浙江省杭州市拱墅区长征中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1．（2025高一上·拱墅期末）已知全集，，，则()=（ ）
A．{} B．{} C．{} D．{}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，，，
易知，则().
故答案为：.
【分析】先根据集合的补集运算求得，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一上·拱墅期末）设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：若，则，解得，
若，则，即，解得或，
因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解绝对值不等式以及分式不等式，再结合充分、必要条件的定义判断即可．
3．（2025高一上·拱墅期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
4．（2025高一上·拱墅期末）关于函数，下列说法正确的是( )
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数是非奇非偶函数，故A错误；
B、函数在区间上单调递增，故B错误；
C、当时，，则为其图象的一个对称中心，故C 正确；
D、最小正周期为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正切函数为函数非奇非偶函数即可判断；由函数在区间上单调递增即可判断；将代入解析式求解即可判断；根据正切函数最小正周期公式计算即可判断.
5．（2025高一上·拱墅期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设天平左臂长为，右臂长为，且，
由题意可得，，即，，
则，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】设天平左臂长为，右臂长为，且，由题意可得，，再根据基本不等式求解即可（注意等号成立的条件）.
6．（2025高一上·拱墅期末）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由于函数在 上递增，故需满足 ，解得 。
故答案为：C
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，再利用已知条件分段函数 在 上单调递增，从而求出实数 的取值范围。
7．（2025高一上·拱墅期末）数学中一般用表示a、b中的较小值，关于函数有如下四个命题：
①的最小正周期为；②的图像关于直线对称；
③的值域为；④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：设，，
则，
函数的图象，如图所示：
①、由图可知，函数的最小正周期为，故①正确；
②、由图可知，为函数的对称轴，故②正确；
③、，由图可知，函数的值域为，故③错误；
④、，，由图可知，函数在区间上单调递增，故④正确.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式化简函数求得的解析式，画出函数的图象，数形结合判断即可.
8．（2025高一上·拱墅期末）正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：问题转化为，
正实数、满足， 则，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，则，
故实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】分离参数，问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，利用配方法求出的最小值，即可得实数的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2025高一上·拱墅期末）下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数的定义域为，值域为，
A、函数的定义域为，定义域、对应关系一致，是同一函数，故A符合；
B、函数，与解析式、值域均不同，不是同一函数，故B不符合；
C、函数定义域为，，定义域、对应关系一致，是同一函数，故C符合；
D、函数的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：AC．
【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可．
10．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．的对称轴为，
C．的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、令，解得，则函数的对称轴为，故B错误；
C、令，，可得，则函数的对称中心为，故C错误；
D、令，，解得，
则函数的单调递增区间为，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】利用正弦、余弦函数的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再结合正弦型三角函数的图象和性质逐项判断即可．
11．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，其中为实数，则（ ）
A．函数有两个不同零点0和；
B．若对于任意两个不同的实数都有，则；
C．若在[0，1]上单调递增，则或；
D．若有三个不同的实数根，则.
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】对于A中，当
时，
只有一个零点，所以A不符合题意；
对于B中，若
恒成立，则
在定义域
上是单调递增函数，
由函数
，要使得函数
为单调递增函数，
当
时，要使得
在
上为增函数，则满足
，解得
，
当
时，要使得
在
上为增函数，则满足
，解得
，
所以要使得函数
为单调递增函数，则
，所以B符合题意；
对于C中，当
时，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
时，
单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
若
在
上单调递增，则
，所以
，
综上，若
在
上单调递增，则实数a的取值范围是
，所以C符合题意；
对于D中，当
时，
在
上单调递增，方程
只有一个实根，不符合题意；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
要使得
有三个不同的实根，则满足
，因为
，所以不成立，舍去；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
要使得
有三个不同的实根，则满足
，即
，解得
，
即若
有三个不同的实数根，则
，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由
时，
只有一个零点，可判断A选项的正误；结合分段函数和二次函数的单调性，分类讨论，可判断B选项的正误；分
，
和
三种情况讨论，结合二次函数的性质，可判断C选项的正误；由函数
图像与性质，结合
，分类讨论，可判定D选项的正误。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一上·拱墅期末）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是 ．
【答案】[﹣10，2]
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，
∴a=﹣3．
又f（﹣x）=f（x），
∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，
即﹣b=b解得b=0，
∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，
∴﹣10≤f（x）≤2，
故函数的值域为[﹣10，2]．
故答案为：[﹣10，2]．
【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f（x），即可求出函数的值域．
13．（2025高一上·拱墅期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/ m3
超过18 m3的部分 9元/ m3
若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为 .
【答案】
【知识点】函数的值；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：当用水量为 时，水费为 ，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过 ，
当用水量为 时，水费为 ，
而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过 ，
即有 ，
因此本月用水量为 ，
故答案为：
【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，再由题意代入数值计算出结果即可
14．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，所以，，，
作出在[，4]上的函数图象如图：
对任意，总存在两个，使得，
，解得．
故答案为：．
【分析】对任意，总存在两个，使得，，画出在[，4]上的函数图象，得，进而求得实数的取值范围．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求图象的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调递增区间．
【答案】（1）解：函数，
令，解得，
则函数图象的对称轴方程为；
（2）解：当，，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
当，即，函数单调递增，
则函数在区间上的单调增区间是和和.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用整体法，结合正弦函数的性质求解即可；
（2）由，求的范围，再根据正弦函数的单调性求解即可.
（1）函数，令，
得，
所以图象的对称轴方程为；
（2）当，，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
所以函数在区间上的单调增区间是和和，
16．（2025高一上·拱墅期末）已知，．
（1）分别求x与y的取值范围；
（2）求8x + y的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，所以，即，解得；
又因为，所以，即，
所以，即，解得；
（2）解：设，则，解得，
即，
因为，，
所以.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据不等式的性质求解即可；
（2）设，求出，再根据不等式的性质求解即可.
（1）因为，，
所以，即，解得.
因为，所以，即.
所以，即，解得.
（2）方法一：
设8x + y = m（x－y）+ n（2x + y），
则，解得.
∴8x + y = 2（x－y）+ 3（2x + y）．
又－4＜2（x－y）＜0，3＜3（2x + y）＜9，
因此 8x + y∈（－1，9）．
方法二：
在平面直角坐标系中，作出四条直线 y = x + 2，y = x，y =－2x + 1，y =－2x + 3，它们产生了四个交点，，，，
四个交点围成的阴影部分，有＜x＜1，＜y＜．
设z = 8x + y，作出一次函数y =－8x + z的大致图象，
设它经过点A、C时z =－1，z = 9，所以z = 8x + y∈（－1，9）．
17．（2025高一上·拱墅期末）已知函数.
（1）求的定义域及值域；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：要使函数有意义，则，即，解得，
则函数的定义域为；
，
因为，所以，所以，
故的值域为；
（2）解：因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，
因为为增函数，所以在上单调递减，
，即，
令函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，
，则，
故的取值范围是.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；指、对数不等式的解法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，真数大于0，解不等式即可求得函数的定义域，将函数表达式变形结合不等式性质即可求函数的值域；
（2）根据函数的单调性将已知不等式转换为，令函数，易知函数在单调递减，只需即可.
（1）令，
即，解得.
故的定义域为.
，
因为，所以，
所以.
故的值域为.
（2）因为函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
因为为增函数，所以在上单调递减.
，即.
令函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减.
，则.
故的取值范围是.
18．（2025高一上·拱墅期末）函数的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由图象可知：，，解得，
因为点在函数的图像上，所以，结合图象知，
所以，又因为，所以，
则，
令，解得，
故函数的单调递增区间为；
（2）解：由，可得，
当时，函数最大值为，
当时，函数最小值为，
则，故函数在区间的值域为；
（3）解：对，不等式恒成立，即，
由（2）知，函数在区间的值域为，则，即能成立，
则，
，当且仅当，即时取等号，即，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由图象可得，以及函数的周期，利用周期公式即可求出，再利用图象经过，结合的范围求出的值，确定函数的解析式，最后根据余弦形函数的性质求单调递增区间即可；
（2）由，可得，再通过整体法，利用余弦型函数的性质计算函数值域即可；
（3）由（2）得函数在区间的最大值为，即，将不等式转化为能成立，利用基本不等式求解即可．
（1）由图象可知，，
所以，
将图象上点代入函数中得，，
结合图象知，
所以，
又因为，
所以，
故.
由，
解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）因为，
所以，
当时，函数最大值为，
当时，函数最小值为，
所以，
故函数在区间的值域为.
（3）因为对，不等式恒成立，
所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，
即能成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故实数的取值范围为.
19．（2025高一上·拱墅期末）定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求的取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．
【答案】解：（1）由①，可得②，
①②联立可得：；
因为，所以二次函数图象的对称轴为，
设二次函数，则，解得，
则；
（2）由（1）知，在上为增函数，，
则对任意都成立，
即对任意都成立，
则，解得，即实数的取值范围为；
（3），作函数的图象，如图所示：
令，，则，
当时，，
由图象可知，此时方程有两个解，设为，，
则有个解，有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，设为，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解，
综上所述，当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求的解析式，由题意可得二次函数图象的对称轴为，设二次函数，利用待定系数法求的解析式；
（2）由（1）知，在上为增函数，问题转化为对任意都成立，据此求实数的取值范围即可；
（3）先求函数的解析式，再作出函数的图象，数形结合讨论即可．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区长征中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1．（2025高一上·拱墅期末）已知全集，，，则()=（ ）
A．{} B．{} C．{} D．{}
2．（2025高一上·拱墅期末）设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（2025高一上·拱墅期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·拱墅期末）关于函数，下列说法正确的是( )
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π
5．（2025高一上·拱墅期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
6．（2025高一上·拱墅期末）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·拱墅期末）数学中一般用表示a、b中的较小值，关于函数有如下四个命题：
①的最小正周期为；②的图像关于直线对称；
③的值域为；④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025高一上·拱墅期末）正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2025高一上·拱墅期末）下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．的对称轴为，
C．的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
11．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，其中为实数，则（ ）
A．函数有两个不同零点0和；
B．若对于任意两个不同的实数都有，则；
C．若在[0，1]上单调递增，则或；
D．若有三个不同的实数根，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一上·拱墅期末）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是 ．
13．（2025高一上·拱墅期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/ m3
超过18 m3的部分 9元/ m3
若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为 .
14．（2025高一上·拱墅期末）已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求图象的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调递增区间．
16．（2025高一上·拱墅期末）已知，．
（1）分别求x与y的取值范围；
（2）求8x + y的取值范围．
17．（2025高一上·拱墅期末）已知函数.
（1）求的定义域及值域；
（2）若，求的取值范围.
18．（2025高一上·拱墅期末）函数的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2025高一上·拱墅期末）定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求的取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，，，
易知，则().
故答案为：.
【分析】先根据集合的补集运算求得，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：若，则，解得，
若，则，即，解得或，
因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解绝对值不等式以及分式不等式，再结合充分、必要条件的定义判断即可．
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
4．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数是非奇非偶函数，故A错误；
B、函数在区间上单调递增，故B错误；
C、当时，，则为其图象的一个对称中心，故C 正确；
D、最小正周期为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正切函数为函数非奇非偶函数即可判断；由函数在区间上单调递增即可判断；将代入解析式求解即可判断；根据正切函数最小正周期公式计算即可判断.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设天平左臂长为，右臂长为，且，
由题意可得，，即，，
则，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】设天平左臂长为，右臂长为，且，由题意可得，，再根据基本不等式求解即可（注意等号成立的条件）.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由于函数在 上递增，故需满足 ，解得 。
故答案为：C
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，再利用已知条件分段函数 在 上单调递增，从而求出实数 的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：设，，
则，
函数的图象，如图所示：
①、由图可知，函数的最小正周期为，故①正确；
②、由图可知，为函数的对称轴，故②正确；
③、，由图可知，函数的值域为，故③错误；
④、，，由图可知，函数在区间上单调递增，故④正确.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式化简函数求得的解析式，画出函数的图象，数形结合判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：问题转化为，
正实数、满足， 则，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，则，
故实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】分离参数，问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，利用配方法求出的最小值，即可得实数的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数的定义域为，值域为，
A、函数的定义域为，定义域、对应关系一致，是同一函数，故A符合；
B、函数，与解析式、值域均不同，不是同一函数，故B不符合；
C、函数定义域为，，定义域、对应关系一致，是同一函数，故C符合；
D、函数的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：AC．
【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可．
10．【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、令，解得，则函数的对称轴为，故B错误；
C、令，，可得，则函数的对称中心为，故C错误；
D、令，，解得，
则函数的单调递增区间为，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】利用正弦、余弦函数的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再结合正弦型三角函数的图象和性质逐项判断即可．
11．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】对于A中，当
时，
只有一个零点，所以A不符合题意；
对于B中，若
恒成立，则
在定义域
上是单调递增函数，
由函数
，要使得函数
为单调递增函数，
当
时，要使得
在
上为增函数，则满足
，解得
，
当
时，要使得
在
上为增函数，则满足
，解得
，
所以要使得函数
为单调递增函数，则
，所以B符合题意；
对于C中，当
时，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
时，
单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
若
在
上单调递增，则
，所以
，
综上，若
在
上单调递增，则实数a的取值范围是
，所以C符合题意；
对于D中，当
时，
在
上单调递增，方程
只有一个实根，不符合题意；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
要使得
有三个不同的实根，则满足
，因为
，所以不成立，舍去；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
要使得
有三个不同的实根，则满足
，即
，解得
，
即若
有三个不同的实数根，则
，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由
时，
只有一个零点，可判断A选项的正误；结合分段函数和二次函数的单调性，分类讨论，可判断B选项的正误；分
，
和
三种情况讨论，结合二次函数的性质，可判断C选项的正误；由函数
图像与性质，结合
，分类讨论，可判定D选项的正误。
12．【答案】[﹣10，2]
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，
∴a=﹣3．
又f（﹣x）=f（x），
∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，
即﹣b=b解得b=0，
∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，
∴﹣10≤f（x）≤2，
故函数的值域为[﹣10，2]．
故答案为：[﹣10，2]．
【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f（x），即可求出函数的值域．
13．【答案】
【知识点】函数的值；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：当用水量为 时，水费为 ，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过 ，
当用水量为 时，水费为 ，
而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过 ，
即有 ，
因此本月用水量为 ，
故答案为：
【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，再由题意代入数值计算出结果即可
14．【答案】
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，所以，，，
作出在[，4]上的函数图象如图：
对任意，总存在两个，使得，
，解得．
故答案为：．
【分析】对任意，总存在两个，使得，，画出在[，4]上的函数图象，得，进而求得实数的取值范围．
15．【答案】（1）解：函数，
令，解得，
则函数图象的对称轴方程为；
（2）解：当，，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
当，即，函数单调递增，
则函数在区间上的单调增区间是和和.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用整体法，结合正弦函数的性质求解即可；
（2）由，求的范围，再根据正弦函数的单调性求解即可.
（1）函数，令，
得，
所以图象的对称轴方程为；
（2）当，，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
所以函数在区间上的单调增区间是和和，
16．【答案】（1）解：因为，，所以，即，解得；
又因为，所以，即，
所以，即，解得；
（2）解：设，则，解得，
即，
因为，，
所以.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据不等式的性质求解即可；
（2）设，求出，再根据不等式的性质求解即可.
（1）因为，，
所以，即，解得.
因为，所以，即.
所以，即，解得.
（2）方法一：
设8x + y = m（x－y）+ n（2x + y），
则，解得.
∴8x + y = 2（x－y）+ 3（2x + y）．
又－4＜2（x－y）＜0，3＜3（2x + y）＜9，
因此 8x + y∈（－1，9）．
方法二：
在平面直角坐标系中，作出四条直线 y = x + 2，y = x，y =－2x + 1，y =－2x + 3，它们产生了四个交点，，，，
四个交点围成的阴影部分，有＜x＜1，＜y＜．
设z = 8x + y，作出一次函数y =－8x + z的大致图象，
设它经过点A、C时z =－1，z = 9，所以z = 8x + y∈（－1，9）．
17．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，即，解得，
则函数的定义域为；
，
因为，所以，所以，
故的值域为；
（2）解：因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，
因为为增函数，所以在上单调递减，
，即，
令函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，
，则，
故的取值范围是.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；指、对数不等式的解法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，真数大于0，解不等式即可求得函数的定义域，将函数表达式变形结合不等式性质即可求函数的值域；
（2）根据函数的单调性将已知不等式转换为，令函数，易知函数在单调递减，只需即可.
（1）令，
即，解得.
故的定义域为.
，
因为，所以，
所以.
故的值域为.
（2）因为函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
因为为增函数，所以在上单调递减.
，即.
令函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减.
，则.
故的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由图象可知：，，解得，
因为点在函数的图像上，所以，结合图象知，
所以，又因为，所以，
则，
令，解得，
故函数的单调递增区间为；
（2）解：由，可得，
当时，函数最大值为，
当时，函数最小值为，
则，故函数在区间的值域为；
（3）解：对，不等式恒成立，即，
由（2）知，函数在区间的值域为，则，即能成立，
则，
，当且仅当，即时取等号，即，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由图象可得，以及函数的周期，利用周期公式即可求出，再利用图象经过，结合的范围求出的值，确定函数的解析式，最后根据余弦形函数的性质求单调递增区间即可；
（2）由，可得，再通过整体法，利用余弦型函数的性质计算函数值域即可；
（3）由（2）得函数在区间的最大值为，即，将不等式转化为能成立，利用基本不等式求解即可．
（1）由图象可知，，
所以，
将图象上点代入函数中得，，
结合图象知，
所以，
又因为，
所以，
故.
由，
解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）因为，
所以，
当时，函数最大值为，
当时，函数最小值为，
所以，
故函数在区间的值域为.
（3）因为对，不等式恒成立，
所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，
即能成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故实数的取值范围为.
19．【答案】解：（1）由①，可得②，
①②联立可得：；
因为，所以二次函数图象的对称轴为，
设二次函数，则，解得，
则；
（2）由（1）知，在上为增函数，，
则对任意都成立，
即对任意都成立，
则，解得，即实数的取值范围为；
（3），作函数的图象，如图所示：
令，，则，
当时，，
由图象可知，此时方程有两个解，设为，，
则有个解，有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，设为，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解，
综上所述，当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求的解析式，由题意可得二次函数图象的对称轴为，设二次函数，利用待定系数法求的解析式；
（2）由（1）知，在上为增函数，问题转化为对任意都成立，据此求实数的取值范围即可；
（3）先求函数的解析式，再作出函数的图象，数形结合讨论即可．
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