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人教版2025—2026学年九年级上册期末全优冲刺领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·盘龙期末）如图，，为上一点，且，于点，以点为圆心，半径为1的圆与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情况均有可能
2．（2024九上·于都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
3．（2024九上·九龙坡期末）已知二次函数，当时，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2023·深圳期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·广州期末）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠B＝30°，则∠OAC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．50° D．60°
7．（2024九上·福州期末）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·青县期末）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·东莞期末）如图，抛物线m：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为，与x轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·馆陶期末）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·东城期末）已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 4 3 0 5 …
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 ．
12．（2024九上·盘州期末）若是方程的一个根，则的值为 ．
13．（2024九上·都江堰期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
14．（2024九上·乌鲁木齐期末）已知A（a﹣2，﹣1）与点B（﹣1，b+2）关于原点对称，则a+b＝ ．
15．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
16．（2025九上·江北期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·岳阳期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·旌阳期末）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，，，若将绕点B逆时针旋转后得到．
（1）求点P与点之间的距离；
（2）求的度数．
19．（2024九上·绵阳期末）现有件同型号的产品需要检测，已知其中有件不合格品和件合格品．
（1）从这件产品中随机同时抽取件进行检测．请利用树状图或列表，求抽到的全是合格品的概率；
（2）在这件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的概率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
20．（2024九上·江汉期末）同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
21．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，．求阴影部分的面积．
22．（2024九上·阳山期末）某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
23．（2024九上·贵州期末）如图，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕点A逆时针旋转后得到的；
（2）画出关于原点O的对称图形．
（3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________．
24．（2024九上·温岭期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点．
（1）试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由；
（2）若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值；
（3）若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值．
25．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年九年级上册期末全优冲刺领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·盘龙期末）如图，，为上一点，且，于点，以点为圆心，半径为1的圆与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【解析】【解答】解：于点，
，
，，
，
的半径为1，且，
的圆心到直线的距离大于的半径，
与相离，
故答案为：C．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
2．（2024九上·于都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
【答案】B
【解析】【解答】解：
A：通过少量重复试验，可以用频率估计概率，说法错误，需要通过大量重复试验，故不符合题意
B：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，说法正确，符合题意
C：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖，说法错误，根据生活常识可知，故不符合题意
D：概率很小的事件不可能发生，说法错误，概率很小的事件也可能发生只是发生的可能性小而已，故不符合题意
故答案为：B
【分析】了解概率的定义，了解事件的可能性，会用频率估算概率的大小。
3．（2024九上·九龙坡期末）已知二次函数，当时，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，又二次函数图象开口向上
∴或．
故答案为：C
【分析】先求出当时x对应的值，再根据二次函数与不等式的关系求解x的解集即可求解。
4．（2023·深圳期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】中心对称图形的定义进行识别，即可得出答案。
5．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设这种商品的售价上涨元
∴单件利润为x+16，总销售量为200-5x
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这种商品的售价上涨元，根据题意建立方程即可求出答案.
6．（2024九上·广州期末）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠B＝30°，则∠OAC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B和∠AOC分别是弧AC所对的圆周角和圆心角
∴∠AOC=2∠B=30°×2=60°
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OAC=(180°-60°)=60°
故答案为：D.
【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC的度数；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，可得∠OAC的度数.
7．（2024九上·福州期末）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是
故答案为：B.
【分析】根据将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是，据此即可求解.
8．（2024九上·青县期末）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD、OQ、OE，由正n边形的中心角为“”可求出∠COD=∠DOE=60°，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOQ=30°，由角的构成得∠COQ=90°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠CPQ=∠COQ，从而即可得出答案.
9．（2025九上·东莞期末）如图，抛物线m：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为，与x轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在抛物线中，令，得，
∴，
令，得，
∴，
∴，，
∴，，
由旋转的性质知，C、B、三点共线，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，根据两点间距离可得，根据勾股定理可得，由旋转的性质知，C、B、三点共线，根据矩形性质可得，，，则，建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2024九上·馆陶期末）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
当时，如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故答案为：D
【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·东城期末）已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 4 3 0 5 …
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：因为抛物线经过点，可得抛物线的对称轴为直线，
又因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为，．
故答案为：，．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性，得到抛物线的对称轴为直线，再利用抛物线的对称性写出点关于直线的对称点，即可得到答案.
12．（2024九上·盘州期末）若是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】【解答】∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2024.
【分析】先利用一元二次方程的根可得，再将其代入计算即可.
13．（2024九上·都江堰期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵正方形的对角线交于点O，
∴OC=OD，∠ADO=∠ACD=45°，AC⊥BD，
∵∠EOF=90°，
∴∠MOD+∠DON=90°，∠DON+∠CON=90°，
∴∠DOM=∠CON，
∴△DOM≌△CON（ASA），
设正方形的边长为x，
∴S正方形ABCD=x2，
∴S△DOC=S正方形ABCD=，
∵△DOM≌△CON，
∴S△DOM=S△CON，
∴重叠部分的面积=S△MOD+S△DON=S△DON+S△CON=S△DOC=，
∴P（针尖落在与正方形重叠部分）=，
故答案为：.
【分析】先利用“ASA”证出△DOM≌△CON，设正方形的边长为x，可得S△DOC=S正方形ABCD=，再求出重叠部分的面积=S△MOD+S△DON=S△DON+S△CON=S△DOC=，最后利用几何概率公式求解即可.
14．（2024九上·乌鲁木齐期末）已知A（a﹣2，﹣1）与点B（﹣1，b+2）关于原点对称，则a+b＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵A(a-2，-1)与点B(-1，b+2)关于原点对称
∴a-2=1，b+2=1，
解得a=3，b=-1，
则a+b=3-1=2.
故答案为：2.
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值而得出答案。
15．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】150（1+x）2＝216
【解析】【解答】根据题意，得：150（1+x）2＝216
【分析】设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，根据2015年的收入150亿元可得2016年的收入为150（1+x）亿元；再根据2016年的收入即可得2017年的收入为150（1+x）（1+x）亿元，即150（1+x）2，根据题意可得150（1+x）2＝216。
16．（2025九上·江北期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，
∵，
∴，，
∴小是的内切圆，
∵于点N，于点P，
∴∠ONC=∠OPC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠ONC=∠OPC=∠C=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∵PG=MD，NF=ME，
∴，，
即，，
设，
∵，
∴，，
∴BC=BF+FC=x+，，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】过点O作于点M，于点N，于点P，连接，先利用由弦心距和垂径定理得出，，可推出推出小是的内切圆，四边形是正方形，根据切线长定理得，，，可推出是等腰直角三角形，则，，设，求出的长，的长，然后在利用勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的x的值，进一步可推出NC的长，再利用等腰直角三角形的三边关系求出OC的长，即可解决问题．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·岳阳期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
【解析】【分析】（1）根据移项、配方即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解即可求解.
18．（2024九上·旌阳期末）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，，，若将绕点B逆时针旋转后得到．
（1）求点P与点之间的距离；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：连接，
由题意可知，，
，而，
∴．故为等边三角形，
∴；
（2）解：∵，
可知∠APP'=90°，
∴．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，可推算出，所以为等边三角形，即可求得；
（2）因为，根据勾股定理的逆定理可知，进而可得
（1）连接，
由题意可知，，
，而，
∴．故为等边三角形，
∴；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
，
∴为直角三角形，且，
∴．
19．（2024九上·绵阳期末）现有件同型号的产品需要检测，已知其中有件不合格品和件合格品．
（1）从这件产品中随机同时抽取件进行检测．请利用树状图或列表，求抽到的全是合格品的概率；
（2）在这件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的概率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
【答案】（1）解：设件产品分别用表示，其中产品不合格，画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中抽到的全是合格品的结果有种，
∴抽到的全是合格品的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得，
答：出的值大约是．
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可得，共有6种等结果，其中抽到的全是合格品的结果有2种，从而根据概率公式计算即可；
（2）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 抽到合格品的概率为0.8；加入x件合格品后，总产品数变为(3+x)件，其中合格品总数为( 2+x )件，然后根据概率公式列出方程，求解即可.
（1）解：设件产品分别用表示，其中产品不合格，画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中抽到的全是合格品的结果有种，
∴抽到的全是合格品的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得，
答：出的值大约是．
20．（2024九上·江汉期末）同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
【答案】（1）解：铅球出手时铅球离地面的高度为，
可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，，
，
．将代入，
得，
解得，．
故抛物线的表达式为
（2）解：将代入，
得．
即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为
（3）解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，，
．将代入，
得，
解得，
，
则 ．
，
当时，取最大值，最大值为1.6．
答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，关联二次函数的解析式求解（顶点式、一般式），函数值的计算，二次函数的最值相关知识点．
（1）由题意可设抛物线的表达式为．根据抛物线的顶点横坐标（水平距离为3m时达到最大高度）得，，再代入已知点（出手点、落地点）求出解析式；
（2）将代入抛物线解析式，计算对应的y值，即铅球距离地面的高度；
（3）设小红投掷铅球的抛物线解析式（顶点横坐标为3.5），求出的表达式，再根据二次函数的性质求其最大值及对应的水平距离.
（1）解：铅球出手时铅球离地面的高度为，
可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，，
，
．将代入，
得，
解得，．
故抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，
得．
即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为；
（3）解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，，
．将代入，
得，
解得，
，
则 ．
，
当时，取最大值，最大值为1.6．
答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为．
21．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，．求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求得，由等边对等角可得，过点B作于M，则，再根据勾股定理即可求得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
22．（2024九上·阳山期末）某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
【答案】（1）解：设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）解：设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
【解析】【分析】（1）设这两年平均下降率为x，由年的出厂价是144元，年出厂价调整为100元可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
23．（2024九上·贵州期末）如图，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕点A逆时针旋转后得到的；
（2）画出关于原点O的对称图形．
（3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________．
【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）
【解析】【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求
（3）解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，
由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点，
∴由图可知，点P的坐标为．
【分析】（1）根据旋转得到点B、C的对应点的位置， 然后依次连接解题；
（2）根据原点对称得到点A、B、C的对应点的位置，再依次连接即可；
（3）根据作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，解题即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求
（3）解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，
由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点，
∴由图可知，点P的坐标为．
24．（2024九上·温岭期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点．
（1）试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由；
（2）若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值；
（3）若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值．
【答案】（1）解：当时，，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）解：如图，当时，，
解得：，，
当，时，有最大值，
最大值为4；
（3）解：如图，，
，
当时，的最小值为，
此时；
如图，当时，，
当时，，
当两个y值相等时，h最大，
∴，
解得：，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
【解析】【分析】（1）根据纵邻点的定义，先求出抛物线在时的函数值，再计算与点纵坐标差的绝对值，然后作出判断；
（2）求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值；
（3）当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值.
（1）由题意，把代入得，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）如图，将代入得，，
当，时，最大，最大值为4；
（3）如图，把代入得，
的最小值为，
此时；
如图，把代入，把代入，
当两个y值相等时，h最大，
即解得，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
25．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
【答案】（1）解：连接，
∵边与相切于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：①如图，连接、，
时，，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为；
②与相切，理由为：
过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
③h的取值范围为
【解析】【解答】解：③如图，当点、、三点共线时，h最大，这时；
如图，当点在上时，h最小，这时；
∴在旋转过程中，h取值范围为．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCB=90°，进而得到∠OCM=30°，利用30°直角三角形的性质，结合勾勾股定理即可求出CM的长；
（2）①计算出的圆心角，代入弧长公式求解即可；
②过点O作，根据切线的性质和30°角的直角三角形的性质可以得到OF=OC，即可得到结论；
③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算即可．
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