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沪科版2025—2026学年九年级上册期末模拟全优达标卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知反比例函数y＝ ，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞-3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜-3时，0＜x＜4
2．已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④．其中所有正确说法的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
4．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．6 B． C． D．
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，下列关于该函数在所给自变量取值范围内的说法正确的是（ ）
A．有最小值0，最大值3 B．有最小值-1，最大值3
C．有最小值-1，最大值0 D．有最小值-1，无最大值
6．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝-5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A．90元，4500元 B．80元，4500元
C．90元，4000元 D．80元，4000元
8．已知△ABC∽△DEF，AB=3，DE=5，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣3，0)，其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③2a－b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P(﹣5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B．
C． D． 且
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在与中， ，，连接交于点，那么 ．
12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接．已知抛物线．
（1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为 ．
（2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是 ．
13．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D、E，当矩形与的面积相等时，则b的值为 ．
14．如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为 ．
15．如图，小明用长为m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为 m．
16．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则 的最小值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：( )－1－ －2sin45°＋(3－π)0.
18．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
19．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
21．小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了.”如图所示为小明和小丽的大致位置.
（1）请画出此时小丽在阳光下的影子.
（2）若小明的身高为1.6m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影长为1.75m，求小丽的身高.
22．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x．
（1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）分别求当x=1，4，6时，S的值．
23．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30° (A、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF 正好与地面 CE 平行.
（1）求点F到直线CE 的距离(结果保留根号)；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，
24．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
25． 如图，点 P 在△ABC 内，且满足∠APB =∠APC，∠APB+∠BAC=180°.
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）若∠APB = 120°，∠ABC = 90°，求 的值；
（3）若∠BAC=45°，且△ABC 是等腰三角形，求 tan∠PBC 的值.
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沪科版2025—2026学年九年级上册期末模拟全优达标卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知反比例函数y＝ ，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞-3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜-3时，0＜x＜4
【答案】D
【解析】【解答】解：A．k=-12﹤0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
B．当﹣3﹤x﹤0时，y﹥4，当x﹥0时，y﹤0，故此选项不符合题意；
C．k=-12﹤0，该函数图象位于第二、四象限，故此选项不符合题意；
D．当y＜-3时，0＜x＜4，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的性质和图象逐项判断即可。
2．已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、由，故不在函数图象上，所以A不合题意；
B、由，故在函数图象上，所以B符合题意；
C、由，故不在函数图象上，所以C不合题意；
D、由，故不在函数图象上，所以D不合题意.
故选：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解，解题的关键是根据反比例函数，得，只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上．
3．如图，这是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④．其中所有正确说法的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，则，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，
∴，故③错误；
根据抛物线的对称性知，当时，，
∴，
∴，
即，故④正确．
综上所述，正确的说法是①②④．
故答案为：C
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，则，由于时，，则得到，把代入函数解析式得，结合对称轴方程有，即可求出答案.
4．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
解得，
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，即，再求出即可。
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，下列关于该函数在所给自变量取值范围内的说法正确的是（ ）
A．有最小值0，最大值3 B．有最小值-1，最大值3
C．有最小值-1，最大值0 D．有最小值-1，无最大值
【答案】B
【解析】【解答】解：根据图象可知：当0≤x≤3时，函数有最小值-1，有最大值3．
故答案为：B.
【分析】根据函数图象和自变量取值范围，可以得出对应y的值，再根据函数图象，确定函数的最值即可.
6．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，k+2<0，即k<-2.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质结合题意可得k+2<0，求解可得k的范围.
7．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝-5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A．90元，4500元 B．80元，4500元
C．90元，4000元 D．80元，4000元
【答案】B
【解析】【解答】解：设每月的利润为w，
根据题意可得：w=（x-50）×（-5x+550）=-5（x-80）2+4500，
∴当x=80时，w有最大值为4500，
故答案为：B.
【分析】设每月的利润为w，根据题意列出函数解析式w=（x-50）×（-5x+550）=-5（x-80）2+4500，再利用二次函数的性质求解即可.
8．已知△ABC∽△DEF，AB=3，DE=5，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为12，
∴的周长为20．
故答案为：C.
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到边长比，利用周长比为边长比即可求得答案．
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣3，0)，其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③2a－b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P(﹣5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，
∴a>0，c<0，
∵对称轴x= =-1<0，
∴b>0，b=2a，
∴abc<0，2a－b＝0，故①、③符合题意，
∵对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a＋b＋c=0，故②不符合题意，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，则4ac﹣b2＜0，故④不符合题意，
由二次函数对称性可得：当x=-5与x=3时，函数值相等，均可表示为y1，
结合抛物线开口向上，可知：当-5＜x＜3时的函数值均小于y1，
∴实数m的取值范围是﹣5＜m＜3，故⑤符合题意，
综上，①③⑤符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
10．设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在与中， ，，连接交于点，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴，
设，则，
∴
∴
∵
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，，先证明，可得，再结合，可得。
12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接．已知抛物线．
（1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为 ．
（2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是 ．
【答案】（1）h
（2）h
【解析】【解答】解：（1）∵点（，2）在函数图象上
∴2（h）2，
解得h或h，
∵点（，2）在函数图象上，
2（h）2，
解得h或h，
∵同时经过A，B点
∴h
故答案为：h
（2）∵函数y（x﹣h）2，
∴对称轴为x＝h，
当h时，点（，2）在函数图象上，
则有2（h）2，
解得h或h（舍），
当h时，点（，2）在函数图象上，
则有则有2（h）2，
解得h（舍）或h，
∴h时函数与线段AB有交点，
故答案为h．
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入解析式求出h的值即可；
（2）结合函数图象，再将点坐标代入求解并判断即可。
13．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D、E，当矩形与的面积相等时，则b的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：令y=x+b中的x=0，可得y=b；令y=0，可得x=-b，
∴A（-b，0），B（0，b），
∴S△AOB=b2.
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴S矩形OECD=2，
∵矩形ODCE与△OAB的面积相等，
∴b2=2，
解得b=2或-2.
∵一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，
∴b=2.
故答案为：2.
【分析】分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x，可得A（-b，0），B（0，b），由三角形的面积公式可得S△AOB=b2，根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OECD=2，结合题意可求出b的值.
14．如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．如图，小明用长为m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为 m．
【答案】7.5
【解析】【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ＝ ，即 ＝= ，
∴AB=3CD=7.5m；
故答案为：7.5．
【分析】由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OCD∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例可得比例式求解．
16．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.
当x=0时，y=3，
∴C(0，3).
当y=0时，
0=-x2+2x+3，
∴x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0）、B（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∴AC= ，
∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，
∴D(1，0)，
∴点A与点D关于y轴对称，
∴sin∠ACO= ，
由对称性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD= AC= ，
∴sin∠OCD= ，
∵sin∠OCD= ，
∴ PC=PE，
∵PA=PD，
∴ PC+PD=PE+PA，
∵∠CDO=∠ADE， ∠COD=AED，
∴△CDO∽△AED，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 .
【分析】连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知 PC=PE，然后通过证明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性质求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：( )－1－ －2sin45°＋(3－π)0.
【答案】解：原式＝3－2＋2－2×22＋1
＝2
【解析】【分析】先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值，再算加减法即可。
18．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
故答案为：或.
（2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
故答案为：.
【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：，再求解即可；
（2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当二次函数的图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大；②当二次函数的图象开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小）可得，再求出m的值即可.
（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
19．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：（答案不唯一）
（2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），
将（x，-x），代入y=x2-mx-3，
得，则，
，
∴此方程存在两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“点”；
②∵这两个“点”的横坐标分别是，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
【解析】【解答】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
∴y=-x，
∴方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
【分析】（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；
（2）①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），将（x，-x），代入y=x2-mx-3，得，则，根据即可求证；
②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解；
（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】（1）解：过点A作AH⊥CD， 垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH = 30°
∴AB=DH =1.5， BD=AH =6，在Rt△ACH中，
∴CH=AH·tan∠CAH，
∴CH= AH·tan∠CAH =6tan30°=6× (米) ，
∵DH=1.5，
；
（2）解：在Rt△CDE中，
米，
答：拉线CE的长为5.7米.
【解析】【分析】（1）由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中， 可求出CH， 进而根据CD=CH+HD=CH+AB解答即可；
（2）再在Rt△CED中， 利用正弦的定义求出CE的长解答即可.
21．小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了.”如图所示为小明和小丽的大致位置.
（1）请画出此时小丽在阳光下的影子.
（2）若小明的身高为1.6m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影长为1.75m，求小丽的身高.
【答案】（1）解：如图，CA 即为小丽在阳光下的影子.
（2）解：设小丽的身高为 xm.
∵小明的身高为 1.6m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影长为1.75m，
解得.x=1.4.
∴ 小丽的身高为1.4m
【解析】【分析】(1)利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案；
(2)利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可.
22．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x．
（1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）分别求当x=1，4，6时，S的值．
【答案】（1）解：由题意得：BC=x，则AB=8-x，且0＜x＜8，
则Rt△ABC的面积S==x（8-x）=-x2+4x（0＜x＜8），
所以Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式为：S=-x2+4x（0＜x＜8）；
（2）解：将x=1代入S=-x2+4x中得：
S=-+4=；
将x=4代入S=-x2+4x中得：
S=-×16+4×4=8；
将x=6代入S=-x2+4x中得：
S=-×36+4×6=6.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可表示出AB的长，再利用直角三角形的面积公式，可得到s与x的函数解析式，同时可得到x的取值范围.
（2）分别将x=1，4，6代入函数解析式，可得到对应的s的值.
23．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30° (A、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF 正好与地面 CE 平行.
（1）求点F到直线CE 的距离(结果保留根号)；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，
【答案】（1）解：过点F作FG⊥CE于点G，
∵DF||CE
∴DF⊥AE，DE⊥CE
∴DEGF为矩形
∴GF=DE
在△CDE中，，
而CE=6，则DE=，即GF=，F到CE的距离为6米.
（2）解：由(1)知FG=，在△CFG中，，即，得GC=米，
DF=EG=6+，而∠AFD=45°，故AD=FD=6+
在△BCE中，，即，得BE=米，
得BD=BE-BD=米，
故AB=AD-BD=6+-米.
【解析】【分析】(1)FG⊥CE于点G，知GF=DE，在△CDE中，利用∠DCE的正切值可得DE的长，即得GF的长；
(2)在△FCG中，利用坡比知GC的长，由此可得DF的长，在△ADF中，可得AD的长，同时在△BCE中，利用BCE的正切值可得BE的长，可得BD的长，即可得AB的长.
24．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴ ．
∴△BMN是等腰直角三角形
（2）解：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC， ．
∵AC＝BD，
∴ ，即 ．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
【解析】【分析】（1）由题AB=AC，因为M为BC 的中点，所以根据等腰三角形三线合一，∠NMB=90°，根据三角形外角的性质，即可得到∠MNB=45°，所以得出三角形NMB为等腰直角三角形。
（2）由题可得，FM为三角形ABC的中位线，根据（1）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例的线段，继而求∠NMF＝∠CBD，根据三角形相似的判定定理，即可求出△MFN∽△BDC。
25． 如图，点 P 在△ABC 内，且满足∠APB =∠APC，∠APB+∠BAC=180°.
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）若∠APB = 120°，∠ABC = 90°，求 的值；
（3）若∠BAC=45°，且△ABC 是等腰三角形，求 tan∠PBC 的值.
【答案】（1）证明：∵∠APB+∠BAC=180°，
即 +∠CAP，
∴∠ABP=∠CAP，
又∵∠APB=∠APC，
∴△PAB∽△PCA
（2）解：如解图①，
∵∠APB+∠BAC=180°，∠APB=120°，
∴∠BAC=60°，
在△ABC中，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
又∵△PAB∽△PCA，
即
（3）解：∵ ∠BAC = 45°，∠APB +∠BAC =180°，∠APB=∠APC，
∴∠APB=∠APC=135°.
∵△PCA∽△PAB，
①如解图②，
当△ABC 是等腰三角形，且 AB = AC 时，
②如解图③，
当△ABC 是等腰三角形，且 AB = BC 时，∠ACB=∠BAC=45°，∠ABC=90°，
③如解图④，
当△ABC 是等腰三角形，且 AC = BC 时，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，
综上所述，tan∠PBC的值为1或2或
【解析】【分析】（1）证明∠ABP=∠CAP，∠APB=∠APC，即可得到两三角形相似解题；
（2）先证明根据（1）中的相似三角形的对应边成比例解题即可；
（3）证明△PCA∽△PAB，即可得到然后分为AB = AC，AB = BC ，AC = BC 三种情况画图，根据等腰直角三角形的性质计算解题即可.
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