【浙教版】2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【浙教版】2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，长60cm的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为120°，则扫过的面积为（ ）
A．1200πcm2 B．120πcm2 C．400πcm2 D．40πcm2
6．二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（ ）
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ……
y …… 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．75°
8．已知二次函数y＝kx2﹣2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＜0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2+2x+c的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC＝x，AD＝y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
10．如图，BD、CE是△ABC的高，两条高交于点G，AB：AC＝6：5，过A作AF∥BC，交CE延长线于点F，连接AG，则下列说法：
①CE：BD＝5：6；②∠ABG＝∠ACE；③当∠FAG＝90°时，∠BAG＝∠BCG；
④当BD＝6，S△AEC＝，S△BEC＝6时，FE＝．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝ ．
12．按照如图所示的电路图连接电路，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，能让灯泡L1发光的概率是 ．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 ．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 ．
15．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 ．
（2）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
18．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
19．（8分）某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 a 6 12 b 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
20．（8分）已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求点m的值和二次函数的解析式；
（2）当﹣1＜x≤4时，求y2的取值范围；
（3）请直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．
21．（8分）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1．
（2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC．
22．（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
23．（10分）已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）．
（1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．
24．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
【尝试应用】
（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，求出y与x的函数关系．
【拓展提高】
（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：n，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【点拨】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解析】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴＝，
解得：DE＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【点拨】由题意知，OE⊥AB，则AB＝2AE，由勾股定理得，，进而可求AB．
【解析】解：由题意知，OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
由勾股定理得，，
∴AB＝2AE＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
4．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为．
故选：A．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．如图，长60cm的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为120°，则扫过的面积为（ ）
A．1200πcm2 B．120πcm2 C．400πcm2 D．40πcm2
【点拨】根据扇形的面积公式计算即可．
【解析】解：扫过的面积为＝1200π（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
6．二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（ ）
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ……
y …… 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
【点拨】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案．
【解析】解：由数据可得：当x＝﹣3和﹣2时，对应y的值相等，
故函数的对称轴为：直线x＝﹣，且数据从x＝﹣5到﹣3对应的y值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，x＞﹣时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C都错误，只有选项D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．75°
【点拨】由旋转的性质可得∠DAB＝40°，即可求解．
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，
∴∠DAB＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠ADE＝70°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8．已知二次函数y＝kx2﹣2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＜0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2+2x+c的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据图象分析判断即可．
【解析】解：∵当y＜0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向上，
∴y＝kx2+2x+c的图象为选项D，
∵y＝kx2+2x+c与二次函数y＝kx2﹣2x+c关于y轴对称，
∴选项B为y＝kx2﹣2x+c的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC＝x，AD＝y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
【点拨】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，依题意得∠E+∠F＝90°，∠E+∠A＝90°，则∠A＝∠F，由此可依据“AAS”判定△ADE和△FCB全等，则DE＝BC，然后在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出答案．
【解析】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵，
∴+＝180°，
∴∠E+∠F＝90°，
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE＝BF＝20，∠ADE＝∠FCB＝90°，
∴∠E+∠A＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△ADE和△FCB中，
，
∴△ADE≌△FCB（AAS），
∴DE＝BC＝x，
在Rt△ADE中，AD＝y，DE＝x，AE＝20，
由勾股定理得：DE2+AD2＝AE2，
即x2+y2＝400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．如图，BD、CE是△ABC的高，两条高交于点G，AB：AC＝6：5，过A作AF∥BC，交CE延长线于点F，连接AG，则下列说法：
①CE：BD＝5：6；②∠ABG＝∠ACE；③当∠FAG＝90°时，∠BAG＝∠BCG；
④当BD＝6，S△AEC＝，S△BEC＝6时，FE＝．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【点拨】利用相似三角形的判定定理证得△BAD∽△CAE，利用相似三角形的性质就看得出①的结论正确；由△BAD∽△CAE，利用相似三角形的对应角线段可得②的结论正确；利用相似三角形的性质和等角的余角相等，可得③的结论正确；利用等高的三角形的面积比等于底的比，可得，利用①的比例式求得CE的长度，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得FE的长度，通过计算就看得出④的结论不正确．
【解析】解：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴．
∴CE：BD＝5：6．
∴①的结论正确；
∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABG＝∠ACE．
∴②的结论正确；
∵∠FAG＝90°，
∴∠FAB+∠BAG＝90°．
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝∠ABC．
∴∠ABC+∠BAG＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠BCG＝90°，
∴∠BAG＝∠BCG．
∴③的结论正确；
∵S△AEC＝，S△BEC＝6，
∴，
由①知：CE：BD＝5：6，
∵BD＝6，
∴CE＝5．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴，
∴FE＝．
∴④的结论不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝ ．
【点拨】依据比例的性质进行计算，即可得出结论．
【解析】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．
12．按照如图所示的电路图连接电路，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，能让灯泡L1发光的概率是 ．
【点拨】由电路图得，闭合开关S1和S2时，能让灯泡L1发光．列表可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡L1发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：由电路图得，闭合开关S1和S2时，能让灯泡L1发光．
列表如下：
S1 S2 S3
S1 （S1，S2） （S1，S3）
S2 （S2，S1） （S2，S3）
S3 （S3，S1） （S3，S2）
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L1发光的结果有：（S1，S2），（S2，S1），共2种，
∴能让灯泡L1发光的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 45° ．
【点拨】根据圆内接正六边形中心角的计算方法求出∠COD＝∠DOE＝60°，再根据圆周角定理求出∠COQ的度数，再由圆周角定理进行计算即可．
【解析】解：如图，连接OC、OD、OE、OQ，
∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，
∵点Q是的中点，
∴∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝60°+30°＝90°，
∴∠CPQ＝∠COQ＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 16：7 ．
【点拨】根据△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根据相似三角形对应边比值相等和相似三角形面积比为相似比的平方即可解题．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FCG，
∴，
∴△ADG与△CFG的面积比是4：1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴，
令GF＝a，则AG＝2a，
设AE＝x，EG＝2a﹣x，
则x：（a+2a﹣x）＝2：5，
∴x＝a，
∴AE＝a，EG＝a，
∴AE：EG＝3：4，
∴△DEG与△ADE的面积比是4：3，
∴△DEG与△CFG的面积比是16：7．
故答案为：16：7．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了相似三角形面积比为相似比的平方的性质．关键在证明三角形相似．
15．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 4 ．
【点拨】先根据抛物线的对称性得到﹣＝，则x1+x2＝﹣b，然后把（﹣b，m）代入y＝x2+bx+4可得到m的值．
【解析】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，
∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+4的对称轴对称，
∴﹣＝，
∴x1+x2＝﹣b，
∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上，
∴m＝b2+b （﹣b）+4＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．
【点拨】作EH⊥BD于H，由勾股定理求出BC、AE的长，由三角形外角的性质推出AE∥BD，由△EBH∽△AEC，求出BH的长，得到BD的长，由△BOD∽△AOE，即可求出的值．
【解析】解：作EH⊥BD于H，
∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，
∴BC＝＝4，
∵E为BC边的中点，
∴CE＝BE＝2，
∴AE＝＝2，
∵△ACE沿AE折叠得到△AED，
∴DE＝EB，∠AEC＝∠AED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠AEC+∠AED＝∠EDB+∠EBD，
∴2∠AEC＝2∠EBD，
∴∠AEC＝∠EBD，
∴AE∥BD，
∵∠C＝∠EHB＝90°，∠AEC＝∠EBH，
∴△EBH∽△AEC，
∴BH：CE＝BE：AE，
∴BH：2＝2：2，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵BD∥AE，
∴△BOD∽△AOE，
∴＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是证明BD∥AE，△EBH∽△AEC，求出BH的长．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 （3，0） ．
（2）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
【点拨】（1）根据轴对称性质即可求得点C的坐标；
（2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式，然后利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．
【解析】解：（1）∵点C与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴C（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）把A（﹣1，0）、C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴将二次函数的图象向下平移3个单位长度，
则平移后的二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣3＝﹣x2+2x．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，二次函数图象与几何变换，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【点拨】（1）证AB＝CB，得 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO，
然后证△ABO∽△BEO即可；
（2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：∵ ABCD是菱形，
∴，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴，
∵△BOE∽△AOB，
∴，
即，
解得：，
即OE的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
19．某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 a 6 12 b 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ 15 ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 54° ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
【点拨】（1）用表格中“快乐种植”的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的人数，用抽取的人数乘以扇形统计图中D的百分比可得b的值；用360°乘以“巧手木艺”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用480乘以样本中A，B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中D，E两门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，抽取的人数为12÷20%＝60（人），
∴b＝60×25%＝15．
扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是360°×＝54°．
故答案为：15；54°．
（2）480×＝120（人）．
∴估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数约120人．
（3）列表如下：
B C D E
B （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，B） （E，C） （E，D）
共有12种等可能的结果，其中恰好选中D，E两门课程的结果有：（D，E），（E，D），共2种，
∴恰好选中D，E两门课程的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
20．已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求点m的值和二次函数的解析式；
（2）当﹣1＜x≤4时，求y2的取值范围；
（3）请直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．
【点拨】（1）把点A坐标代入一次函数式中，即可求得m的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）依据题意，结合（1）得，，则当x＝1时，y2取最小值为﹣4，又当x＝﹣1时，y2＝0；当x＝4时，y2＝5，从而可以判断得解；
（3）结合函数图象即可写出自变量的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，∵一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），
∴把点A的坐标代入y1＝﹣x+m得：1+m＝0，解得：m＝﹣1；
把点A，点B的坐标代入二次函数得：，解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）由题意，结合（1）得，，
∴当x＝1时，y2取最小值为﹣4．
又∵当x＝﹣1时，y2＝0；当x＝4时，y2＝5，
∴当﹣1＜x≤4时，﹣4≤y2≤5．
（3）由题意，∵y1＜y2，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
∴结合图象观察图象知，当x＜﹣1或x＞2时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
∴当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，求自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
21．已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1．
（2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC．
【点拨】（1）由题意得△ADE与△ABC的相似比为2：1，结合相似三角形的判定与性质画图即可．
（2）结合相似三角形的判定，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，则点D即为所求．
【解析】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1，
∴△ADE与△ABC的相似比为2：1．
如图1，△AD'E'和△AD''E''均满足题意．
（2）如图2，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，
∵∠ABC＝∠DBA，
∴△DBA∽△ABC，
则点D即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22．如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答；
（2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），
故AB＝2r＝6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）．
（1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．
【点拨】（1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答；
（2）先求得对称轴为x＝a，然后分0＜a≤2和a＞2两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可；
（3）如图，令y2＝x，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，然后结合图象即可解答．
【解析】解：（1）∵a＝1，
∴y＝2x2﹣4x+5（a为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是直线x＝1；
（2）∵y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2＝2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，
∴二次函数的对称轴是直线x＝a，
当0＜a≤2时，x＝a函数有最小值．即﹣a2+2a+2＝2，解得：a＝0（舍去）或a＝2；
当a＞2时，x＝2函数有最小值．即8﹣8a+a2+2a+2＝2解得：a＝2（舍去）或a＝4，
综上，a＝2或a＝4；
（3）如图，令y2＝x设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，
当2≤x≤m时，y1≤x恒成立，即x0＝2时，m的最大值为x1，
∴2（2﹣h）2＝2得h＝1（舍去）或3，
∴2（x﹣3）2＝x得x＝2或，
∴m的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
24．【基础巩固】
（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
【尝试应用】
（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，求出y与x的函数关系．
【拓展提高】
（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：n，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）．
【点拨】（1）利用已知得出∠E＝∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；
（3）首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠EFC，
∴∠E+∠EFA＝∠EFA+∠CFB，
∴∠E＝∠CFB，
∵∠A＝∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴，
即，
∴y＝﹣x2+x（0≤x≤4）；
（3）解：连接DE，DF，
∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，
∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，
∵∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠BDF＝∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，
∵AD：BD＝1：n，
∴DB＝nx，
∴AB＝（n+1）x＝AC＝BC，
∴AE＝（n+1）x﹣a，BF＝（n+1）x﹣b，
∵△ADE∽△BFD，
∴，
∴，
由前两项得，nax＝b[（n+1）x﹣a]①，
由后两项得，[（n+1）x﹣a][（n+1）x﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣b[（n+a）﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣nax＝nx2，
解得，a＝x，
由①得＝＝＝，
∴CE：CF＝（n+2）：（2n+1）．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
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2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，长60cm的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为120°，则扫过的面积为（ ）
A．1200πcm2 B．120πcm2 C．400πcm2 D．40πcm2
6．二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（ ）
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ……
y …… 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．75°
8．已知二次函数y＝kx2﹣2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＜0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2+2x+c的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC＝x，AD＝y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
10．如图，BD、CE是△ABC的高，两条高交于点G，AB：AC＝6：5，过A作AF∥BC，交CE延长线于点F，连接AG，则下列说法：
①CE：BD＝5：6；②∠ABG＝∠ACE；③当∠FAG＝90°时，∠BAG＝∠BCG；
④当BD＝6，S△AEC＝，S△BEC＝6时，FE＝．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝ ．
12．按照如图所示的电路图连接电路，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，能让灯泡L1发光的概率是 ．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 ．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 ．
15．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 ．
（2）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
18．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
19．（8分）某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 a 6 12 b 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
20．（8分）已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求点m的值和二次函数的解析式；
（2）当﹣1＜x≤4时，求y2的取值范围；
（3）请直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．
21．（8分）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1．
（2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC．
22．（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
23．（10分）已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）．
（1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．
24．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
【尝试应用】
（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，求出y与x的函数关系．
【拓展提高】
（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：n，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【点拨】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解析】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴＝，
解得：DE＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【点拨】由题意知，OE⊥AB，则AB＝2AE，由勾股定理得，，进而可求AB．
【解析】解：由题意知，OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
由勾股定理得，，
∴AB＝2AE＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
4．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为．
故选：A．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．如图，长60cm的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为120°，则扫过的面积为（ ）
A．1200πcm2 B．120πcm2 C．400πcm2 D．40πcm2
【点拨】根据扇形的面积公式计算即可．
【解析】解：扫过的面积为＝1200π（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
6．二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（ ）
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ……
y …… 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
【点拨】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案．
【解析】解：由数据可得：当x＝﹣3和﹣2时，对应y的值相等，
故函数的对称轴为：直线x＝﹣，且数据从x＝﹣5到﹣3对应的y值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，x＞﹣时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C都错误，只有选项D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．75°
【点拨】由旋转的性质可得∠DAB＝40°，即可求解．
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，
∴∠DAB＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠ADE＝70°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8．已知二次函数y＝kx2﹣2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＜0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2+2x+c的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据图象分析判断即可．
【解析】解：∵当y＜0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向上，
∴y＝kx2+2x+c的图象为选项D，
∵y＝kx2+2x+c与二次函数y＝kx2﹣2x+c关于y轴对称，
∴选项B为y＝kx2﹣2x+c的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC＝x，AD＝y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
【点拨】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，依题意得∠E+∠F＝90°，∠E+∠A＝90°，则∠A＝∠F，由此可依据“AAS”判定△ADE和△FCB全等，则DE＝BC，然后在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出答案．
【解析】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵，
∴+＝180°，
∴∠E+∠F＝90°，
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE＝BF＝20，∠ADE＝∠FCB＝90°，
∴∠E+∠A＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△ADE和△FCB中，
，
∴△ADE≌△FCB（AAS），
∴DE＝BC＝x，
在Rt△ADE中，AD＝y，DE＝x，AE＝20，
由勾股定理得：DE2+AD2＝AE2，
即x2+y2＝400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．如图，BD、CE是△ABC的高，两条高交于点G，AB：AC＝6：5，过A作AF∥BC，交CE延长线于点F，连接AG，则下列说法：
①CE：BD＝5：6；②∠ABG＝∠ACE；③当∠FAG＝90°时，∠BAG＝∠BCG；
④当BD＝6，S△AEC＝，S△BEC＝6时，FE＝．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【点拨】利用相似三角形的判定定理证得△BAD∽△CAE，利用相似三角形的性质就看得出①的结论正确；由△BAD∽△CAE，利用相似三角形的对应角线段可得②的结论正确；利用相似三角形的性质和等角的余角相等，可得③的结论正确；利用等高的三角形的面积比等于底的比，可得，利用①的比例式求得CE的长度，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得FE的长度，通过计算就看得出④的结论不正确．
【解析】解：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴．
∴CE：BD＝5：6．
∴①的结论正确；
∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABG＝∠ACE．
∴②的结论正确；
∵∠FAG＝90°，
∴∠FAB+∠BAG＝90°．
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝∠ABC．
∴∠ABC+∠BAG＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠BCG＝90°，
∴∠BAG＝∠BCG．
∴③的结论正确；
∵S△AEC＝，S△BEC＝6，
∴，
由①知：CE：BD＝5：6，
∵BD＝6，
∴CE＝5．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴，
∴FE＝．
∴④的结论不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝ ．
【点拨】依据比例的性质进行计算，即可得出结论．
【解析】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．
12．按照如图所示的电路图连接电路，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，能让灯泡L1发光的概率是 ．
【点拨】由电路图得，闭合开关S1和S2时，能让灯泡L1发光．列表可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡L1发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：由电路图得，闭合开关S1和S2时，能让灯泡L1发光．
列表如下：
S1 S2 S3
S1 （S1，S2） （S1，S3）
S2 （S2，S1） （S2，S3）
S3 （S3，S1） （S3，S2）
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L1发光的结果有：（S1，S2），（S2，S1），共2种，
∴能让灯泡L1发光的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 45° ．
【点拨】根据圆内接正六边形中心角的计算方法求出∠COD＝∠DOE＝60°，再根据圆周角定理求出∠COQ的度数，再由圆周角定理进行计算即可．
【解析】解：如图，连接OC、OD、OE、OQ，
∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，
∵点Q是的中点，
∴∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝60°+30°＝90°，
∴∠CPQ＝∠COQ＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 16：7 ．
【点拨】根据△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根据相似三角形对应边比值相等和相似三角形面积比为相似比的平方即可解题．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FCG，
∴，
∴△ADG与△CFG的面积比是4：1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴，
令GF＝a，则AG＝2a，
设AE＝x，EG＝2a﹣x，
则x：（a+2a﹣x）＝2：5，
∴x＝a，
∴AE＝a，EG＝a，
∴AE：EG＝3：4，
∴△DEG与△ADE的面积比是4：3，
∴△DEG与△CFG的面积比是16：7．
故答案为：16：7．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了相似三角形面积比为相似比的平方的性质．关键在证明三角形相似．
15．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 4 ．
【点拨】先根据抛物线的对称性得到﹣＝，则x1+x2＝﹣b，然后把（﹣b，m）代入y＝x2+bx+4可得到m的值．
【解析】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，
∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+4的对称轴对称，
∴﹣＝，
∴x1+x2＝﹣b，
∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上，
∴m＝b2+b （﹣b）+4＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．
【点拨】作EH⊥BD于H，由勾股定理求出BC、AE的长，由三角形外角的性质推出AE∥BD，由△EBH∽△AEC，求出BH的长，得到BD的长，由△BOD∽△AOE，即可求出的值．
【解析】解：作EH⊥BD于H，
∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，
∴BC＝＝4，
∵E为BC边的中点，
∴CE＝BE＝2，
∴AE＝＝2，
∵△ACE沿AE折叠得到△AED，
∴DE＝EB，∠AEC＝∠AED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠AEC+∠AED＝∠EDB+∠EBD，
∴2∠AEC＝2∠EBD，
∴∠AEC＝∠EBD，
∴AE∥BD，
∵∠C＝∠EHB＝90°，∠AEC＝∠EBH，
∴△EBH∽△AEC，
∴BH：CE＝BE：AE，
∴BH：2＝2：2，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵BD∥AE，
∴△BOD∽△AOE，
∴＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是证明BD∥AE，△EBH∽△AEC，求出BH的长．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 （3，0） ．
（2）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
【点拨】（1）根据轴对称性质即可求得点C的坐标；
（2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式，然后利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．
【解析】解：（1）∵点C与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴C（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）把A（﹣1，0）、C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴将二次函数的图象向下平移3个单位长度，
则平移后的二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣3＝﹣x2+2x．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，二次函数图象与几何变换，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【点拨】（1）证AB＝CB，得 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO，
然后证△ABO∽△BEO即可；
（2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：∵ ABCD是菱形，
∴，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴，
∵△BOE∽△AOB，
∴，
即，
解得：，
即OE的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
19．某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 a 6 12 b 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ 15 ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 54° ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
【点拨】（1）用表格中“快乐种植”的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的人数，用抽取的人数乘以扇形统计图中D的百分比可得b的值；用360°乘以“巧手木艺”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用480乘以样本中A，B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中D，E两门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，抽取的人数为12÷20%＝60（人），
∴b＝60×25%＝15．
扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是360°×＝54°．
故答案为：15；54°．
（2）480×＝120（人）．
∴估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数约120人．
（3）列表如下：
B C D E
B （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，B） （E，C） （E，D）
共有12种等可能的结果，其中恰好选中D，E两门课程的结果有：（D，E），（E，D），共2种，
∴恰好选中D，E两门课程的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
20．已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求点m的值和二次函数的解析式；
（2）当﹣1＜x≤4时，求y2的取值范围；
（3）请直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．
【点拨】（1）把点A坐标代入一次函数式中，即可求得m的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）依据题意，结合（1）得，，则当x＝1时，y2取最小值为﹣4，又当x＝﹣1时，y2＝0；当x＝4时，y2＝5，从而可以判断得解；
（3）结合函数图象即可写出自变量的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，∵一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象相交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），
∴把点A的坐标代入y1＝﹣x+m得：1+m＝0，解得：m＝﹣1；
把点A，点B的坐标代入二次函数得：，解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）由题意，结合（1）得，，
∴当x＝1时，y2取最小值为﹣4．
又∵当x＝﹣1时，y2＝0；当x＝4时，y2＝5，
∴当﹣1＜x≤4时，﹣4≤y2≤5．
（3）由题意，∵y1＜y2，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
∴结合图象观察图象知，当x＜﹣1或x＞2时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
∴当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，求自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
21．已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1．
（2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC．
【点拨】（1）由题意得△ADE与△ABC的相似比为2：1，结合相似三角形的判定与性质画图即可．
（2）结合相似三角形的判定，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，则点D即为所求．
【解析】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1，
∴△ADE与△ABC的相似比为2：1．
如图1，△AD'E'和△AD''E''均满足题意．
（2）如图2，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，
∵∠ABC＝∠DBA，
∴△DBA∽△ABC，
则点D即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22．如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答；
（2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），
故AB＝2r＝6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）．
（1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．
【点拨】（1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答；
（2）先求得对称轴为x＝a，然后分0＜a≤2和a＞2两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可；
（3）如图，令y2＝x，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，然后结合图象即可解答．
【解析】解：（1）∵a＝1，
∴y＝2x2﹣4x+5（a为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是直线x＝1；
（2）∵y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2＝2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，
∴二次函数的对称轴是直线x＝a，
当0＜a≤2时，x＝a函数有最小值．即﹣a2+2a+2＝2，解得：a＝0（舍去）或a＝2；
当a＞2时，x＝2函数有最小值．即8﹣8a+a2+2a+2＝2解得：a＝2（舍去）或a＝4，
综上，a＝2或a＝4；
（3）如图，令y2＝x设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，
当2≤x≤m时，y1≤x恒成立，即x0＝2时，m的最大值为x1，
∴2（2﹣h）2＝2得h＝1（舍去）或3，
∴2（x﹣3）2＝x得x＝2或，
∴m的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
24．【基础巩固】
（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
【尝试应用】
（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，求出y与x的函数关系．
【拓展提高】
（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：n，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）．
【点拨】（1）利用已知得出∠E＝∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；
（3）首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠EFC，
∴∠E+∠EFA＝∠EFA+∠CFB，
∴∠E＝∠CFB，
∵∠A＝∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴，
即，
∴y＝﹣x2+x（0≤x≤4）；
（3）解：连接DE，DF，
∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，
∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，
∵∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠BDF＝∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，
∵AD：BD＝1：n，
∴DB＝nx，
∴AB＝（n+1）x＝AC＝BC，
∴AE＝（n+1）x﹣a，BF＝（n+1）x﹣b，
∵△ADE∽△BFD，
∴，
∴，
由前两项得，nax＝b[（n+1）x﹣a]①，
由后两项得，[（n+1）x﹣a][（n+1）x﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣b[（n+a）﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣nax＝nx2，
解得，a＝x，
由①得＝＝＝，
∴CE：CF＝（n+2）：（2n+1）．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
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