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北师大版2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．65° B．50° C．30° D．25°
2． 如图，点O是的外接圆的圆心，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是（ ）
A．向右平移3个单位，向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，向上平移4个单位
5．已知：如图抛物线y=ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD=60°，则这条抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线y＝-x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y2
7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是( )
①；②；③．
A．① B．② C．③ D．①②③
8．如题图，在矩形中，点E在上，连接，将沿翻折，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
10．如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，AB为⊙O 的直径，过点A 的切线交弦 BD 的延长线于点 C，点E 为线段 BD 上一点(不与点 B 重合)，且OE = DE. 若 AB = 8， AC = 6， 则 DE 的长为 .
12．如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 .
13．如图所示的网格是边长为1的正方形网格， ， ， 是网格线交点，则 ．
14．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6 m，则树的高度为 m
15．在平面直角坐标系中，把抛物线 向下平移2个单位，那么所得抛物线的表达式是 ．
16．如图，正方形的边长为，等腰直角的直角边长为，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
18．已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0.
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）矩形ABCD的两条边AB，BC恰好是这个方程的两个根，当m= 时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是 .
19．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．
（1）根据图象回答： 调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是 ； 说明线段AB的实际意义是 ．
（2）求出调试过程中，当6≤x≤8（3）时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x（小时）之间的函数关系式．
（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间m（小时）之间的函数关系式．
20．如图，某渔船在处测得小岛位于的北偏西方向，小岛位于的北偏东方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达处，此时测得小岛位于的南偏西方向．且相距15海里，小岛位于的南偏东方向．
（1）求该渔船航行的距离；
（2）求处与小岛之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，．
21．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成。图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN).已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角，∠PME=37°.(参考数据：
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为7m，求的度数.
22．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时；
（1）若，求的长度；
（2）求阴影的长．（参考数据：，，）
23．某校为迎接新年，计划在某一围墙上挂灯笼．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，将线段六等分后在每一个等分点上挂上个灯笼（不含、点），相邻两个灯笼间距为，线段距离最低点的长度为
（1）以最低点为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）为了提升灯光效果，现决定将灯笼数量增加到个（将线段八等分），并保持灯笼间距不变，求在原设计方案的基础上，线段至少提升多少高度，才能满足新的要求．
24．在平面直角坐标系中，设抛物线，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，求抛物线的解析式；
（2）若，点与点是抛物线上两个不同的点，且，求证：.
25．已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
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北师大版2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．65° B．50° C．30° D．25°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AOC=130°，AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°-∠AOC=50°，
∴∠BDC=∠BOC=25°，
故答案为：D．
【分析】先利用邻补角求出∠BOC的度数吗，再利用圆周角的性质可得∠BDC=∠BOC=25°。
2． 如图，点O是的外接圆的圆心，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B
【分析】根据圆周角定理结合题意即可求解。
3．如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴==2π.
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠B+∠D=180°，结合∠D的度数可得∠B的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，然后利用弧长公式进行计算.
4．将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是（ ）
A．向右平移3个单位，向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，向上平移4个单位
【答案】D
【解析】【解答】解：A、将抛物线向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意；
B、将抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，不符题意；
C、将抛物线向左平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意；
D、将抛物线向左平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．已知：如图抛物线y=ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD=60°，则这条抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设AE交抛物线对称轴于点H，易得四边形AODH为矩形，
由题意得：OA=，∠ABD=60°，AE=BD，
∴OB=，
∴HE=OB=1，
由抛物线的对称性可得AH=1，
∴OD=1，
∴B（-1，0），C（3，0）
设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，
代入A（0，）解得：，
∴这条抛物线的解析式为：，
故答案为：B.
【分析】设AE交抛物线对称轴于点H，易得四边形AODH为矩形，根据锐角三角函数定义可得OB=，则HE=OB=1，根据二次函数性质可得B（-1，0），C（3，0），设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，再根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
6．已知抛物线y＝-x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x+c=-（x-1）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵0-1＜1-1＜3-1，
∴y2＞y1＞y3，
故答案为：D.
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是( )
①；②；③．
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解：①当时，有，
当时，有，
解得：，
与两坐标的交点分别为和，
当时，有，
当时，有，
∴函数的图象上不存在“近轴点”；
②中，在每一象限内，随的增大而减小，
当时，有，
当时，有，
∴函数的图象上不存在“近轴点”；
③，
当时，有，
当时，有，
∴函数的图象上存在“近轴点”；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可得到答案.
8．如题图，在矩形中，点E在上，连接，将沿翻折，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，AD=BC=10，AB=CD=6.
由翻折得：
AF=AD=10，DE=FE，∠AFE=∠D=90°.
∴，CF=2.
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
即.
解得：.
∴
故答案为：B.
【分析】由折叠和矩形性质可得AF=AD=10，DE=FE，∠AFE=∠D=∠C=90°.在Rt△ABF中，求得BF长，于是可得CF长；再在Rt△CEF中利用勾股定理求得EF长，即可计算 的值.
9．如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=DC，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2，
在等腰直角△ADC中
2AD2=4
解之：.
故答案为：A
【分析】连接AC，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆的直径，可求出AC的长；再利用勾股定理求出AD的长.
10．如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB= ∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB=120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为 ，
∴△ABC的最大面积为 .
故答案为：D.
【分析】连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB= ∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，AB为⊙O 的直径，过点A 的切线交弦 BD 的延长线于点 C，点E 为线段 BD 上一点(不与点 B 重合)，且OE = DE. 若 AB = 8， AC = 6， 则 DE 的长为 .
【答案】2.5
【解析】【解答】解：如解图，过点 O 作OP⊥BD 于点P，则PB=PD(垂径定理)，
∵AC 是⊙O的切线，
∴∠BAC = 90°(切线的性质)，
在Rt△ABC中，∵AB=8，AC=6，
∴BC=10，
∵∠BPO=∠BAC=90°，∠B=∠B，
∴△BPO△BAC(两组对角分别相等的两个三角形相似)，
即 解得BP=3.2，OP=2.4，
∴PD=3.2，
设PE=x，则DE=PD-PE=3.2-x，
∵OE=DE，
∴OE=3.2-x，
在 Rt△OPE中， 即(3.2-
解得x=0.7，即 PE=0.7，
∴ DE=3.2-0.7=2.5.
【分析】由于OE＝DE，因此可过圆心O作BD的垂线段OP，由垂径定理可得BP等于DP，此时只需求出DP和OP的长，则可通过解Rt△OPE求出OE的长，即DE的长；由于已知AC是⊙O的切线，则利用切线的性质可得∠BAC等于∠BPO等于90°，则可利用勾股定理求出BC的长；又∠B是公共角，则可得△BPO相似于△BAC，则由相似比可得BP、OP的长即可.
12．如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 .
【答案】 ，
【解析】【解答】解：根据图象与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是 ， ，
故答案是 ， .
【分析】二次函数与x轴的交点的横坐标即方程 的解，于是看图根据其交点坐标即可得出答案.
13．如图所示的网格是边长为1的正方形网格， ， ， 是网格线交点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，
其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，利用勾股定理求出AB，再利用余弦的定义求解即可。
14．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6 m，则树的高度为 m
【答案】9
【解析】【解答】解：设AB＝x，在Rt△ABC中，由∠ACB＝60°
在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°
则CD＝BD－BC＝ x－ x＝6 ，
则可得树的高度AB＝9m
故答案为：9.
【分析】设AB＝x，根据三角函数的概念可得BC=x，BD=x，然后根据CD＝BD-BC＝6就可求出x的值.
15．在平面直角坐标系中，把抛物线 向下平移2个单位，那么所得抛物线的表达式是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设原抛物线上任一点的坐标为（x，y），平移后对应点的坐标为（x'，y'），则由题意可得： ，可化为 ，
代入抛物线解析式可得： ，即
故答案为： ．
【分析】由平移坐标公式可以用平移后的坐标表示平移前的坐标，代入原抛物线的解析式即可得到平移后的抛物线解析式．
16．如图，正方形的边长为，等腰直角的直角边长为，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点．
∵四边形是正方形，是的中点，
，，，
是等腰直角三角形，
，．
，
，
．
，，
，
∴．
，
．
故答案为：．
【分析】连接，，过点作，交的延长线于点，根据正方形性质可得，，，再根据等腰之间三角形性质可得，．根据补角可得∠BCQ=15°，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由正切定义及特殊角的三角函数值可得OQ，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
【答案】（1）解：连接AB，
∵
∴∠BAO=60°
在△AOB中，tan60°=，即，得OB=
（2）解：连接CM，
∵由(1)知AB=2OA=4，
∴MB=MC=2，
∵
∴∠BMC=90°
由勾股定理得CB=，CB=
【解析】【分析】(1)连接AB知∠BAO=60°，由正切值可得OB的长；
(2)连接CM，由(1)知AB的长，即知半径长，由勾股定理得BC的长.
18．已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0.
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）矩形ABCD的两条边AB，BC恰好是这个方程的两个根，当m= 时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是 .
【答案】（1）证明：关于×的一元二次方程x2-（m-1)x+3m-12=0，
∴△=[-(m-1)]2-4×1×(3m-12)=(m-7)2≥0.
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）7；3
【解析】【解答】（2）解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，
∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，
∴，
解得，，
当时，一元二次方程为：，
∴，
解得，，
即，
故答案为：，；
【分析】(1) 要证明方程总有两个实数根，需证明根的判别式 。先计算方程的判别式 ，化简后得到 ；由于任何实数的平方都大于等于0，即 ，因此 ，根据判别式的意义，方程总有两个实数根。
(2) 当矩形为正方形时，邻边相等，即方程的两个根相等，此时判别式 ；由 ，解得 ；将 代入原方程，得 ，解方程得 ，即正方形的边长为3。
19．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．
（1）根据图象回答： 调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是 ； 说明线段AB的实际意义是 ．
（2）求出调试过程中，当6≤x≤8（3）时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x（小时）之间的函数关系式．
（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间m（小时）之间的函数关系式．
【答案】解：（1）y2图象在y1上方的部分，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是2＜x＜8且x≠6； 线段AB的实际意义是 从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时；（2）设函数解析式是y1=kx+b，图象过点B（6，3）、C（8，0），解得，故函数解析式为y1=﹣+12；（3）Z=3m+4（6﹣m），即Z=﹣m+24．
【解析】【分析】（1）根据y2图象在y1上方的部分，可得答案，根据线段AB的工作效率没变，可得答案案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据甲的最大效率乘以时间，可得甲的产品，根据乙的最大效率乘以乙的时间，可得乙的产品，甲的产品加乙的产品，可得答案．
20．如图，某渔船在处测得小岛位于的北偏西方向，小岛位于的北偏东方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达处，此时测得小岛位于的南偏西方向．且相距15海里，小岛位于的南偏东方向．
（1）求该渔船航行的距离；
（2）求处与小岛之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，．
【答案】（1）解：∵，
∴∠C=90°，
∵BC=15海里，
∴AB=2BC=30海里，
答：渔船航行的距离为30海里
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△BDF中，tan∠DBF=，sin∠DBF=，∠DBF=45°，
∴BF==DF，BD==，
在Rt△ADF中，tan∠DAF
处与小岛之间的距离为16海里．
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）证明为直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；
（2）过点作，设，分别解，进行求解即可．
（1）
解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）
过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
（1）解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
21．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成。图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN).已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角，∠PME=37°.(参考数据：
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为7m，求的度数.
【答案】（1）解：过p作PG⊥QN，垂足为G，MF⊥PG，垂足为F
∴四边形FGNM是矩形，
∴FG=MN
在Rt△MPF中，∠PMF= 37°
∴
∴
∴PG=PF+FG=3+1=4
答： 点到地面的高度 约4米.
（2）解：在Rt△MPF中，PF=3，PM=5
∴
∵QN=7，GN=FM=4
∴QG=QN-GN=7-4=3
在Rt△PQG中，
∴∠PQG=53°
∴∠QPG=90°-53°=37°
∵∠PME=37°
∴∠MPF=90°-37°=53°
∴=∠QPG+∠MPF=90°
【解析】【分析】（1）过p作PG⊥QN，垂足为G，MF⊥PG，垂足为F，构造直角三角形PFM，再根据37°的正弦求出PF的值即可
（2）先根据勾股定理，再求出QG，于是可在Rt△PQG中根据正切求出∠PQG的度数，再在Rt△MPF中，出∠PMF的度数，进而求出∠MPF，即可得到∠QOM的度数.
22．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时；
（1）若，求的长度；
（2）求阴影的长．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：由题意知：，，
∴，
在中，米；
（2）解：过A作于K，则，
米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，米，
由题意知：，
∴，
∴米，
∴米，
∴阴影的长为2.2米．
【解析】【分析】（1）在Rt△AFB中，由∠BAF的正弦函数可得，从而代值计算即可；
（2）过A作于K，由∠BAF的余弦函数求出AF，由线段的和差得CF=BC-BF=2.6米，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形AFCK是矩形，根据矩形对百年相等可得=2.6米，=4.8米，根据直角三角形的两锐角互余可得∠DAK=∠ADK=45°，由等角对等边可得，最后根据CD=CK-DK求解即可.
（1）解：由题意知：，，
∴，
在中，米；
（2）解：过A作于K，则，
米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，米，
由题意知：，
∴，
∴米，
∴米，
∴阴影的长为2.2米．
23．某校为迎接新年，计划在某一围墙上挂灯笼．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，将线段六等分后在每一个等分点上挂上个灯笼（不含、点），相邻两个灯笼间距为，线段距离最低点的长度为
（1）以最低点为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）为了提升灯光效果，现决定将灯笼数量增加到个（将线段八等分），并保持灯笼间距不变，求在原设计方案的基础上，线段至少提升多少高度，才能满足新的要求．
【答案】（1）解：由抛物线顶点在，设抛物线解析式为，
∵将线段六等分，相邻两个灯笼间距为，
∴，
又，
∴点坐标为，
将代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵将线段八等分，挂个灯笼，相邻间距，
∴此时点的横坐标为，
当时，代入得
，
∴提升的高度为．
【解析】【分析】
（1）由于抛物线顶点为原点，可设抛物线的解析式为，再由已知可得AB＝1.2，即点的坐标可求，再利用待定系数法求解即可；
（2）先由已知可得A`B`＝1.4，即点B`的横坐标可求，再利用抛物线上点的坐标特征求出点 B` 对应的函数值，再计算点 B`与点B对应的函数值之差即可．
（1）解：由抛物线顶点在，设抛物线解析式为，
∵将线段六等分，相邻两个灯笼间距为，
∴，
又，
∴点坐标为，
将代入得，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：∵将线段八等分，挂个灯笼，相邻间距，
∴此时点的横坐标为，
当时，代入得
，
∴提升的高度为．
24．在平面直角坐标系中，设抛物线，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，求抛物线的解析式；
（2）若，点与点是抛物线上两个不同的点，且，求证：.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：将点与点分别代入抛物线解析式得
，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
整理得：，
∵点A与点B是抛物线上两个不同的点，，
∴，
∴，
∵，∴，即.
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）将点与点分别代入抛物线解析式得，，则，由题意可得，，再整体代入，化简可得，再结合二次函数的性质即可求出答案.
25．已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】（1）①；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴
（3）解：如图
∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴
【解析】【解答】解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；
②画出函数图象，图象法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
（1）解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
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