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北师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟测试通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A(-3，0)，B(1，b)，则正方形ABCD的面积为( )
A．34 B．25 C．20 D．16
4． 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．关于反比例函数 下列结论正确的是 ( )
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．若图象经过点(a，a-3)，则a=4
6．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（100+10x）＝2160 B．（20﹣x）（100+10x）＝2160
C．（20+x）（100+10x）＝2160 D．（20﹣x）（100﹣10x）＝2160
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 反比例函数 的图象与过点 的直线 相交于 ， 两点． 已知点 的坐标为 ， 点 为 轴上任意一点． 如果 ， 那么点 的坐标为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
9．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连结DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
10．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落位，的位置．再将沿翻折得到，①若，则．②若点恰好落在线段上．则．关于上述两个结论说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，在正方形中，、分别是，中点，、交于点，连接；则下列结论：①；②；③，其中正确的结论是 ．
12．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为 ．
13．如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ．
14．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB=24，BC=20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB'.AB'达到最小值时，求BM= .
15．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=BC=8，作正方形CDEF，其中顶点E在边AB上.
（1）若正方形CDEF的边长为2，则线段AE的长是
（2）若点D到AB的距离是，则正方形CDEF的边长是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）用公式法解方程：；
（2）用配方法解方程：；
（3）用分解因式法解：．
18．如图，在正方形中，作等边三角形，分别延长交于点，连接与交于点．
（1）求的度数．
（2）求证：．
19．如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为(-1，3)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的表达式．
（2）求点H到x轴的距离．
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
20．赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元．
（1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）；
（2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价；
（3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？
21．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1．
（1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数．
（2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长．
22． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形：
（2）若AD=10， EF=4， 求 OE 和 BG的长.
23．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
24．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
25．在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上．
（1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟测试通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴a=1，b=-3，c=2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的一般形式（、、为常数，且），即可求出a、b、c的值.
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根
∴
解得：
故答案为：B
【分析】根据二次方程有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A(-3，0)，B(1，b)，则正方形ABCD的面积为( )
A．34 B．25 C．20 D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵ A(-3，0)，B(1，b) ，
∴AE=|-3-1|=4，OA=3，
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠AEB=∠AOD=90°，AD=AB，
∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAO=∠ABE，
在△DAO和△ABE中，
∴△DAO≌△ABE（AAS）
∴AE=DO=4，
在Rt△AOD中
AD2=AO2+OD2=32+42=25，
∴正方形ABCD的面积为25.
故答案为：B.
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，利用点A、B的坐标，可求出AE，OA，利用正方形的性质及余角的性质可证得∠DAO=∠ABE，利用AAS可证得△DAO≌△ABE，利用全等三角形的性质可求出DO的长，利用勾股定理求出AD2的值，即可得到正方形ABCD的面积.
4． 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=AC=6，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=180°-∠BOC=180°-120°=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴AB=AO=4，
故答案为：A.
【分析】先证出△ABO为等边三角形，再利用矩形的性质及等边三角形的性质求出AB=AO=4即可.
5．关于反比例函数 下列结论正确的是 ( )
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．若图象经过点(a，a-3)，则a=4
【答案】C
【解析】【解答】解：解：反比例函数 的图像在第一、三象限，与坐标轴没有公共点，故A 和 B 错误.
图像所在的每一个象限内，反比例函数 的函数值y 随着x 的增大而减小，故C正确.
若反比例函数 的图像经过点(a，a-3)，则有a(a-3)=3.
解得a=1或a=-4，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断A，B，C选项，然后把(a，a-3)代入解析式求出a的值判断D选项解答即可.
6．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（100+10x）＝2160 B．（20﹣x）（100+10x）＝2160
C．（20+x）（100+10x）＝2160 D．（20﹣x）（100﹣10x）＝2160
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：总利润为2160元，单件利润为(20 x)元，销售数量为(100+10x)件，
根据“总利润 = 单件利润×销售数量”，
可列方程为：(20 x)(100+10x)=2160。
故答案为：B
【分析】分别找出降价x元后的单件利润(20 x)和销售数量(100+10x)，然后根据利润的计算公式“总利润 = 单件利润×销售数量”，进而列出方程。
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点F作FQ⊥BD于Q.
∵AB＝8，BC＝6，
∴.
根据题意可知BE为的平分线，，
∴，.
∴.
设，则.
∵在Rt中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点F作FQ⊥BD于Q，首先根据勾股定理算出BD的长，根据题意可知BE为∠CBD的平分线，BD=BE=10，由角平分线上的点到角两边的距离相等得FQ=FC，进而推出BQ=BC=6，在Rt△DQF中，用勾股定理建立方程可求出FC的长，再利用勾股定理算出BF的长，从而根据EF=BE-BF即可算出答案.
8．如图， 反比例函数 的图象与过点 的直线 相交于 ， 两点． 已知点 的坐标为 ， 点 为 轴上任意一点． 如果 ， 那么点 的坐标为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】【解答】解：把点A(1，3)代入得，，
∴k=3，
∴反比例函数为，
设直线AB为y=ax+b，
代入点D(-1，0)，A(1，3)得，
解得，
∴直线AB为，
解，得或，
∴，
∴S△ABC=9，
∴，
∴CD=4，
∴点C的坐标为(-5，0)或(3，0).
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD=S△ABC=9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标.
9．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连结DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先利用正方形的性质得到，，再通过SAS判定得到，然后由角平分线的定义求得的度数，进而计算出的度数.
10．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落位，的位置．再将沿翻折得到，①若，则．②若点恰好落在线段上．则．关于上述两个结论说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】C
【解析】【解答】解：①由折叠性质得：
，，，
延长交于点，如图，
设，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
②由折叠性质得：，，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故②正确，
故答案为：C．
【分析】本题考查的是矩形与折叠的问题，平行线的性质、以及三角形内角和定理.①设，，，根据三角形内角和定理求出，，延长交于点，根据两直线平行，同旁内角互补可证明，利用角的运算可求出 ；②同①方法根据两直线平行，同旁内角互补可求出，利用角的运算可求出 ．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，在正方形中，、分别是，中点，、交于点，连接；则下列结论：①；②；③，其中正确的结论是 ．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，，
故①正确，符合题意；
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
，
延长交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
点是的中点，
，
，，，
，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
，
故③正确，符合题意；
，
，
，
，
不是等边三角形，
，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而根据中点得到，，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而即可判断①；再根据题意等量代换得到即可判断②；延长交的延长线于，根据正方形的性质结合平行线的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而根据等腰三角形的性质得到，再结合题意等量代换即可判断③；根据题意得到，进而根据等边三角形的判定即可判断④.
12．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】先证，再根据相似三角形的性质列出比例式计算可推出结论．
13．如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于
在正方形和正方形中
，
，则
又四边形是矩形
所以，
故
勾股定理得
因是的中点，，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
所以
故填：．
【分析】通过连接辅助线连接，延长交于，构造直角三角形与矩形，利用正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质求解.
14．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB=24，BC=20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB'.AB'达到最小值时，求BM= .
【答案】
【解析】【解答】解：将 沿MN折叠得到
∵点N为的BC中点，BC=20，
∴当点M在边AB上运动时，点B'在以N为圆心，NB为半径的圆弧上运动，
连接AN，在 中，AB'≥AN-NB'，
N共线时，AB'的值最小，如图，
最小为 =16；
设BM=x，
在直角三角形AB'M中，
由勾股定理得：
解得：
即
故答案为： .
【分析】根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点.B'在以N为圆心，NB为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到AB'≥AN-NB'，结合点M在AB上，根据勾股定理即可求出BM即可.
15．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 ．
【答案】17
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC＝．
故答案为：17.
【分析】先求出AB＝BD＝8，DC＝7，再利用勾股定理求出AC的长即可。
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=BC=8，作正方形CDEF，其中顶点E在边AB上.
（1）若正方形CDEF的边长为2，则线段AE的长是
（2）若点D到AB的距离是，则正方形CDEF的边长是 .
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图，连接CE，过点E作EH⊥AC于点H，则∠AHE=90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE=，∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AEH=45°，
∴AH=EH，
设AH=EH=x，则CH=8-x，
在Rt△CEH中，根据勾股定理得x2+（8-x）2=（）2，
解得（舍），，
∴AH=EH=，
在Rt△AEH中，根据勾股定理得，
故答案为：；
（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，连接BD、AF，过点F作FN⊥AB于点N，
∴∠DME=∠FNE=90°，
∴∠MDE+∠MED=90°，
在正方形CDEF中，∠DEF=90°，DE=EF，
∴∠MED+∠FEN=90°，
∴∠MDE=∠FEN，
在△MDE与△NEF中，
∵∠DME=∠FNE，∠MDE=∠FEN，DE=EF，
∴△MDE≌△NEF（AAS）
∴EN=DM，ME=NF，
在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，
在正方形CDEF中，∠DCF=90°，CD=CF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD与△ACF中，
∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，CD=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，∠CAF=∠CBD，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠MBD+∠DBC+∠BAC=90°，
∴∠MBD+∠CAF+∠BAC=90°，
即∠MBD+∠BAF=90°，
∵∠MBD+∠MDB=90°，
∴∠MDB=∠BAF，
在△BMD与△FNA中，
∵∠BMD=∠FNA，∠BDM=∠FAN，BD=AF，
∴△BMD≌△FNA（AAS），
∴BM=NF，MD=NA，
∴BM=ME，EN=NA=MD，
∵点D到AB的距离是 ，
∴EN=NA= ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴BM+ME=，
∴ME=，
在Rt△MDE中，由勾股定理得，
∴正方形CDEF的边长为.
故答案为：.
【分析】（1）连接CE，过点E作EH⊥AC于点H，则∠AHE=90°，根据正方形的性质及勾股定理可得CE的长，根据等腰直角三角形性质可得AH=EH，设设AH=EH=x，则CH=8-x，在Rt△CEH中，根据勾股定理建立方程求出x的值，进而在在Rt△AEH中，根据勾股定理算出AE即可；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接BD、AF，过点F作FN⊥AB于点N，先用AAS证△MDE≌△NEF，得EN=DM，ME=NF，再利用SAS证△BCD≌△ACF，得BD=AF，∠CAF=∠CBD，接着用AAS证△BMD≌△FNA，得BM=NF，MD=NA，推出BM=ME，EN=NA=MD，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，从而求出ME的长，在Rt△MDE中，由勾股定理求出DE的长，从而即可得出正方形的边长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）用公式法解方程：；
（2）用配方法解方程：；
（3）用分解因式法解：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
所以，；
（3）解：，
，
，
或，
所以，．
【解析】【分析】（1）先将方程化为一元二次方程的标准形式：，求出，然后运用求根公式：进行求解即可；（2）根据配方法解解一元二次方程的步骤（1）将方程化为一元二次方程的标准形式，（2）将常数项移至方程右边：同时方程两边同时除以二次项系数，及系数化1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）在把方程左边写成完全平方得形式，右边变为常数项；（5）若方程右边是非负数，则方程两边直接开方，即可求解，若右边是一个负数，则此方程无解.进行求解即可.
18．如图，在正方形中，作等边三角形，分别延长交于点，连接与交于点．
（1）求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，，
∴，
由（1）得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据等边三角形性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）由（1）得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据等边三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，由三角形内角和定理可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，，
∴，
由（1）得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为(-1，3)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的表达式．
（2）求点H到x轴的距离．
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
【答案】（1）解：∵点B坐标为(-1，3) ，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，D(3，0)，E(3，1)，设直线BD的表达式为y=k×+b，则解得
故直线BD的表达式为y=
（2）解：同理可得直线OE的表达式为y=
联立
解得
故点H到x轴的距离为
（3）解：点N坐标为()或()或()
【解析】【解答】解：（3）直线BD的表达式为y=，则点F()
①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，如图．
∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为y=
当y=0时，x=后，即点M
点F向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点 D，
则点M向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N，
则点N；当点M在y轴上时，同理可得点N；
②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O处，则点N(3，)
综上，满足条件的点N的坐标为()或(-3，)或(3，)
【分析】(1)由旋转的性质可得，故D(3，0)，E(3，1)，再利用待定系数法求得直线BD的解析式.
(2)先利用待定系数法求得直线OE的解析式，再联立方程组求得交点H的坐标，进而得到点H到x轴的距离.
(3)由直线BD的解析式可得点F的坐标，当MF⊥BD时，通过一次函数的性质求得直线MF的表达式为y=，进而得到点M的坐标为，再利用平移的性质求得点N坐标为；当MD⊥BD时，通过一次函数的性质求得直线MD的表达式为y=，进而得到点M坐标为(0，-4)，再利用平移的性质求得点N坐标为；当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O处，则点N的坐标为.
20．赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元．
（1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）；
（2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价；
（3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）44元
（3）每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元
21．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1．
（1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数．
（2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）解：四边形四边形，
（2）解：∵四边形四边形，
四边形ABCD的周长.
【解析】【分析】（1）根据相似多边形对应角相等，求出∠C，再根据四边形内角和360°，求出 ∠D的度数
(2)根据相似多边形对应边成比例，列出比例式求出BC，AD即可.
22． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形：
（2）若AD=10， EF=4， 求 OE 和 BG的长.
【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD 的中位线，
∴OE// FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形.
（2）解：由条件可知：AE=AD = 5，
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF==3.
∵四边形 ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=10-3-5=2.
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线性质可得OE// FG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AE，再根据勾股定理可得AF，根据菱形性质AB=AD=10，根据三角形中位线性质可得OE=AB=5，再根据矩形性质可得FG=OE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【解析】【分析】（1）利用概率公式列出算式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
24．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞
（2）解：存在，
∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得判别式大于零，从而可得关于k的不等式，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，然后整理条件中的等式两边平方可代入得出关于k的方程，解方程即可.
25．在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上．
（1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系．
【答案】（1）解：如图即为所求；
以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求；
故
（2）解：在矩形中，
绕点B顺时针旋转得到，
点A的对应点F在线段上，
∵ 在中，
又与交于点Q，
又
是等边三角形．
在中，
【解析】【分析】（1）以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据旋转性质可得 ，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）如图即为所求；
以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求；
故
（2）在矩形中，
绕点B顺时针旋转得到，
点A的对应点F在线段上，
∵ 在中，
又与交于点Q，
又
是等边三角形．
在中，
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