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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·遵义期末）如图，，，是上的三个点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·龙岗期末）如图，已知与位似，且与的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·深圳期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．6个 B．15个 C．12个 D．13个
4．（2024九上·河西期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．（2024九上·石家庄期末）如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（ ）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
6．（2024九上·石鼓期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·浙江期末）已知二次函数是实数，且，设该函数的最大值为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2024九上·天河期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
9．（2024九上·内江期末）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·馆陶期末）如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·松原期末）抛物线向右平移个单位，向上平移个单位后经过点则的值是 ．
12．（2024·深圳模拟） 如图， 点 是 ABC边 B C 上一点， 若 ，则
13．（2024九上·巴彦期末）如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
14．（2024九上·浦东期末）如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ．
15．（2024九上·怀化期末）若二次函数的对称轴是直线，则 ．
16．（2024九上·绵阳期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·麻章期末）小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
18．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
19．（2024九上·杭州期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值．
20．（2024九上·电白期末）如图，，与交于点E，且，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
21．（2025九上·新兴期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
22．（2024九上·宁波期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．
23．（2024九上·黔东南期末） 如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，连接，若，求的长．
24．（2024九上·南岸期末）平行四边形中，点E在边上，对角线交于点F．
（1）如图1，在平行四边形中，，，求证：；
（2）如图2，在平行四边形中，，，那么与的长有什么关系？请证明你的结论；
（3）如图3，在平行四边形中，，，，，求的长．
25．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·遵义期末）如图，，，是上的三个点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°
故答案为：B．
【分析】利用圆周角定理得出，即可得出结论.
2．（2024九上·龙岗期末）如图，已知与位似，且与的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ △ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴ △ABO与△DCO的相似比为1：2，
∵ B(-3，2)，
∴ C(6，-4).
故答案为：B.
【分析】根据位似和面积比求出相似比，即可求得.
3．（2023九上·深圳期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．6个 B．15个 C．12个 D．13个
【答案】C
【解析】【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：x=12，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个，
故答案选：C.
【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.
4．（2024九上·河西期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【解析】【解答】令y=0得
即（x-3）（x+1）=0，
解得，x1=3，或x2=-1，
与x轴的两个交点分别为和 ，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数与x轴的交点的特点，令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解.
5．（2024九上·石家庄期末）如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（ ）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴ ＝ ＝ ，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即 ＝ ＝ ，
解得：FB＝ ，AF＝ ，
∵△CDF∽△CEB，
∴ ＝ ，
即
解得：DF＝ ，
故AD＝AF+DF＝ + ＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m.
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出CE，然后判断出△CBE∽△AFB，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ＝ ，根据比例式可以算出FB，AF的长，再判断出△CDF∽△CEB，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，利用比例式即可算出DF的长，从而得出答案.
6．（2024九上·石鼓期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
7．（2024九上·浙江期末）已知二次函数是实数，且，设该函数的最大值为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：
∵二次函数 ， b是实数，且 设该函数的最大值为k，
且当 时，
若 则 故选项A、B错误；
若 则 故选项D正确，选项C错误.
故答案为： D.
【分析】利用抛物线的解析式求得对称轴，即可求出函数的最小值 然后根据a，b的取值，判断（a-b）2的大小即可.
8．（2024九上·天河期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
【答案】D
【解析】【解答】解：A：不共线的三点确定一个圆，错误，不符合题意；
B：三角形的外心到三角形各个顶点的矩离相等，错误，不符合题意；
C： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 ，错误，不符合题意；
D：垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据圆的性质及三角形性质逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024九上·内江期末）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转至，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
②正确；
，即，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
③正确；
在与中，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
④正确；
故答案为：
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可判断①；根据题意进行角的运算证明，从而根据三角形全等的判定即可判断②；进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据等腰直角三角形的性质即可判断③；根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而根据等腰三角形的判定即可判断④.
10．（2024九上·馆陶期末）如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，
当时，，，
∴抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，
如图所示：
∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），
∴，
解得，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，结合“图形L内部（不包含边界）恰有4个整点”可得关于a的不等式组，求解可得a的取值范围，逐一判断每个选项即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·松原期末）抛物线向右平移个单位，向上平移个单位后经过点则的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意
抛物线向右平移个单位，
向上平移个单位
代入（1，7）
解得a=2
故答案为：2
【分析】根据抛物线的平移性质，左+右-，上+下-，找到平移后的解析式，代入图象经过的点坐标，即可求出a值。
12．（2024·深圳模拟） 如图， 点 是 ABC边 B C 上一点， 若 ，则
【答案】20°
【解析】【解答】解：∵△BAC∽△BDA，∠BAC=130°，
∴∠BAC=∠BDA=130°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=180°-130°-30°=20°.
故答案为：20°.
【分析】根据△BAC∽△BDA，∠BAC=130°，得出∠BDA=130°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD的度数.
13．（2024九上·巴彦期末）如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=×90°=45°，
∵∠A=20°，
∴∠BPD=∠A+∠ADC=20°+45°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由垂直定义得∠AOC=90°，根据圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
14．（2024九上·浦东期末）如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，
点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的性质得，则，根据相似三角形判定定理可得，而，，，则，所以，即可求出答案.
15．（2024九上·怀化期末）若二次函数的对称轴是直线，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称轴是直线，求出m值解题即可．
16．（2024九上·绵阳期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，
令x=0，则y=2，
点C坐标为（0，2），
令y=0，则，
解得：
点B坐标为，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点C坐标（0，2），点B坐标代入y=kx+b，
得：，
解得：，
直线BC的表达式为，
抛物线的对称轴，
点P的横坐标为，
把x=代入，
解得y=，
点P的坐标为 .
故答案为： .
【分析】先连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，利用抛物线的表达式求出点B、点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线BC的表达式，在利用抛物线的嘴唇再求出点P的横坐标，进而求得答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·麻章期末）小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
18．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图1，连接．
图1
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点D到地面的距离为．
（2）解：如图2，
图2
为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，
则，，，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴．
∵，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，进而运用勾股定理求出OC，从而即可求解；
（2）为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，则，，，进而得到OQ，再根据勾股定理即可求出OP，从而结合题意相加即可求解。
19．（2024九上·杭州期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值．
【答案】（1）解：把代入得，
解得，
二次函数解析式为，
，
二次函数图象的对称轴为直线
（2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为，
平移后的二次函数图象与轴只有一个交点，
关于的一元二次方程有个相等的实数解，
，
解得，
即的值为
【解析】【分析】(1)把已知点的坐标代入y=ax2-2ax-3中可求出a=1，则二次函数解析式为y=x2-2x-3，然后利用配方法得到y=(x-1)2-4，从而得到二次函数图象的对称轴；
(2)根据抛物线的几何变换得到平移后的函数图象的解析式为y=x2-2x-3+m，再根据根的判别式的意义得到Δ=(-2)2-4×1×(-3+m)=0，然后解一次方程即可.
20．（2024九上·电白期末）如图，，与交于点E，且，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
，
．
（2）证明：，，
，
，
．
【解析】【分析】(1)由AB∥CD可知，相似三角形对应边成比例，即可求出CD的长；
(2)由已知条件可知有两边对应成比例，且夹角相等·，根据相似三角形的判定定理SAS可得.
21．（2025九上·新兴期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【解析】【解答】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
故答案为：0.50；0.5
【分析】(1)本题考察频率与概率的关系，核心是利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”这一规律。从“摸到白球”的频率折线图可以看出，随着摸球次数的增加，频率逐渐稳定在0.50左右，因此当摸球次数n很大时，摸到白球的概率接近0.50；单次摸球的概率等于这个稳定的频率，即0.5。
(2)本题考察概率公式的实际应用，核心是根据目标概率列方程求解。由(1)可知，盒子中原有60个球，摸到白球的概率为0.5，因此原有白球数量为个，红球数量为个。设再放入x个白球，此时白球总数为，球的总数为，根据目标概率，可列出方程，解方程得x=15，经检验该解符合题意，因此需要再放入15个白球。
（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22．（2024九上·宁波期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．
【答案】（1）解：根据题意，有：，化简，得：，
∴与之间的函数关系式为：；
（2）解：令，可得：，解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
∵销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（3）解：根据题意有：，解得：，
将化为顶点式为：，
∵，
∴当时，函数值随着的增大而减小，
∵，
∴当时，函数值最大，最大为：．
答：此时的最大值为2160元．
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及不等式组的应用等知识，利润问题需掌握“利润=单件利润×销量”的基本公式，结合二次函数的性质（开口方向，对称轴）分析最值，同时注意分析实际问题中自变量的取值范围.
（1）本题考查利润的函数关系式推导，根据“（单价-进价）×销售量=利润”，直接列式即可求解即可；
（2）令，代入函数式得，解方程并结合题意减少库存（销售量y随x增大而减小，故x越小销量越大），即可求解；
（3）根据题意有，解得的取值范围，并将化为顶点式，得到对称轴为x=25，因此在上w随x的增大而减小，当w=28时最大，代入得w=2160．
（1）解：根据题意，有：，
化简，得：，
∴与之间的函数关系式为：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
∵销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（3）解：根据题意有：，
解得：，
将化为顶点式为：，
∵，
∴当时，函数值随着的增大而减小，
∵，
∴当时，函数值最大，最大为：．
答：此时的最大值为2160元．
23．（2024九上·黔东南期末） 如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，，
，
；
（2）解：根据题意，如图所示：
是的直径，，
点为的中点，
点是的中点，
，
．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所证两角都在弦BC的同侧，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可以判定 ； （2）同样根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得到E平分BC，由中位线定理得到，OE已知，则GC可求。
24．（2024九上·南岸期末）平行四边形中，点E在边上，对角线交于点F．
（1）如图1，在平行四边形中，，，求证：；
（2）如图2，在平行四边形中，，，那么与的长有什么关系？请证明你的结论；
（3）如图3，在平行四边形中，，，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
证明：如图2，延长至点G，使 ，连接，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点A在平行四边形外以为一边，作，交的延长线于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合矩形的性质得到，再结合题意进行角的运算证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可求解；
（2）延长至点G，使，连接，先根据平行四边形的性质结合菱形的性质得到，，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而根据平行线的性质结合等腰三角形的性质进行角的运算即可求解；
（3）过点A在平行四边形外以为一边，作，交的延长线于点K，先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，，从而题意证明，再根据等腰三角形的性质即可求解。
25．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
【答案】（1）解：由题可知，
解得。
（2）解：当时，，
∵，
∴当时，有最小值，即；
当时；，
当时，，
∴当，最小值为，
当，最小值为；
（3）解：当，当时，，
当时，有最大值，即，
当时，，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，，当时，有最大值，即，
当时，，随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，当时，有最大值，即，
综上所述，函数当时的最大值为．
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据新定可列出不等式，解不等式可求出的取值范围；
（2）分两种情况：当时，当时，利用新定义可依次写成函数解析式为：或，利用二次函数的性质可求出的最小值；
（3）分为和、三种情况，可依次写成函数解析式为：；；，利用二次函数的性质可求出对应的最大值；再综合三种情况的最大值，据此可求出答案.
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