湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·长沙期中）“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：且，则，充分性成立；必要性： 若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先证明充分性，再判断必要性可判断.
2．（2025高一上·长沙期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，则，
故答案为：B.
【分析】对于集合 A 和 B，它们的交集中的元素即属于集合A，又属于集合B，直接筛选出同时属于两个集合的元素，整理后即可得到交集结果.
3．（2025高一上·长沙期中）已知函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
故答案为：D
【分析】将直接代入函数 即可.
4．（2025高一上·长沙期中）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，则，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求最小值即可.
5．（2025高一上·长沙期中）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解；A、函数是偶函数，故A不符合；
B、函数是奇函数，故B符合；
C、函数是非奇非偶函数，故C不符合；
D、函数 是非奇非偶函数，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】直接判断函数的奇偶性即可.
6．（2025高一上·长沙期中）函数（，且）恒过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，解得，
则函数（，且）恒过点．
故答案为：C.
【分析】令，再利用即可求解.
7．（2025高一上·长沙期中）函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：设，满足，
即函数是奇函数，排除C，，排除D，，排除A.
故答案为：B．
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合特殊点函数值的正负判断即可.
8．（2025高一上·长沙期中）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
指数函数单调递减，则，即，
对数函数单调递增，则，即，
则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用指数函数、对数函数的单调性可得b，c的范围，即可判断的大小.
9．（2025高一上·长沙期中）已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求.
故答案为：BC.
【分析】分a>0，a<0两种情况讨论，分别代入2个解析式可求答案.
10．（2025高一上·长沙期中）函数与是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的对应法则；对数的性质与运算法则；简单函数定义域
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数，该选项错误，不合题意；
B、函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数，该选项错误，不合题意；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数，该选项正确，符合题意；
D、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数，该选项正确，符合题意.
故答案为：CD.
【分析】逐项判断函数的定义域和对应法则即可.
11．（2025高一上·长沙期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的对称中心是
B．类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
C．已知方程有实根，则
D．已知函数，设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、
，
令，定义域为R，
且，所以为奇函数，
故图象的对称中心是，该选项正确，符合题意；
B、类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，该选项错误，不合题意；
C、设，，
其中，故的解中不包含，
参变分离可得，由于，故，
所以，该选项正确，符合题意；
D、，，
令，定义域为，
则，故为奇函数，
故关于中心对称，
函数关于中心对称，故与的图象的20个交点也关于中心对称，
设关于对称的两个交点分别为，，
则，故，
则，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】按照 写出，可知，得h(x)为奇函数，且为中心对称图形，可判断A；类比A选项，可得函数为偶函数是充要条件，可判断B；设，，将x=-1代入得f(x)非零，将式子参变分离可得，可判断C；类比选项A，得到为奇函数，的对称中心是，故20个交点也关于中心对称，分组求和可判断D.
12．（2025高一上·长沙期中）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】先解方程，后利用不等式解集特征可得.
13．（2025高一上·长沙期中）已知函数，若，则
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则函数为奇函数，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性直接求值即可.
14．（2025高一上·长沙期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，在上单调递增，
所以时，；
当时，，
①若，则在上单调递增，在上单调递减，
则时，，即时，，
又时，，
此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；
②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；
③当时，在上单调递减，
则时，，即时，，
因为函数的值域为，
又时，；
则时，且，
不等式解得：，
不等式等价于时，，
设（），
因为在上单调递增，在上是增函数，
所以在上单调递增，又，
所以时，等价于，即，
则不等式解得：，
所以时，的解集为，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据分段函数的值域，结合指数函数和二次函数的性质求出实数的取值范围.
15．（2025高一上·长沙期中）计算：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：.
（2）-解：因为，所以，
所以.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）代入指数幂运算公式可得；
（2）先将两个等式进行指对互换，化为，再代入对数的运算公式计算可得.
（1）.
（2）因为，所以，
所以.
16．（2025高一上·长沙期中）已知函数，且.
（1）求的值.
（2）判断在上的单调性，并证明.
【答案】（1）解：=，；
（2）证明：在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，，所以，
因此在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的值
【解析】【分析】（1）把代入 解方程可得；
（2）设，作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调性.
（1），；
（2）在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，，所以，
因此在上单调递增．
17．（2025高一上·长沙期中）已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明）
（2）如果，求的取值范围；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，所以的定义域为，
又为增函数，故在上单调递增；
（2）解：因为的定义域为，且是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是；
（3）解：因为等价于对任意恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）让对数有意义，需要令，解出得定义域，由对数函数单调性即可得该函数单调性；
（2）由（1）得单调性，列不等式组计算即可得；
（3）由（1）得单调性可得恒成立，再根据根的判别式计算即可得.
（1）由，得，所以的定义域为，
又为增函数，故在上单调递增；
（2）因为的定义域为，且是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是；
（3）因为等价于对任意恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
18．（2025高一上·长沙期中）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
（1）求的值；
（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意可得：当时，，即，解得；
（2）解：由题意得，，，
当时，由（1）知，，则；
当时，，则，
故年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：；
（3）解：由（2）得：当时，，当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，则当时，，
因为，所以当时，利润最大，最大利润是500万元，
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 由题意将代入解析式求a的值即可；
（2）由题意，根据销售额减去固定成本与另投入成本，求函数的关系式即可；
（3）由（2）的结论，分别利用二次函数的性质、基本不等式求最值即可.
（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（3）由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
19．（2025高一上·长沙期中）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
【答案】（1）解：由题意， 存在实数，使得，
则 ，
即，即，解得，
故实数的值为1；
（2）解：①、设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，整理可得，
即，即，
即对任意恒成立，就饿得，
，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为；
②、由①知，
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意， 存在实数，使得，化简求的值即可；
（2）①、 存在实数 ，使得，再根据函数为偶函数以及求的值即可；
②、由①知，根据函数单调性的定义判断函数在上的单调性，设，
则，
化简，再求出最大值即可.
（1）由已知，可得，
则，
则，解得，
所以实数的值为1.
（2）①设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
1 / 1湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·长沙期中）“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025高一上·长沙期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·长沙期中）已知函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025高一上·长沙期中）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．16
5．（2025高一上·长沙期中）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·长沙期中）函数（，且）恒过点（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·长沙期中）函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·长沙期中）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·长沙期中）已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．0 D．1
10．（2025高一上·长沙期中）函数与是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2025高一上·长沙期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的对称中心是
B．类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
C．已知方程有实根，则
D．已知函数，设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40
12．（2025高一上·长沙期中）已知则不等式的解集为 ．
13．（2025高一上·长沙期中）已知函数，若，则
14．（2025高一上·长沙期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
15．（2025高一上·长沙期中）计算：
（1）；
（2）已知，求的值.
16．（2025高一上·长沙期中）已知函数，且.
（1）求的值.
（2）判断在上的单调性，并证明.
17．（2025高一上·长沙期中）已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明）
（2）如果，求的取值范围；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·长沙期中）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
（1）求的值；
（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
19．（2025高一上·长沙期中）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：且，则，充分性成立；必要性： 若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先证明充分性，再判断必要性可判断.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，则，
故答案为：B.
【分析】对于集合 A 和 B，它们的交集中的元素即属于集合A，又属于集合B，直接筛选出同时属于两个集合的元素，整理后即可得到交集结果.
3．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
故答案为：D
【分析】将直接代入函数 即可.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，则，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求最小值即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解；A、函数是偶函数，故A不符合；
B、函数是奇函数，故B符合；
C、函数是非奇非偶函数，故C不符合；
D、函数 是非奇非偶函数，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】直接判断函数的奇偶性即可.
6．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，解得，
则函数（，且）恒过点．
故答案为：C.
【分析】令，再利用即可求解.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：设，满足，
即函数是奇函数，排除C，，排除D，，排除A.
故答案为：B．
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合特殊点函数值的正负判断即可.
8．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
指数函数单调递减，则，即，
对数函数单调递增，则，即，
则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用指数函数、对数函数的单调性可得b，c的范围，即可判断的大小.
9．【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求.
故答案为：BC.
【分析】分a>0，a<0两种情况讨论，分别代入2个解析式可求答案.
10．【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的对应法则；对数的性质与运算法则；简单函数定义域
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数，该选项错误，不合题意；
B、函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数，该选项错误，不合题意；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数，该选项正确，符合题意；
D、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数，该选项正确，符合题意.
故答案为：CD.
【分析】逐项判断函数的定义域和对应法则即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、
，
令，定义域为R，
且，所以为奇函数，
故图象的对称中心是，该选项正确，符合题意；
B、类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，该选项错误，不合题意；
C、设，，
其中，故的解中不包含，
参变分离可得，由于，故，
所以，该选项正确，符合题意；
D、，，
令，定义域为，
则，故为奇函数，
故关于中心对称，
函数关于中心对称，故与的图象的20个交点也关于中心对称，
设关于对称的两个交点分别为，，
则，故，
则，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】按照 写出，可知，得h(x)为奇函数，且为中心对称图形，可判断A；类比A选项，可得函数为偶函数是充要条件，可判断B；设，，将x=-1代入得f(x)非零，将式子参变分离可得，可判断C；类比选项A，得到为奇函数，的对称中心是，故20个交点也关于中心对称，分组求和可判断D.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】先解方程，后利用不等式解集特征可得.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则函数为奇函数，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性直接求值即可.
14．【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，在上单调递增，
所以时，；
当时，，
①若，则在上单调递增，在上单调递减，
则时，，即时，，
又时，，
此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；
②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；
③当时，在上单调递减，
则时，，即时，，
因为函数的值域为，
又时，；
则时，且，
不等式解得：，
不等式等价于时，，
设（），
因为在上单调递增，在上是增函数，
所以在上单调递增，又，
所以时，等价于，即，
则不等式解得：，
所以时，的解集为，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据分段函数的值域，结合指数函数和二次函数的性质求出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：.
（2）-解：因为，所以，
所以.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）代入指数幂运算公式可得；
（2）先将两个等式进行指对互换，化为，再代入对数的运算公式计算可得.
（1）.
（2）因为，所以，
所以.
16．【答案】（1）解：=，；
（2）证明：在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，，所以，
因此在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的值
【解析】【分析】（1）把代入 解方程可得；
（2）设，作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调性.
（1），；
（2）在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，，所以，
因此在上单调递增．
17．【答案】（1）解：由，得，所以的定义域为，
又为增函数，故在上单调递增；
（2）解：因为的定义域为，且是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是；
（3）解：因为等价于对任意恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）让对数有意义，需要令，解出得定义域，由对数函数单调性即可得该函数单调性；
（2）由（1）得单调性，列不等式组计算即可得；
（3）由（1）得单调性可得恒成立，再根据根的判别式计算即可得.
（1）由，得，所以的定义域为，
又为增函数，故在上单调递增；
（2）因为的定义域为，且是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是；
（3）因为等价于对任意恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由题意可得：当时，，即，解得；
（2）解：由题意得，，，
当时，由（1）知，，则；
当时，，则，
故年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：；
（3）解：由（2）得：当时，，当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，则当时，，
因为，所以当时，利润最大，最大利润是500万元，
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 由题意将代入解析式求a的值即可；
（2）由题意，根据销售额减去固定成本与另投入成本，求函数的关系式即可；
（3）由（2）的结论，分别利用二次函数的性质、基本不等式求最值即可.
（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（3）由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
19．【答案】（1）解：由题意， 存在实数，使得，
则 ，
即，即，解得，
故实数的值为1；
（2）解：①、设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，整理可得，
即，即，
即对任意恒成立，就饿得，
，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为；
②、由①知，
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意， 存在实数，使得，化简求的值即可；
（2）①、 存在实数 ，使得，再根据函数为偶函数以及求的值即可；
②、由①知，根据函数单调性的定义判断函数在上的单调性，设，
则，
化简，再求出最大值即可.
（1）由已知，可得，
则，
则，解得，
所以实数的值为1.
（2）①设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
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