上海市位育中学2015-2016学年高二3月监控考试数学试题（无答案）

位育中学2015学年第二学期监控考试试卷
高
二
数
学
2016.3.18
一、填空题(每题3分，共42分)
1．
复数为纯虚数，则实数=_______4
2．的平方根为_______或
3．如果是异面直线，也是异面直线，则直线的位置关系是_______相交平行异面
4．计算：所得的结果为_______
5．在复数范围内分解因式：=_______
6．已知为虚数，且为实数，则=_______2
7．若，则=
_______
8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个
20
9．关于的方程()有实根的充要条件是_______
10．设、是非零复数，且满足，则=
_______
11．在空间四边形中，为边的中点，为边的中点，若，，且，则线段的长为_______
12．在复平面内，三点分别对应复数，若，则的三边长之比为_______
13．在长方体中，，，设的中点为，则与所成的角为_______
14．
对于非零实数，下列四个命题都成立：(1)；(2)
若，则；(3)
；(4)若，则，那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是_______(3)(4)
二、选择题（每题3分，共12分）
15．设、是两个复数，则“”是“”的
(
)B
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2)
三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3)
两两相交的三条直线一定共面；(4)
过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是
（
）A
(A)
0
(B)
1
(C)2
(D)
3
17．若是所成角为的两条异面直线，点为空间一点，则过点与均成角的直线有
（
）C
(A)
1条
(B)
2条
(C)
3条
(D)
4条
18．设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程为，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是
(
)B
(A)一条直线
(B)以为圆心，为半径的圆
(C)焦距为的双曲线
(D)以上都不对
三、解答题(共46分)
19．(8分)已知复数、满足，，，求、
解：或
20．(8分)
已知是实系数方程的两个根，若，求实数的值
解：由题意得：，
，
韦达定理代入得
解得：或
21．(9分)
如图，四面体中，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长
解：取的中点，连、
易得：
故为异面直线与所成角
设，则
，而，由余弦定理，解得
即线段的长为
22．(9分)
如图，平面与平面相交于直线，直线在平面上，直线在平面上，且，，求证：直线是异面直线
证明：假设直线不是异面直线，即共面
(1)若，因为，所以
这与已知“”矛盾
假设不成立
(2)若直线与相交，设，
因为，所以；
因为，所以
所以，故，这与已知“”矛盾
假设不成立
综合(1)(2)得：直线是异面直线
23．(12分)
已知复数()，其中为虚数单位，对于任意复数，有，，
(1)求的值；
(2)若复数满足，求的取值范围；
(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数的点和表示复数的点之间的一个变换，问是否存在一条直线，若点在直线上，则点仍然在直线上？如果存在，求出直线的方程；否则，说明理由
解：(1)
，故，故，，解得：
(2)由，得复数的轨迹是点的中垂线
故
，所以
即的取值范围为
(3)设，()
由，得
(1)
若存在直线，则直线一定过原点，故设直线的方程为
(2)
把(1)式代入(2)式得：
(3)
把(2)式代入(3)式得：，所以
故存在直线，其方程为
位育中学2015学年第二学期监控考试试卷
高
二
数
学
2016.3.18
一、填空题(每题3分，共42分)
1．
复数为纯虚数，则实数=_______
2．的平方根为_______
3．如果是异面直线，也是异面直线，则直线的位置关系是_______
4．计算：所得的结果为_______
5．在复数范围内分解因式：=_______
6．已知为虚数，且为实数，则=_______
7．若，则=
_______
8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个
9．关于的方程()有实根的充要条件是_______
10．设、是非零复数，且满足，则=
_______
11．在空间四边形中，为边的中点，为边的中点，若，，且，则线段的长为_______
12．在复平面内，三点分别对应复数，若，则的三边长之比为_______
13．在长方体中，，，设的中点为，则与所成的角为_______
14．对于非零实数，下列四个命题都成立：(1)；(2)
若，则；(3)
；(4)若，则，那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是_______
二、选择题（每题3分，共12分）
15．设、是两个复数，则“”是“”的
(
)
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2)
三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3)
两两相交的三条直线一定共面；(4)
过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是
（
）
(A)
0
(B)
1
(C)2
(D)
3
17．若是所成角为的两条异面直线，点为空间一点，则过点与均成角的直线有
（
）
(A)
1条
(B)
2条
(C)
3条
(D)
4条
18．设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程为，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是
(
)
(A)一条直线
(B)以为圆心，为半径的圆
(C)焦距为的双曲线
(D)以上都不对
三、解答题(共46分)
19．(8分)已知复数、满足，，，求、
20．(8分)
已知是实系数方程的两
个根，若，求实数的值
21．(9分)
如图，四面体中，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长
22．(9分)
如图，平面与平面相交于直线，直线在平面上，直线在平面上，且，，求证：直线是异面直线
23．(12分)
已知复数()，其中为虚数单位，对于任意复数，有，，
(1)求的值；
(2)若复数满足，求的取值范围；
(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数的点和表示复数的点之间的一个变换，问是否存在一条直线，若点在直线上，则点仍然在直线上？如果存在，求出直线的方程；否则，说明理由
D
E
B
C
A
b
a
P
c
α
β
D
E
B
C
A
b
a
P
c
α
β