江苏省南京十三中2025-2026学年高一（上）学情检测数学试卷（1月份）（含答案）

江苏省南京十三中2025-2026学年高一（上）学情检测
数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.下列说法中，错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.已知半径为的扇形面积为，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5.下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，当时，任意的实数，满足，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的周期与函数的周期相同
C. 函数图象的对称中心为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则函数是奇函数
11.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”设，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的图像关于轴对称
C. 的解集为
D. 若，则的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知，且，则 ．
14.设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点
若，求的值；
若，求的值及点的坐标．
17.本小题分
已知函数其中，，的部分图象如图所示．
求函数的解析式及单调递减区间；
将函数的图象向右平移，再向上平移，得到函数的图象若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其中，是常数．
当，时，
判断函数在上的单调性，并用定义证明；
已知两个不相等的正数，满足，求证：；
当时，求证：函数的图像关于点中心对称．
19.本小题分
一般地，设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，是自变量，是的函数习惯上改写成的形式比如：函数的反函数求法为：
第一步：反解：，
第二步：互换字母：
第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为．
记函数的反函数为，且有函数满足其中为自然对数的底数．
求函数，；
若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程有两根，，求的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知全集，集合，，
，，
当时，，
或，则或；
“”是“”成立的必要不充分条件等价于且，
，解得，
验证，当时，，则，同理，当时，，即．
．
解不等式求得集合，由得集合，由集合的运算求得答案．
由条件得到集合，的关系，然后列出不等式组，解得实数的取值范围．
本题考查集合的运算以及充要条件相关知识，属于中档题．
16.解：因为角与单位圆交于第四象限内的点，
所以，，，，，
由，得，则，
所以
；
由角终边位于第四象限，得，，
因为，且，
所以由解得：，，
所以，
则点的坐标为．
17.解：由函数其中，，的部分图象可得，，
可得，
可得，
又，
可得，
又，
可得，
可得，
令，可得，
可得单调递减区间为；
，
由题意可得当时，恒成立，
由可，得，此时，
由，可得，此时，
可得，解得，即实数的取值范围是．
18.解：当，时，在上单调递增，证明如下：
任取，，且，所以，，，则，
则
，
所以，则，
所以在上单调递增．
由，得，
则，
由于，，，则，
而，则，即．
证明：当时，，
则
，
所以函数的图象关于点中心对称．
19.解：因为，所以，，
所以，所以，所以，
所以函数的反函数是，
可知，．
由可证且，
因此，令，可知，
即在上恒成立．
令，
当，可知在上单调递增，，可知；
当时，易知不符合；
当时，可知，
只需要且，即且，可知．
综上：或，即实数的取值范围是．
由可知：，即有两根，，
令，，，则有两根，，
满足，，
可知，．
因此，
令，再令，
则，，
易知当时，，
故的最小值为．
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