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人教版2025—2026学年九年级下册期末复习全优达标卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉.某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（ ）
A． B． C． D．y=400x
2．下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数 的图象经过A，B 两点.若菱形 ABCD的面积为2，则k 值为 （ ）
A．16 B．12 C．10 D．9
4．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子 的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度 等于（ ）
A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m
5．两人的影子在两个相反的方向，这说明( )
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯同侧
C．他们站在路灯两侧 D．他们站在月光下
6．在 中，如果 ， ，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
7．一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
9．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为 ．
12．身高1.5米的小强站在旗杆旁，测得小强和旗杆在地面上的影长分别为2米和16米，则旗杆的高度为 米．
13．如图，已知、是的中线，和交于点，当时，那么的值等于 ．
14．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， (如图)，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
15．如图，在中，，，点是上一点，点是延长线上一点，已知，，则的长为 ．
16．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝ ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．
（1）求和的值；
（2）观察图象，不等式的解集为 ．
18．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x>0)的图象交于点A(a，3)和B(3，1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）观察图象，写出反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围．
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点Q，连接OP、OQ，若△POQ的面积为 ，求P点的坐标。
19．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：__________，___________（用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于？
（3）连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值．
20．如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=．
（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB 前有一座高为DE的观景台，已知( 点 E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
（1） 求 DE 的长；
（2） 求塔AB的高度( 取0.5，结果保留根号).
22．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度
（3）若，，求的长．
23．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
24．如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
25．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉.某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（ ）
A． B． C． D．y=400x
【答案】A
【解析】【解答】
解：∵每天售出16盒，25天售完，
∴总盒数为16 x 25= 400盒.
又∵每天售出x盒， y天售完，
∴xy= 400，
∴，
故答案为：A
【分析】根据用关系式表示变量之间的关系，茶叶总盒数固定为400，再根据每天售出盒数与售完天数的乘积等于总盒数，建立关系式即可解答.
2．下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意；
C．三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，故选项正确，符合题意；
D．圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数 的图象经过A，B 两点.若菱形 ABCD的面积为2，则k 值为 （ ）
A．16 B．12 C．10 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
由题意可设A（，6），B（，4），
∴AE=2，BE=k，
∵ 菱形 ABCD的面积为2 ，
∴BC×AE=2，解得BC=，
∴AB=BC=，
∴BE==1，
∴BE=k=1，
∴k=12.
故答案为：B.
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，由题意可设A（，6），B（，4），从而求出AE、BE的长，根据菱形的面积求出BC，即得AB，再利用勾股定理求出BE的长，继而求出k值.
4．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子 的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度 等于（ ）
A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m
【答案】B
【解析】【解答】解：如图， ， ，
∴ ，
∴ （两个角对应相等的两个三角形相似），
∴ ，
设 ，则 ，
同理，得 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
5．两人的影子在两个相反的方向，这说明( )
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯同侧
C．他们站在路灯两侧 D．他们站在月光下
【答案】C
【解析】【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影，且两人在光源两侧.
故答案为：C.
【分析】先判断光源类型，再根据影子方向相反的特点确定两人的位置关系.
6．在 中，如果 ， ，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】∵ ， ，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴ ∠A＋∠B＝90°，
∴ 这个三角形一定是直角三角形，
故答案为：D．
【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．
7．一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由一次函数和反比例函数图象可得， ，
可知抛物线开口向下，对称轴直线 ，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求解即可。
8．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
设反比例函数的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，先求出，设反比例函数的解析式为，从而得，，然后结合图形可得，，再根据，解得，即得，进而即可求得．
9．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=，
∴，
∴△ABC∽△EDF，
∴S△ABC：S△DEF=，
故答案为：B．
【分析】先证明△ABC∽△EDF，再利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△DEF=。
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH2=52-x2，
在Rt△CHE中，EH2=62-（4-x）2，
∴52-x2=62-（4-x）2，解得x= ，
∴EH= ，
在Rt△EDH中，tan∠HDE= ，
即∠CDE的正切值为3 ．
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得出△ADE为等边三角形，从而得DE=AD=5.过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，在Rt△DHE和Rt△CHE中，利用勾股定理课求出x的值，从而求出EH的值，在Rt△EDH中，利用三角函数可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作与，
由题意知，，，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∵，
在Rt中，
∵，
∴DP=BD，
∴，
解得，
∴BP=，
∴OA=OP+BP=4+。
【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，首先在Rt中，可得出OD=BD，在Rt中，可得出DP=BD，进而根据OD-DP=OP，可得出BD-BD=4，解得，再在Rt中，根据勾股定理得出BP=，从而得出OA=OP+BP=4+即可。
12．身高1.5米的小强站在旗杆旁，测得小强和旗杆在地面上的影长分别为2米和16米，则旗杆的高度为 米．
【答案】12
【解析】【解答】设旗杆高度为x米，
根据题意得：
解得：x＝12，
故答案为：12．
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比求得答案即可．
13．如图，已知、是的中线，和交于点，当时，那么的值等于 ．
【答案】 /
【解析】【解答】∵AD、BE是△ABC的中线，
∴点G是△ABC的重心，AE=AC，
∴AG=AD，
∵，∠EAG=∠DAC，
∴△AGE∽△ACD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先证出△AGE∽△ACD，可得，再将数据代入求出即可。
14．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， (如图)，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设A′B′交AC于F．
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ，
∴AC＝6，BC＝8，
∵CF⊥A′B′，
∴，
，
∵EF∥CB，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】设A′B′交AC于F，由△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ，得出AC＝6，BC＝8，利用勾股定理得出A'F的值，得出EF的值即可。
15．如图，在中，，，点是上一点，点是延长线上一点，已知，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过C作交射线AM于点E，并过C作，垂足为F，
∵，，，
∴，
设，
由勾股定理可知：，即，
解得：（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∴.
故答案为：.
【分析】过C作交射线AM于点E，并过C作，先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
16．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵F为EC中点，
∴DF∥PE，
∴△APE~△ADF
∴，
∴，
∴△ABE和△ABC的面积之比为1：5，
∵S△ABC＝10
所以 S△ABE =2.
故答案为：2.
【分析】根据等高不等底的三角形的面积之比等于底的比，即要确定 S△ABE ，那么就要确定AE和EC的比，取EC中点F，连接DF，可知DF为△BCE的中位线，可证明出△APE~△ADF，即可确定AE和EF的比，即可知AE和AC的比，从而求出 S△ABE =2。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．
（1）求和的值；
（2）观察图象，不等式的解集为 ．
【答案】（1）解：把代入得：，
把代入，得：，
把代入得：，
解得；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）解：观察图象得，不等式的解集为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据点A在 反比例函数的图象 上，可得出K的值；把 点代入中，可得出n的值；根据点A在 一次函数的图象上，可得出b的值；
（2）结合函数图象，可以得出当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出 不等式的解集 。
（1）解：把代入得：，
把代入，得：，
把代入得：，
解得；
（2）解：观察图象得，不等式的解集为或．
故答案为：或．
18．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x>0)的图象交于点A(a，3)和B(3，1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）观察图象，写出反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围．
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点Q，连接OP、OQ，若△POQ的面积为 ，求P点的坐标。
【答案】（1）解：把 代入 中，得 ，∴
把 代入 中，得 ，∴
把 、 代入 中，得：
解得
∴
（2）解：由图象得：
（3）解：设 且 ，则
∴
∴
解得
∴
【解析】【分析】（1）将
B(3，1）代入反比例函数式中，求出K'，即得反比例函数解析式，将A(a，3)代入y= 中，得出a=1，即得A（1，3），最后将A（1，3）与B(3，1）分别代入y=kx+b中，求出k、b的值即可.
（2）反比例函数值小于一次函数值，即是反比例函数图象在一次函数图象下方时的x的范围，利用图象直接读出即可.
（3）设P（m，-m+4），则Q（m， ），可得PQ=-m+4- ，根据S△POQ= ×m×PQ= 建立方程，解出m即可.
19．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：__________，___________（用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于？
（3）连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或．
20．如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=．
（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）当x=0时，y=3，即B（0，3）．
tan∠ABO===，
AO=1，即A点坐标为（﹣1，3）．
将A点坐标代入，得
1﹣b+3=0，解得b=4．
抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
y=（x+2）2﹣1，即P点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点D，使△ABD为直角三角形．
设D点坐标为D（﹣2，m），A（﹣1，0），B（0，3）．
由勾股定理，得
AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2．
①当AD2+AB2=BD2时，即1+m2+10=4+（m﹣3）2，解得m=，即D1（﹣2，）；
②当AD2+BD2=AB2时，即1+m2+4+（m﹣3）2=10，解得m=2或m=1，即D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；
③当AB2+BD2=AD2时，即10+4+（m﹣3）2=1+m2，解得m=，即D4（﹣2，），
综上所述：D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．
【解析】【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理，可得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
21．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB 前有一座高为DE的观景台，已知( 点 E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
（1） 求 DE 的长；
（2） 求塔AB的高度( 取0.5，结果保留根号).
【答案】（1）解：由题意得： DE⊥EC，
在Rt△DEC中，
CD=30m， ∠DCE=30°，
∴DE的长为15m
（2）解：
由题意得： BA⊥EA，
在Rt△DEC中， DE =15m， ∠DCE=30°，
在Rt△ABC中，
设AB= hm，
∵∠BCA=45°，
∴线段EA的长为
过点D作DF⊥AB， 垂足为F，
由题意得：，
在 中，
解得：
∴塔AB的高度约为m
【解析】【分析】(1)根据题意可得： 然后在. 中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
(2)过点D作 垂足为F，设AB=hm，根据题意得： ，则BF=(h-15)m，然后在 F中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答.
22．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度
（3）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：延长交于点G．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵O是中点，
∴
∵，
∴．
∵是直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠OEC=∠OCE；根据两直线平行，内错角相等，可得∠OEC=∠ECD；根据等量代换原则，即可得∠ACE=∠DCE；
（2）根据三角形外角的性质，可得∠AGC的度数；根据两直线平行，同位角相等，可得∠AEO=∠AGC；根据等腰三角形的性质，可得∠EAO的度数；
（3）根据三角形面积公式和已知面积之比，可得；根据圆周角定理，可得∠AEC=∠FDC=90°；根据有两对对应角相等的两个三角形相似和三角形相似的性质，可得的值，即可求出CF的值.
23．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
【答案】（1）是.；勾股定理的逆定理.
（2）解：①如图2中，点M、点N即为所求.
②A.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=2m，BD=1.5m，AD=2.5m，
∴AD2=6.25，AB2+BD2=6.25，
∴AD2=AB2+BD2，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形.
故答案为：是；勾股定理的逆定理；
（2）②观察图像可知：点P在线段MN的中点的左侧，
故答案为：A.
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据表中数据先画图，再推测秋分是表影BP的位置即可.
24．如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：如图，过M分别作交于E，交于F，
则四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，
，
平行四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）作、，证四边形是正方形得，再证，从而得，据此可得证；
（2）由（1）得，则有，即可求出，根据，可得，即可求解．
25．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
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