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华东师大版2025—2026学年九年级下册期末模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中适合采用普查的是（ ）
A．调查某一居民小区感染新冠病毒的人数
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数
C．调查市场上某种饮料中防腐剂的含量
D．了解扬州市居民收看扬州电视台《今日生活》栏目的情况
2．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ）
A． B． C． D．
3．如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．如图是以点为圆心，分别以OA，OB的长为半径的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，CD=3．则阴影部分的面积等于（ ）．
A．1.5π B．2π C．π D．2.5π
6．如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
8．对于任何非零实数h，抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．都有最低点
9．如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-310．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表格所示，
x … 0 1 m …
y … 0 3 4 3 …
那么表格中 ，它的图象与轴的交点坐标是 ．
12．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是 cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
13．抛物线 向左平移2个单位后，得到的函数关系式是 ，则 ， ．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A'、D'，如果直线A'D'与⊙O相切，若AB=2，那么BC的长为
15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限．
16．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1） 求此抛物线的顶点P的坐标．
（2） 将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
18．如图①，圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②所示的方式放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°.求：
（1）此圆锥的底面半径.
（2）此圆锥的全面积.
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标．
（2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
20． 如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，AD=4.
（1）设半圆O 的半径为r，用含 r 的代数式表示线段BD；
（2）若 求半圆O 的半径.
21．如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求弦的长．
22．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径r.
23．在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球的抛物线的函数解析式．
（2）抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离．
（3）在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？
24．在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）．
（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．
（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．
25． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （b为常数) 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线.
（1） 求b的值；
（2） 若点C（m，8)是抛物线上的点，且，求证：点A， B， C三点共线；
（3） 点， 是抛物线上的两点，记抛物线在P， Q之间的部分为图象G（包含P， Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值.
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华东师大版2025—2026学年九年级下册期末模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中适合采用普查的是（ ）
A．调查某一居民小区感染新冠病毒的人数
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数
C．调查市场上某种饮料中防腐剂的含量
D．了解扬州市居民收看扬州电视台《今日生活》栏目的情况
【答案】A
【解析】【解答】解：调查某一居民小区感染新冠病毒的人数，适合采用全面调查，A符合题意；
调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，适合采用抽样调查，B不合题意；
调查市场上某种饮料中防腐剂的含量，适合采用抽样调查，C不合题意；
了解扬州市居民收看扬州电视台《今日生活》栏目的情况，适合采用抽样调查，D不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.
2．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位可得 ．再向上平移3个单位可得 ，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：A．
【分析】
直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，即可求解平移变换后的抛物线的解析式．
3．如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：如图1所示，当m等于0时，
∵y=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），
当x=4时，y=5，
∴C（4，5），
∴当m=0时，
D（4，-5），
∴此时最大值为0，最小值为-5；
如图2所示，当m=1时，
此时最小值为-4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1.
故答案为：C.
【分析】当m=0时，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（1，-4），易得A（0，-3），C（4，5），D（4，-5），此时函数的最大值为0，最小值为-5；当m=1时，同理可得最小值为-4，最大值为1，据此解答.
4．如图是以点为圆心，分别以OA，OB的长为半径的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：S阴=S扇形AOD-S扇形BOC=.
故答案为：D.
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
5．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，CD=3．则阴影部分的面积等于（ ）．
A．1.5π B．2π C．π D．2.5π
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
由题意可知：∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=3，
∵S△ACD=S△COD，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，从而得出△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可.
6．如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB.
∵正九边形，
∴∠AOB=360°÷9=40°，
∴∠AOC=20°，
∴AC=OA·sin20°=R·sin20°，
∴AB=2AC=2R·sin20°，即这个正九边形的边长为2R·sin20°.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB，由外角和为360°可得∠AOB=360°÷9=40°，则∠AOC=20°，根据三角函数的概念可得AC，然后表示出AB，据此解答.
7．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴所得到的抛物线的表达式为，
故答案为：D．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
8．对于任何非零实数h，抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．都有最低点
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2是由抛物线y=-(x-h)2向左平移h个单位得到
∴抛物线y=-x2与抛物线y=-(x-h)2的开口方向及形状相同.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与几何变换可得抛物线y=-x2是由抛物线y=-(x-h)2向左平移h个单位得到的，则开口方向与形状相同.
9．如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-3【答案】D
【解析】【解答】解：在中，令得：解得：则二次函数与x轴的两个交点坐标为同理令可得则二次函数与y轴的交点为，故翻折后的函数与y轴的交点为如下图，当直线经过点B时，直线与翻折后的图像有三个交点，把代入直线的解析式可得：解得：由题意可得：二次函数翻折到x下方的部分的解析式为：即翻折后的部分解析式为：当直线与只有一个交点C时，直线与x轴下方的整个函数图象3个交点，联立直线和消去y并化简得：此时该一元二次方程只有一个实数解，故解得：根据数形结合可知当直线在以上两种情况之间移动时，当直线y=x+m与新图象有4个交点 ，则m的取值范围为：
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，特别是数形结合分析问题的能力.
先根据题意求出原二次函数与x轴，y轴的交点，与x轴的两个交点坐标为与y轴的交点为。从而得到翻折后与y轴的交点为并通过翻折关系求出翻折部分翻折后的解析式：结合函数的图象知道：过点B作直线，将直线向下平移到C点处相切，则直线y=x+m与新图象有4个交点 ，即可求解.
10．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，
∵∠EOF＝2∠EAF＝2×45°＝90°，OE＝OF，
而OE=OF，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
此时AD最小，AD的最小值为AH的长，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH==sin60°，
∴AH=，
，∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为：B.
【分析】作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，利用圆周角定理得∠EOF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF=2EG= OE，所以当⊙O的半径最小时，EF的值最小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后计算出AH的长就可得到EF的最小值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表格所示，
x … 0 1 m …
y … 0 3 4 3 …
那么表格中 ，它的图象与轴的交点坐标是 ．
【答案】2；，
【解析】【解答】解：把，，代入二次函数得
，
解得，
∴二次函数，
当时，，
解得或，
，
令，则，
解得或，
∴二次函数与轴的交点为，，
故答案为：，，．
【分析】
设一般式将点的坐标代入求得二次函数的解析式，根据表格有一个y=0的点，再根据二次函数对称性，利用对称轴即可求得另一个坐标．
12．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是 cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
【答案】4
【解析】【解答】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高= =4cm．
故答案为4.
【分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
13．抛物线 向左平移2个单位后，得到的函数关系式是 ，则 ， ．
【答案】-2；-5
【解析】【解答】解：∵将抛物线 向左平移2个单位后的函数解析式为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：-2，-5.
【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可.
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A'、D'，如果直线A'D'与⊙O相切，若AB=2，那么BC的长为
【答案】
【解析】【解答】解：设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，
如图所示：
∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折，
∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，
过O作OH⊥CD，
∴CH＝CD，
∵直线A′D′与⊙O相切，
∴OG⊥A′D′，
∵BC∥A′D′，
∴OG⊥BC，
∴四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC，
∴CH＝OE，
∵AB＝CD＝CD′＝A′B＝2，
∴OE＝1，
∴OC＝OG＝，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝，
故答案为：．
【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，得出AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，由直线A′D′与⊙O相切，得出四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC，利用勾股定理即可得解。
15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限．
【答案】四
【解析】【解答】解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，
根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0．
∵函数y=bx+c中，，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
16．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴，且ab<0，故①正确；
∴故②正确；
∵a≠0
∴，
∵当时，，
∴，故③错误；
∵当x=1时，y最大，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为实数），
∴a+b≥am2+bm，
∴为实数），故④正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间
设点A坐标为，
当时，，故⑤错误.
故答案为：①②④
【分析】根据对称轴即可判断①②，根据当时，判断③，根据函数的顶点坐标判断④，由图像确定当取何值时，判断⑤．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1） 求此抛物线的顶点P的坐标．
（2） 将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得a的值，进而求得抛物线的表达式，从而求解；
（2）根据二次函数图象的平移变换得到平移后的表达式和顶点坐标为 ，结合顶点落在直线上，将点代入直线求得m的值，从而求解.
18．如图①，圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②所示的方式放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°.求：
（1）此圆锥的底面半径.
（2）此圆锥的全面积.
【答案】（1）解：由 题 意， 得 3 × 2πr =
∴r=4cm.
∴ 此圆锥的底面半径为4 cm
（2）解：此圆锥的全面积 2π×4×16=80π(cm2)
【解析】【分析】(1)根据题意可求出圆锥的底面周长，故可求出圆锥的底面半径；
(2)根据圆锥的表面积等于侧面积与底面积的和即可求解.
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标．
（2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，抛物线的对称轴为，抛物线图象开口向上，∴，则点M在抛物线的对称轴右侧，
∵点M的对称点为，即，且，
∴，
∵，都有，
∴点N在点M右侧，如图，
此时，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）把a的值代入解析式，转化成顶点式即可求解；
（2）画出图形结合二次函数的性质即可求解.
（1）解：把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，抛物线的对称轴为，抛物线图象开口向上，
∴，则点M在抛物线的对称轴右侧，
∵点M的对称点为，即，且，
∴，
∵，都有，
∴点N在点M右侧，如图，
此时，，
∴，
∴．
20． 如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，AD=4.
（1）设半圆O 的半径为r，用含 r 的代数式表示线段BD；
（2）若 求半圆O 的半径.
【答案】（1）解：连结BD.
∵AB 是半圆O的直径，
（2）解：连接OC与BD相交于点E，
.
又
是 的中位线，
.
设⊙O 的半径为r，
由(1)知，
在中，
或-3(不合题意，舍去)，
∴⊙O的半径为5.
【解析】【分析】（1）连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）连接OC与BD相交于点E，即可得到OC⊥BD，然后得到OE是的中位线， 即可求出OE长，然后根据勾股定理解答即可.
21．如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求弦的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
。
（2）解：的半径为，
，
，
，
于点，
，，
在中，，
，
弦的长是.
【解析】【分析】根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理的推论得出，而圆内的半径相等，并根据等边对等角可得，最后利用等量代换即可得出结论；
先求出OE=6，然后利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：的半径为，
，
，
，
于点，
，，
在中，，
，
弦的长是.
22．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径r.
【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）12π
（3）解：连接AO、BC相交于点D，连接OB，
∵BC=8，
∴BD =4，
∵AB =5，
∴AD =3，
∵该轮的半径为R，
在Rt△BOD中，OD=R-3，
∴R2=42+(R-3)2，
解得：
∴该轮的半径R为
【解析】【解答】解：(2)扇形BOC的面积
故答案为：12π.
【分析】(1)作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
(2)连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；
(3)连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到BD2+OD2=OB2，42+(R-3)2=R2，求解即可.
23．在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球的抛物线的函数解析式．
（2）抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离．
（3）在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？
【答案】（1）解：当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米，
∴抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵小明传出球时球的起点处高度为2米，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：对于抛物线：，令，则，
解得，，
∴点F的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴点G的坐标为，
∴，
∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为5米．
（3）解：对于抛物线，顶点坐标为，
∴篮球反弹后的最大高度为米，小于米．
当时，，
解得，
∴当时，，
∴小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是．
【解析】【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，抛物线过点，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C1坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得点F的坐标为，再根据待定系数法将点F坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征可得点G的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）由抛物线可得篮球反弹后的最大高度为米，小于米，当时，，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是．
（1）解：当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米，
∴抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵小明传出球时球的起点处高度为2米，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：对于抛物线：，令，则，
解得，，
∴点F的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴点G的坐标为，
∴，
∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为5米．
（3）解：对于抛物线，顶点坐标为，
∴篮球反弹后的最大高度为米，小于米．
当时，，
解得，
∴当时，，
∴小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是．
24．在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）．
（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．
（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．
【答案】（1）解：把点代入函数中
得：，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）解：根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）解：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式；
（2）利用函数图象，求出二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x范围即可；
（3）由抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，可得和时的函数值相同，利用图象可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
25． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （b为常数) 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线.
（1） 求b的值；
（2） 若点C（m，8)是抛物线上的点，且，求证：点A， B， C三点共线；
（3） 点， 是抛物线上的两点，记抛物线在P， Q之间的部分为图象G（包含P， Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值.
【答案】（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线，
∴，
解得；
（2）证明：由（1）知，
∴，
在中，当时，，
∴
对称轴与x轴交于点B，
∴，
设经过点A和点B的直线的解析式为，
将点A，B的坐标代入，得，解得，
直线的解析式为，
点在抛物线上，且，
，
解得（舍）或，
∴，
在中，当时，，
点在直线上，即点A，B，C三点共线；
（3）解：点、在抛物线的图象上，
，，
∴、，
∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，则，
∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，
∵，
∴，
，，
点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，．
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称轴为直线解答即可；
（2）求出抛物线与对称轴的交点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，由点在抛物线上，且，求出C点坐标，代入直线解析式，即可得到结论；
（3）由点、在抛物线上，得、，因为抛物线的开口向下，对称轴为直线，分以下两种情况进行讨论：当，两种情况，根据二次函数的性质得到最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
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