广东省江门市广德实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（广德班）
1．（2025高二上·江门期中）数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据按照从小到大排列：1，2，4，8，9，10，
因，可知应是第四个数，即.
故答案为：C．
【分析】首先明确百分位数的定义规则：将数据从小到大排序后，根据百分位数对应的位置公式计算位置，再根据位置是否为整数确定百分位数（整数则取对应位置与下一位数据的平均值，非整数则向上取整对应位置的数据），按此流程计算即可得到结果.
2．（2025高二上·江门期中）若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）．
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵数据，，…，的方差是，
∴数据，，…，的方差为.
故答案为：D
【分析】代入新数据组计算公式即可.
3．（2025高二上·江门期中）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，
则直线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可.
4．（2025高二上·江门期中）设向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得.
故答案为：C
【分析】根据代入，计算可得.
5．（2025高二上·江门期中）两条平行直线与之间的距离为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与平行，所以，
直线即，
所以两条平行直线之间的距离为.
故答案为：C.
【分析】先由平行性质得，再代入两平行线间的距离公式，可得.
6．（2025高二上·江门期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：点在平面内，且，
根据空间共面向量定理可得：，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据空间共面向量定理列式求解即可.
7．（2025高二上·江门期中）在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
则，即，令，则，，可得，，
因为，所以点到平面的距离为．
故答案为：B.
【分析】设平面的法向量为，利用空间向量法求平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
8．（2025高二上·江门期中）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
由题意可得，，
当取得最小值时，线段长度的最小，，
则.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半径，由题意可得，由，要使取得最小值，则线段的长度最小，利用点到直线的距离公式求解即可.
9．（2025高二上·江门期中）已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．与同向共线的单位向量是
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数
D．在上的投影向量为
【答案】B,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，，该选项错误，不合题意；
B、与同向共线的单位向量是，该选项正确，符合题意；
C、因为，所以，则，解得，该选项错误，不合题意；
D、，
则在上的投影向量为，该选项正确，符合题意．
故答案为：BD．
【分析】代入向量模的坐标公式判断A；代入与同向共线的单位向量是可判断B；由条件得，计算可判断C，根据投影向量的定义可判断D.
10．（2025高二上·江门期中）某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（ ）
A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D．该机器人至少成功投放一次的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、“两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，它们是互斥事件，该选项正确，符合题意；
B、“两次都未成功投放”与“至少成功一次” 不可能同时发生，但必有一个发生，它们是对立事件，该选项正确，符合题意；
C、设“第一次成功投放”为事件，“两次都成功投放”为事件，，
，两个事件相互不独立，该选项错误，不合题意；
D、“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，“两次都未成功”的概率为，
所以“至少成功一次”的概率为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】对于 A、B、C 项，分别依据互斥事件（不能同时发生）、对立事件（互斥且必有一个发生）、相互独立事件（一个事件发生不影响另一个）的核心定义，分析事件关系是否符合，进而判断正误；对于 D 项，先确定目标事件的对立事件，利用对立事件概率之和为 1 的公式计算对立事件概率，再求出目标事件概率，完成判断.
11．（2025高二上·江门期中）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．过点作圆的切线有且只有一条
B．圆和圆共有4条公切线
C．若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为
D．若E，F为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
【答案】A,C,D
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、圆，点满足，
即点在圆上，则过点作圆的切线有且只有一条，故A正确；
B、圆的标准方程为的圆心为，半径为2，圆的标准方程化为，圆心，半径为3，
，因为，所以，
则两圆相交，有2条公切线，故B错误；
C、，故C正确；
D、不妨设中点为，则，圆的半径为3，
由垂径定理可知，即，
设点的坐标为，又因为点的坐标为，所以的轨迹方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将点A坐标代入圆方程满足，可得点在圆上，即可判断A；化圆的一般方程为标准方程，得到圆心和半径，再求圆心距，判断两圆位置关系即可判断B；由B可知最大距离为圆心距3两圆的半径，据此求解即可判断C；由垂径定理得到，从而得到线段的中点的轨迹方程即可判断D.
12．（2025高二上·江门期中）甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ．
【答案】0.9
【知识点】互斥事件的概率加法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为，
则.
故答案为：
【分析】直接代入和事件的概率计算公式，进行数值运算即可求解
13．（2025高二上·江门期中）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，；则两条异面直线，所成角的余弦值为 ．
【答案】.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，，
，
，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
【分析】先将分别用基底表示出来，再代入用向量的数量积法，求出两者数量积，再代入可求解.
14．（2025高二上·江门期中）直线被圆截得的弦长为，则 .
【答案】0或10
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，解得，
则圆心到直线的距离，解得或.
故答案为：0或10.
【分析】先求得圆心和半径，设圆心到直线的距离为，根据弦长公式以及点到直线距离公式列式计算即可.
15．（2025高二上·江门期中）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；
（2）估计该校每个学生一个学期自均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：，解得，
一个学期自习时间在内的学生人数为；
（2）解：该校学生一个学期自习平均时间
，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；
（3）解：一个学期自习时间落在的抽取人数为，这4人分别记为A，B，C，D，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这2人分别记为a，b，再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：
，共有15个样本点，
其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，
则抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率直方图各矩形面积和为1列式求得a的值，再根据频率分布直方图求自习时间在内的学生人数即可；
（2）利用频率直方图的中点值结合平均数的算法，估计总体平均值即可；
（3）利用分层抽样求每层抽取的人数，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由频率分布直方图可知：，解得，
一个学期自习时间在内的学生人数为；
（2）该校学生一个学期自习平均时间
，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；
（3）一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这4人分别记为A，B，C，D，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这2人分别记为a，b，
再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：
，共有15个样本点，
其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，
所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
16．（2025高二上·江门期中）已知三点，记的外接圆为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的面积.
【答案】（1）解：设圆的一般方程为，
由题意可得：，解得，
则圆的一般方程为，标准方程为；
（2）解：由（1）可知，圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，，
故的面积为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的一般方程为，利用待定系数法求圆方程即可；
（2）由（1）可知，圆的圆心，半径，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求弦长，结合三角形面积公式求的面积即可.
（1）设圆的一般方程为，
将三点代入上式可得，，
解得，
所以圆的一般方程为
将其化为标准方程为；
（2）由（1）可知，圆心，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
17．（2025高二上·江门期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程
（2）求过点的切线方程；
【答案】（1）解：由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先设出圆心坐标，再由圆的定义，代入列出方程求解.
（2）先讨论切线斜率是否存在，再设方程，利用点到直线距离公式列式求解.
（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
18．（2025高二上·江门期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点.
（1）证明： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为 若存在，请求出的值； 若不存在， 请说明理由.
【答案】（1）证明： 连接交于点O，连接，如图所示：
因为点O为的中点，D是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：存在点，理由如下：
设，其中，
，
，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
则点到平面的距离，化简得，解得，
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，利用中位线证明线线平行，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值即可；
（3） 设，其中， 利用空间向量法来求点到面的距离即可.
（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）存在点，理由如下：
设，其中，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则点到平面的距离，
化简得，解得或（舍去）．
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.
19．（2025高二上·江门期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．
（1）证明：；
（2）设．
（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）解：（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用全等三角形判定性质证明两直线相等，先连接，连接，推理得证.
（2）（i）建立空间直角坐标系，当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大，求出四棱锥体积表达式，利用空间两点间的距离公式代入求出球半径，进而求出球的表面积；（ii）设二面角的平面角为，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解，再利用导数求出最小值.
（1）在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
1 / 1广东省江门市广德实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（广德班）
1．（2025高二上·江门期中）数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
2．（2025高二上·江门期中）若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）．
A．1 B．3 C．8 D．9
3．（2025高二上·江门期中）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·江门期中）设向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
5．（2025高二上·江门期中）两条平行直线与之间的距离为（ ）
A．6 B．5 C． D．
6．（2025高二上·江门期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·江门期中）在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·江门期中）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
9．（2025高二上·江门期中）已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．与同向共线的单位向量是
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数
D．在上的投影向量为
10．（2025高二上·江门期中）某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（ ）
A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D．该机器人至少成功投放一次的概率为
11．（2025高二上·江门期中）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．过点作圆的切线有且只有一条
B．圆和圆共有4条公切线
C．若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为
D．若E，F为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
12．（2025高二上·江门期中）甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ．
13．（2025高二上·江门期中）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，；则两条异面直线，所成角的余弦值为 ．
14．（2025高二上·江门期中）直线被圆截得的弦长为，则 .
15．（2025高二上·江门期中）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；
（2）估计该校每个学生一个学期自均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
16．（2025高二上·江门期中）已知三点，记的外接圆为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的面积.
17．（2025高二上·江门期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程
（2）求过点的切线方程；
18．（2025高二上·江门期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点.
（1）证明： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为 若存在，请求出的值； 若不存在， 请说明理由.
19．（2025高二上·江门期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．
（1）证明：；
（2）设．
（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据按照从小到大排列：1，2，4，8，9，10，
因，可知应是第四个数，即.
故答案为：C．
【分析】首先明确百分位数的定义规则：将数据从小到大排序后，根据百分位数对应的位置公式计算位置，再根据位置是否为整数确定百分位数（整数则取对应位置与下一位数据的平均值，非整数则向上取整对应位置的数据），按此流程计算即可得到结果.
2．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵数据，，…，的方差是，
∴数据，，…，的方差为.
故答案为：D
【分析】代入新数据组计算公式即可.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，
则直线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可.
4．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得.
故答案为：C
【分析】根据代入，计算可得.
5．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与平行，所以，
直线即，
所以两条平行直线之间的距离为.
故答案为：C.
【分析】先由平行性质得，再代入两平行线间的距离公式，可得.
6．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：点在平面内，且，
根据空间共面向量定理可得：，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据空间共面向量定理列式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
则，即，令，则，，可得，，
因为，所以点到平面的距离为．
故答案为：B.
【分析】设平面的法向量为，利用空间向量法求平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
由题意可得，，
当取得最小值时，线段长度的最小，，
则.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半径，由题意可得，由，要使取得最小值，则线段的长度最小，利用点到直线的距离公式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，，该选项错误，不合题意；
B、与同向共线的单位向量是，该选项正确，符合题意；
C、因为，所以，则，解得，该选项错误，不合题意；
D、，
则在上的投影向量为，该选项正确，符合题意．
故答案为：BD．
【分析】代入向量模的坐标公式判断A；代入与同向共线的单位向量是可判断B；由条件得，计算可判断C，根据投影向量的定义可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、“两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，它们是互斥事件，该选项正确，符合题意；
B、“两次都未成功投放”与“至少成功一次” 不可能同时发生，但必有一个发生，它们是对立事件，该选项正确，符合题意；
C、设“第一次成功投放”为事件，“两次都成功投放”为事件，，
，两个事件相互不独立，该选项错误，不合题意；
D、“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，“两次都未成功”的概率为，
所以“至少成功一次”的概率为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD
【分析】对于 A、B、C 项，分别依据互斥事件（不能同时发生）、对立事件（互斥且必有一个发生）、相互独立事件（一个事件发生不影响另一个）的核心定义，分析事件关系是否符合，进而判断正误；对于 D 项，先确定目标事件的对立事件，利用对立事件概率之和为 1 的公式计算对立事件概率，再求出目标事件概率，完成判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、圆，点满足，
即点在圆上，则过点作圆的切线有且只有一条，故A正确；
B、圆的标准方程为的圆心为，半径为2，圆的标准方程化为，圆心，半径为3，
，因为，所以，
则两圆相交，有2条公切线，故B错误；
C、，故C正确；
D、不妨设中点为，则，圆的半径为3，
由垂径定理可知，即，
设点的坐标为，又因为点的坐标为，所以的轨迹方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将点A坐标代入圆方程满足，可得点在圆上，即可判断A；化圆的一般方程为标准方程，得到圆心和半径，再求圆心距，判断两圆位置关系即可判断B；由B可知最大距离为圆心距3两圆的半径，据此求解即可判断C；由垂径定理得到，从而得到线段的中点的轨迹方程即可判断D.
12．【答案】0.9
【知识点】互斥事件的概率加法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为，
则.
故答案为：
【分析】直接代入和事件的概率计算公式，进行数值运算即可求解
13．【答案】.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，，
，
，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
【分析】先将分别用基底表示出来，再代入用向量的数量积法，求出两者数量积，再代入可求解.
14．【答案】0或10
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，解得，
则圆心到直线的距离，解得或.
故答案为：0或10.
【分析】先求得圆心和半径，设圆心到直线的距离为，根据弦长公式以及点到直线距离公式列式计算即可.
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：，解得，
一个学期自习时间在内的学生人数为；
（2）解：该校学生一个学期自习平均时间
，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；
（3）解：一个学期自习时间落在的抽取人数为，这4人分别记为A，B，C，D，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这2人分别记为a，b，再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：
，共有15个样本点，
其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，
则抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率直方图各矩形面积和为1列式求得a的值，再根据频率分布直方图求自习时间在内的学生人数即可；
（2）利用频率直方图的中点值结合平均数的算法，估计总体平均值即可；
（3）利用分层抽样求每层抽取的人数，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由频率分布直方图可知：，解得，
一个学期自习时间在内的学生人数为；
（2）该校学生一个学期自习平均时间
，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；
（3）一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这4人分别记为A，B，C，D，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这2人分别记为a，b，
再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：
，共有15个样本点，
其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，
所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.
16．【答案】（1）解：设圆的一般方程为，
由题意可得：，解得，
则圆的一般方程为，标准方程为；
（2）解：由（1）可知，圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，，
故的面积为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的一般方程为，利用待定系数法求圆方程即可；
（2）由（1）可知，圆的圆心，半径，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求弦长，结合三角形面积公式求的面积即可.
（1）设圆的一般方程为，
将三点代入上式可得，，
解得，
所以圆的一般方程为
将其化为标准方程为；
（2）由（1）可知，圆心，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
17．【答案】（1）解：由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先设出圆心坐标，再由圆的定义，代入列出方程求解.
（2）先讨论切线斜率是否存在，再设方程，利用点到直线距离公式列式求解.
（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
18．【答案】（1）证明： 连接交于点O，连接，如图所示：
因为点O为的中点，D是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：存在点，理由如下：
设，其中，
，
，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
则点到平面的距离，化简得，解得，
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，利用中位线证明线线平行，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值即可；
（3） 设，其中， 利用空间向量法来求点到面的距离即可.
（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）存在点，理由如下：
设，其中，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则点到平面的距离，
化简得，解得或（舍去）．
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.
19．【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）解：（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用全等三角形判定性质证明两直线相等，先连接，连接，推理得证.
（2）（i）建立空间直角坐标系，当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大，求出四棱锥体积表达式，利用空间两点间的距离公式代入求出球半径，进而求出球的表面积；（ii）设二面角的平面角为，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解，再利用导数求出最小值.
（1）在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
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