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北师大版2025—2026学年八年级上册期末真题汇编培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．9，12，13 D．8，24，25
3．如图，在中，，点D在边上，平分交于点E，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4． 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中，无法消元的是（ ）
A．①×2-② B．②×（-3）-①
C．①×（ -2）+② D．①-②×3
5．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．小明用刻度不超过100℃的温度计，估计某种食用油的沸点温度（沸腾时的温度）、他将该食用油倒入锅中均匀加热，每隔10s测量一次油温，得到如下数据：
时间t（s） 0 10 20 30 40
油温y（℃） 10 30 50 70 90
当加热100s时，油沸腾了．可以估计该食用油的沸点温度是（ ）
A．170℃ B．190℃ C．210℃ D．230℃
8．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．教师运动会中，甲，乙两组教师参加“两人背夹球”往返跑比赛，即：每组两名教师用背部夹着球跑完规定的路程，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．若距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．下图表示两组教师比赛过程中y与x的函数关系的图象．根据图象，有以下四个推断：
①乙组教师获胜②乙组教师往返用时相差2秒③甲组教师去时速度为0.5米/秒④返回时甲组教师与乙组教师的速度比是2：3
其中合理的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．寒假期间，滑雪冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目的40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档，甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示：
结合图中数据，请你从平均数、众数、中位数、方差中选择一方面评论一下两位同学的滑雪成绩 ．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 .
13．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx+b=2的解是 .
14．点在第-象限，且到y轴的距离为3，直线轴，且．则点C的坐标为 ．
15．将点 先向右移动a个单位，再向上移动b个单位后落在直线 上，则代数式 的值为 .
16．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） ；
（2） ＋ ＋ ＋ ；
18．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如下：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）八年级成绩的中位数为 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
19．观察下列各式：
11
1
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式
（3）利用上述规律计算：（份照上式出过程）
20．如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB.
（1）作点A关于BD的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接BC，CD，AC，AC与BD交于点0，若AB=13，BD=10，则点B到AD的距离为 ·
21． 如图①，将长为2a+3，宽为2a的长方形分割成四个形状、大小完全一样的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到大小两个正方形.
（1）用含a的代数式表示图②中小正方形的边长；
（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少
22．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数。
23．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）．
（1）大正方形纸片的边长为______；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
24．某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题：
阶梯 年用气量 收费单价
第一阶梯 的部分 2.67元
第二阶梯 的部分 3.15元
第三阶梯 以上的部分 3.63元
备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加.
（1）一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 元；
（2）一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？
25．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．
例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为，所以．
（1）计算：；
（2）若三位数的百位数字为，十位数字为、个位数字为，通过例如与（1）中的计算结果，你发现的值等于_____．（用含有、、代数式表示）
（3）若，都是“相异数”，其中：，（，，，都是正整数），规定：．当时，求的最大值．
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北师大版2025—2026学年八年级上册期末真题汇编培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
【答案】B
【解析】【解答】∵，且与最简二次根式是同类二次根式
∴ a+2=2
∴ a=0
故答案为B
【分析】本题考查同类二次根式的定义：被开方数相同的两个最简二次根式为同类二次根式。据此先对化简成最简，再根据同类二次根式的要求列式求解即可。
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．9，12，13 D．8，24，25
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，
∴2，3，4不能构成直角三角形，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴6，8，10能构成直角三角形，
∴此选项符合题意；
C、∵，
∴9，12，13不能构成直角三角形，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴8，24，25不能构成直角三角形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由题意，计算每一个选项中较短两边的平方和和最长边的平方，观察它们的值是否相等，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解．
3．如图，在中，，点D在边上，平分交于点E，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分．
∴．
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据垂直平分线性质即可求出答案.
4． 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中，无法消元的是（ ）
A．①×2-② B．②×（-3）-①
C．①×（ -2）+② D．①-②×3
【答案】D
【解析】【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时，
消去x；
消去y；
消去x；
消去y，
则无法消元的是．
故答案为：D.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：消去x；消去y；系数相反相加消元：消去y；消去x，从而而逐个判断得出答案．
5．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查用有理数估计无理数，先估算无理数的大小可得，再利用不等式的性质可得：，据此可找出的整数部分和和小数部分：，；再把a、b的值代入代数式中计算可求出答案.
6．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：令正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，正方形E的面积为S3，
则S1+S2=S3，
即S3=2+5+1+2=10.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积，即可求解.
7．小明用刻度不超过100℃的温度计，估计某种食用油的沸点温度（沸腾时的温度）、他将该食用油倒入锅中均匀加热，每隔10s测量一次油温，得到如下数据：
时间t（s） 0 10 20 30 40
油温y（℃） 10 30 50 70 90
当加热100s时，油沸腾了．可以估计该食用油的沸点温度是（ ）
A．170℃ B．190℃ C．210℃ D．230℃
【答案】C
【解析】【解答】解：由表格数据可知，随着时间每增加10s，其油温增加20℃，
∴10+20×(100÷10)=210℃，
故答案为：C.
【分析】根据数据发现规律，按规律估算目标时间的油温即可.
8．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：C．
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
9．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将代入，可得：
左边=3+1+1=5，右边=-2，
∵左边≠右边，
∴方程不正确，
故答案为：C.
【分析】将分别代入各选项中的方程，再计算并判断即可.
10．教师运动会中，甲，乙两组教师参加“两人背夹球”往返跑比赛，即：每组两名教师用背部夹着球跑完规定的路程，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．若距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．下图表示两组教师比赛过程中y与x的函数关系的图象．根据图象，有以下四个推断：
①乙组教师获胜②乙组教师往返用时相差2秒③甲组教师去时速度为0.5米/秒④返回时甲组教师与乙组教师的速度比是2：3
其中合理的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【解析】【解答】根据函数图象可得乙组用时少，乙组教师获胜；由图象求出返回时甲组教师与乙组教师的速度比是2：3，所以选①④．
故答案为：D．
【分析】①看横坐标的峰值，20＜22，可得出乙组教师所用时间少，乙组获胜，结论①正确；
②甲组往返用时：12 8＝4，乙组往返用时：20 12＝8、，可得出乙组教师往返用时相差4秒，结论②不正确；
③根据速度＝路程÷时间，甲组去时速度=20÷10=2米/秒，结论③不正确；
④根据速度＝路程÷时间，甲组返回速度=20÷12，乙组返回速度=20÷8，二者相比后即可得出返回时甲组教师与乙组教师的速度比是2：3，结论④正确．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．寒假期间，滑雪冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目的40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档，甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示：
结合图中数据，请你从平均数、众数、中位数、方差中选择一方面评论一下两位同学的滑雪成绩 ．
【答案】从平均数看甲同学成绩好（或从中位数看两个同学的成绩一样或从方差看乙的成绩稳定）．答案不唯一
【解析】【解答】解：情况一：甲的平均数为：，
乙的平均数为：，
∵，
∴从平均数看甲同学成绩好．
情况二：甲的中位数为3，乙的中位数为3，因此从中位数看两个同学的成绩一样．
情况三：甲的方差为：
，
，
∵，
∴从方差看乙的成绩稳定．
故答案为：从平均数看甲同学成绩好（或从中位数看两个同学的成绩一样或从方差看乙的成绩稳定）．答案不唯一
【分析】利用众数、平均数、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可。
12．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 .
【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，
∵线段AB所在直线的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴AO=BO=4，
∴AB，OM相互垂直平分，
∴四边形AOBM是正方形，
∴点M(4，4)，
∵点C(0，2)，
∴P0+PC的最小值为CM，
∴CM=.
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，PO+PC的最小值为CM，分别求出点A，B的坐标，证明四边形AOBM是正方形，即可求出点M的坐标，即可求出CM的长度，也就是PO+PC的最小值.
13．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx+b=2的解是 .
【答案】x=1
【解析】【解答】解：∵ 直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m，2)，
∴2m=2，
解得：m=1，
∴点P（1，2），
∴当x=1时，k+b=2，
∴ 关于x的方程kx+b=2的解是 x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据题意先求出2m=2，再求出点P（1，2），最后求解即可。
14．点在第-象限，且到y轴的距离为3，直线轴，且．则点C的坐标为 ．
【答案】（3，7）或（3，1）
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，且到轴的距离为，
∴，
∵直线轴，
∴点的横坐标为，
又∵，
∴点的纵坐标为或，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】本题考查坐标与图形的性质.根据点的特征，可求出点的坐标，再根据轴可确定点横坐标，再根据可确定点的纵坐标．分两种情况可写出点的坐标.
15．将点 先向右移动a个单位，再向上移动b个单位后落在直线 上，则代数式 的值为 .
【答案】-4
【解析】【解答】解：将点（ 1，2）先向右移动a个单位，再向上移动b个单位后，坐标变为（ 1＋a，2＋b），
又∵点（ 1＋a，2＋b）在直线y＝x 1上，
∴2＋b＝ 1＋a 1，
∴b a＝ 4.
故答案为： 4.
【分析】根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可得平移后对应的点的坐标为（-1＋a，2＋b），代入y=x-1中就可得到b-a的值.
16．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为
【答案】4
【解析】【解答】解：将AB沿x轴向左平移2个单位长度，得到线段A'B'，
过点D作x轴的平行线，交A'B'于点D'，
∵EF=2，DD'=2，且EF∥DD'，
∴四边形EFDD'是平行四边形，
∴DF=D'E，
则当CE+ED'取得最小值时，CE+DF取得最小值．
过点C作A'B'的垂线，垂足为M，
在Rt△A'B'P中，
A'B'=＝5，
∵S△A'B'C＝B'C A'P＝A'B' CM，
∴CM=＝＝4，
即CE+ED'的最小值为4，
所以CE+DF的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】根据轴对称的性质，结合垂线段最短即可解决问题。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） ；
（2） ＋ ＋ ＋ ；
【答案】（1）原式＝ ＋2－2＝ .
（2）原式＝－1－1＋1＋1＝0.
【解析】【分析】（1）根据乘方、立方根、算术平方根的性质先化简，然后合并即可；（2）根据立方根、算术平方根的性质先化简，然后合并即可；
18．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如下：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）八年级成绩的中位数为 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
【答案】（1）1；4
（2）8.5
（3）解：由表格得：八年级的平均数为：×（6×1+7×3+8×1+9×4+10×1）=8.1分
∵8.1＜8.5
∴八年级不能获得“优秀组织奖”．
【解析】【解答】解：（1）∵八年级各班成绩只有一个众数为9，且a、b均为正整数，
∴则
故答案为：1，4.
（2）由表格可得：八年级中位数为：
故答案为：8.5.
【分析】（1）根据"八年级各班成绩只有一个众数为9，且a、b均为正整数"，据此即可得到进而即可求出a的值；
（2）根据表格中的数据，直接计算出八年级成绩的中位数即可求解；
（3）先根据平均数的计算法则计算出八年级的平均数，再和8.5进行比较即可求解.
19．观察下列各式：
11
1
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式
（3）利用上述规律计算：（份照上式出过程）
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式
．
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
（2）；
故答案为：.
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）由题意的规律即可用n表示该等式；
（3）先将被开方数变形为（2）中的被开方数的形式，再根据（2）中的结论即可求出答案．
20．如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB.
（1）作点A关于BD的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接BC，CD，AC，AC与BD交于点0，若AB=13，BD=10，则点B到AD的距离为 ·
【答案】（1）如图：点C即为所求；
（2）
【解析】【解答】解：（2）解：∵，
∴，
∵C是点A关于的对称点，
∴，．
∴．
∴四边形是菱形．又，，
∴，，．
在中，由勾股定理得：，
如图：过B点作于E，
∵，
∴．
∴．
∴点B到AD的距离是．
故答案为：
【分析】（1）先利用尺规作出线段 的垂直平分线，再在垂直平分线上截取 （ 为 中点），即可得到点 关于 的对称点 。
（2）求点到直线的距离，可利用等面积法。先根据 得出 ，再结合对称点的性质得到 、，从而判定四边形 是菱形；利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得出 且 ，再用勾股定理求出 ；最后根据 的面积既可以表示为 ，也可以表示为 （ 为点 到 的距离），列方程求解 。
21． 如图①，将长为2a+3，宽为2a的长方形分割成四个形状、大小完全一样的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到大小两个正方形.
（1）用含a的代数式表示图②中小正方形的边长；
（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少
【答案】（1）解：根据题意可得：图2中较小正方形的边长：2a＋3 a＝a＋3.
（2）解：∵a＝3，
∴图2中较小正方形的边长：a＋3＝3＋3＝6，
∴小正方形的面积是：6×6＝36．
【解析】【分析】（1）结合图形，再利用整式的加减法求解即可；
（2）将a的值代入求出小正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可.
22．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数。
【答案】（1）解：根据题意可得0.05＋0.1＋0.2＋10a＋0.25＋0.1＝1，解得a＝0.030。
（2）解：成绩落在[40，80)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＝0.65，设第75百分数为m，
由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，解得m＝84，
所以样本成绩的第75百分位数为84。
【解析】【分析】(1)根据频率和为1求得a的值即可；
(2)根据百分位数的求法解答即可.
23．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）．
（1）大正方形纸片的边长为______；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【答案】（1）
（2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长是宽的倍，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
【解析】【解答】（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形面积即可求出答案.
（2）设长方形纸片的长和宽分别是，，根据长方形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为，
故答案为：；
（2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长是宽的倍，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
24．某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题：
阶梯 年用气量 收费单价
第一阶梯 的部分 2.67元
第二阶梯 的部分 3.15元
第三阶梯 以上的部分 3.63元
备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加.
（1）一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 元；
（2）一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？
【答案】（1）534；1383
（2）解：
（3）解：若甲户年用气量为，
则燃气费用为
甲户该年的用气量达到了第三阶梯
由（2）得，当时，，解得
甲户年用气量约为
若乙户年用气量为，则燃气费用为
乙户该年的用气量超过第一阶梯
若乙户年用气量为，
则燃气费用为
乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯
设乙户年用气量为，则
解得
乙户年用气量为
【解析】【解答】解：（1） 年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200= 534（元）； 年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为 ：2.67×400+3.15×（500-400）=1383（元）；
故第1空答案为：534；第2空答案为：1383；
【分析】（1）按照阶梯单价，分别根据单价×数量=总价，即可得出答案；
（2）按照阶梯单价，分别求得各个梯度的燃气费用，然后再把它们相加，即可得出y与x之间的函数关系式；
（3） 设乙户年用气量为， 根据 2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，可得方程 则 ，解方程即可求得答案。
25．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．
例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为，所以．
（1）计算：；
（2）若三位数的百位数字为，十位数字为、个位数字为，通过例如与（1）中的计算结果，你发现的值等于_____．（用含有、、代数式表示）
（3）若，都是“相异数”，其中：，（，，，都是正整数），规定：．当时，求的最大值．
【答案】（1）解：；
；
（2）
（3）解：∵，都是“相异数”，，，，．
，
，
．
，，且，都是正整数，
∴或或或或或．
是“相异数”，
，．
是“相异数”，
，．
或或，
或或，
或或，
的最大值为．
【解析】【解答】（2）解：根据题意，得
；
【分析】（1）根据F（n）的定义，分别将n=243和n=569代入F（n）中，即可得到结论；
（2）根据F（n）的定义式，将a，b，c代入F（n），即可得到结论；
（3）由结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F.
（1）解：；
；
（2）解：根据题意，得
；
（3）解：∵，都是“相异数”，，，
，．
，
，
．
，，且，都是正整数，
∴或或或或或．
是“相异数”，
，．
是“相异数”，
，．
或或，
或或，
或或，
的最大值为．
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