的值；
（2）点C（0，s），直线AC与抛物线的另一个交点为B，且点B为线段AC的中点，求s的值；
（3）设p≤2≤q，函数y＝x2﹣bx+3（p≤x≤q）最大值与最小值的差为9，求q+p的最大值．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得B的坐标，代入抛物线的解析式即可求得s的值；
（3）利用二次函数的性质结合p≤2≤q，函数y＝x2﹣bx+3（p≤x≤q）最大值与最小值的差为9，求得在p≤x≤q范围内的最小值为﹣1，则最大值为8，把y＝8代入解析式即可求得自变量x的值，从而求得p的最大值为2，q的最大值为5，进而求得q+p的最大值是7．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+3（b为常数）经过点A（3，0），
∴9﹣3b+3＝0，
解得b＝4；
（2）∵点A（3，0），C（0，s），
∴线段AC的中点B（，），
∵点B在抛物线y＝x2﹣4x+3上，
∴＝（）2﹣4×+3，
解得s＝﹣；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，函数有最小值﹣1，
∵p≤2≤q，函数y＝x2﹣bx+3（p≤x≤q）最大值与最小值的差为9，
∴在p≤x≤q范围内的最小值为﹣1，则最大值为8，
把y＝8代入y＝x2﹣4x+3得，8＝x2﹣4x+3，即x2﹣4x﹣5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴p的最大值为2，q的最大值为5，
∴q+p的最大值为7．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数最值，能够读懂题意并能正确计算是解题的关键．
23．【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在 ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值．
【点拨】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠CDE＝90°，求得∠AFD+∠ADF＝90°，得到∠CED＝∠AFD，根据相似三角形的性质得到，求得＝；
（2）根据补角的性质得到∠DOE＝∠DAF，根据相似三角形的性质得到＝，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AB＝CD，根据相似三角形的性质得到＝，求得＝，得到＝，；于是得到结论；
（3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，得到∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD，同（2）可得，在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，根据平行线的性质得到∠N＝60°，推出△NBP是等边三角形，得到BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，求得∠BPC＝120°＝∠M；根据相似三角形的性质得到＝＝，设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a，得到CM＝PB＝x﹣a，根据题意列方程即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵∠FOC＝∠EOD＝90°，
∴∠ADF+∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴△DAF∽△CDE，
∴，
∵CD＝AB，
∴＝；
（2）解：方法一：∵∠COD+∠BAD＝180°，∠COD+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝∠DAF，
∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
即＝，
∵AB＝4，AD＝7，
∴的值为；
方法二：如图，在DE上找一点K，使CK＝CD，则∠CKD＝∠CDK，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠CKD+∠CKE＝180°，
∴∠CKE＝∠A，
∵∠COD+∠BAD＝180°，
∴∠EOF+∠BAD＝180°，
∴∠AFD+∠AEO＝180°，
∵∠CEK+∠AEO＝180°，
∴∠CEK＝∠AFD，
∴△CEK∽△DFA，
∴＝＝；
（3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，
∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD，
同（2）可得，
∵，
∴设AB＝a，AD＝3a，
在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，
∵AD∥MN，∠A＝120°，
∴∠N＝60°，
∴△NBP是等边三角形，
∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，
∴∠BPC＝120°＝∠M；
∵∠BCD＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD，
∴∠PBC＝∠MCD，
∴△PBC∽△MCD，
∴＝＝，
设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a，
∴CM＝PB＝x﹣a，
∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a，
∴3x﹣a+4x+x﹣a＝3a，
解得x＝a，
∴DM＝3x＝a，
∴＝＝＝．
【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
24．在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点D是弧AB的中点，连接AC、BC、AD、BD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径；
（3）若CD＝7，求四边形ACBD的面积．
【点拨】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系以及圆周角定理进行解答即可；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，根据垂径定理，相似三角形的判定和形状以及相交弦定理进行计算即可；
（3）过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，利用角平分线的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵点D是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACD＝∠BCD，AD＝BD，
即CD平分∠ACB；
（2）解：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，点D是的中点，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∵OM⊥CD，CD＝CE+DE＝2+4＝6，
∴CM＝DM＝CD＝3，
∴EM＝3﹣2＝1，
∵∠OME＝90°＝∠DMO，∠EOM＝∠ODM，
∴EOM∽△ODM，
∴＝，
即OM2＝EM DM＝1×3＝3，
∴OD＝＝＝2．
即⊙O的半径为2；
（3）解：过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，如图，
由（1）知：DA＝DB，CD平分∠ACB，
∵DF⊥BC，DG⊥CA，
∴DG＝DF，△DCG和△DFC为等腰直角三角形，
∴CG＝GD＝CD＝，CF＝FD＝CD＝，
∴四边形CGDF为正方形，
在Rt△AGD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△AGD≌Rt△BFD（HL），
∴S△AGD＝S△BFD，
∴四边形ACBD的面积＝S四边形ADFC+S△BFD＝S四边形ADFC+S△AGD＝四边形CGDF的面积，
∴四边形ACBD的面积＝＝．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
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