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沪科版2025—2026学年九年级下册期末模拟真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列转盘分别被分成2，4，5，6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在涂色区域的概率为 ，则对应的转盘是( )
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
3．如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )
A．12 cm B．7 cm
C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
4．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
5．一个不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是白球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
6．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的切线，点C是切点，连接，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C．8 D．9
8．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．一匹马奔跑的速度是100米/秒
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．班里有两名同学的生日在同一天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
9．在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点.”王老师要求添加条件后，编制一道题目.
嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积.
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉和淇淇的都正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．只有嘉嘉的正确
10．如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积 来近似估计 的面积 ，设 的半径为1，则 .
12．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB月所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 .
13．如图， 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画孤分别与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积为
(结果保留π)
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
15．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
16．如图，已知点M在正六边形的边上运动，如果，那么线段的长度的取值范围是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某校为了了解学生在家使用电脑的情况（分为“总是、较多、较少、不用”四种情况），随机在八、九年级各抽取相同数量的学生进行调查，绘制成部分统计图如下所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）九年级一共抽查了多少名学生，图中的a等于多少，“总是”对应的圆心角为多少度．
（2）根据提供的信息，补全条形统计图．
（3）若该校九年级共有900名学生，请你统计其中使用电脑情况为“较少”的学生有多少名？
18．白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）．
（1）小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径；
（2）微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞 说说你的理由．
19．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．
（1）作于点C，求的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
20．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，如图甲所示，它的底面圆直径ED与母线AD的长度之比为1：2.制作这种外包装需要用如图乙所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小.
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留π）
21．海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率．
22．某班同学分组做概率试验，试验要求：在一个不透明的口袋中装有n个红球和1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同，从口袋中摸出一个小球，记下颜色后将其放回袋中并搅匀，不断重复摸球并记录．
下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的频数 139 318 525 658 829 998
摸到白球的频率 0.278 0.318 0.35 0.329 0.332 0.333
（1）根据试验所得的摸到白球的频率，得到n的值为 ．
（2）在试验要求的条件下，用画树状图（或列表）的方法
23．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．
（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有__个，白球应有__个；
（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．
24． 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，，求图中阴影部分的面积．
25．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
（2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）；
（3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
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沪科版2025—2026学年九年级下册期末模拟真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列转盘分别被分成2，4，5，6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在涂色区域的概率为 ，则对应的转盘是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵选项A中的圆被两等分，其中涂色部分占1份，∴指针落在涂色区域的概率为 .故选项A不合题意.
∵选项 B中的圆被四等分，其中涂色部分占1份，∴指针落在涂色区域的概率为 .故选项B不合题意.
∵选项 C中的圆被五等分，其中涂色部分占1份，∴指针落在涂色区域的概率为 .故选项C不合题意.
∵ 选项D中的圆被六等分，其中涂色部分占2份，∴指针落在涂色区域的概率为 故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】求出每个转盘指针落在涂色区域的概率解答即可.
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】A
【解析】【解答】解：选项A，只有当两条直线为平行线时，同位角才相等，故不确定为随机事件.
选项B，不可能事件.
选项C，不可能事件
选项D，必然事件.
故答案为：A
【分析】根据事件发生的可能性的大小判断出相应事件的类型即可.
3．如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )
A．12 cm B．7 cm
C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【解析】【解答】设 分别是 的切点，
是一张三角形的纸片，
是它的内切圆，点 是其中的一个切点，
则
故
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质即可得到BD+CE=BC，再结合△ABC的周长即可计算出AD+AE的长，同样根据切线的性质可得DM=MF、FN=EN，进而可得到剪下三角形的周长.
4．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CA和CE为切线，
∴CA=CE，
同理，DE=BD，PA=PB=8，
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+BD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=16.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得出CA=CE，DE=BD，PA=PB，则可把△PCD的周长化为PA与PB之和，即可解答.
5．一个不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是白球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，
摸出一个球是白球的可能性是，
故答案为：C.
【分析】利用白球的个数除以球的总数可得摸出一个球是白球的可能性.
6．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：∠DBE=360°÷6=60°，∠DEB=360°÷5=72°，
则∠BDE=180°－60°-72°=48°
故答案为：A
【分析】根据多边形外角和的性质，求得∠DBE和∠DEB，再根据三角形内角和定理求解即可。
7．如图，是的切线，点C是切点，连接，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，如图，
是的切线，点C是切点，
OC⊥AB，
∠ACO=∠BCO=90°，
，
为等腰直角三角形，
OC=AC=3，
由勾股定理可得：
故答案为：B.
【分析】连接AC，由切线的性质得到∠ACO=∠BCO=90°，结合已知条件判断为等腰直角三角形，得到OC=AC=3，最后利用勾股定理即可求解.
8．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．一匹马奔跑的速度是100米/秒
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．班里有两名同学的生日在同一天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【答案】A
【解析】【解答】解：A．一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，A符合题意；
B．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，B不符合题意；
C．班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件，C不符合题意；
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据事件发生的可能性大小逐项判断即可求解.
9．在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点.”王老师要求添加条件后，编制一道题目.
嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积.
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉和淇淇的都正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．只有嘉嘉的正确
【答案】A
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵OA，OC是圆的半径，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OAC+∠OCB=90°，
∵嘉嘉给的条件是，
∴∠DCB+∠OCB=90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，
∴直线CD是圆O的切线，
∴嘉嘉给出的条件是正确的；
∵淇淇给出的条件是直线是的切线，且，如下图所示，
∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，
∴∠DCB+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠COB=2∠ACO，∠CBO=2∠DCB，
∴CO=CB，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠BCD=∠D=30°，
∵AB=2，
∴OA=OC=OB=BC=BD=1，
∴AD=3，
过点C作CE⊥OB于点E，如图所示：
在等边△OBC中，CE=，
∴S△ADC=×AD×CE=×3×=，
∴淇淇给出的条件正确，
综上，嘉嘉和淇淇给出的条件均是正确的，
故答案为：A.
【分析】利用切线的判定方法和性质，等边三角形的判定和性质及三角形的面积公式逐项分析判断即可.
10．如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BP，
∵，，
∴，
∴点P、M、N、B在以BP为直径的圆上，设此圆心为O，连接OM、ON，
∴，
由勾股定理，可得，
∴当BP取最小值时，MN值最小，
∴当BP⊥AC于P时，此时BP值最小，则MN值最小，
过点C作CD⊥AB于D，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即MN最小值为，
故答案为：A.
【分析】连接BP，根据直径所对的圆周角是直角得，点P、M、N、B在以BP为直径的圆上，设此圆心为O，连接OM、ON，由同弧所对的圆周角等于圆心角的2倍得∠MON=90°，由勾股定理，可得，当BP取最小值时，MN值最小，当BP⊥AC于P时，此时BP值最小，则MN值最小，过点C作CD⊥AB于D，进而根据含30°角直角三角形性质及等腰直角三角形的性质即可解决问题.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积 来近似估计 的面积 ，设 的半径为1，则 .
【答案】
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，
∵ 的半径为1，
∴ 的面积 ，OA=OB=1，
∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB= ，
∴AC= OB= ，
∴S△AOB= OB AC= ，
∴圆的内接正十二边形的面积S1=12S△AOB=3，
∴则 ，
故答案为： .
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为C，圆的半径为1，就可求出圆O的面积，再利用正多边形的性质，求出中心角∠AOB的度数，利用直角三角形的性质求出AC的长，就可求出△AOB的面积，再根据S1=12S△AOB，求出S1，然后求出S-S1的值即可。
12．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB月所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵边CD与☉O相切于点E，
∴OE⊥CD
∵四边形ABCD为矩形
∴AB//CD，
∴OE⊥AB，
∴，
由圆周角定理，得∠AOE=2∠ABE=30°，
∴OA=2AF=4，
由勾股定理，得，
则.
故答案为：.
【分析】根据切线的性质得到OE⊥CD，根据矩形的性质得到AB//CD，得到OE⊥AB，根据垂径定理求出AF，解直角三角形分别求出OA，OF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案.
13．如图， 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画孤分别与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积为
(结果保留π)
【答案】2 - π
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∠ABC=60° ，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，AO=AB=1，
∴BO==，∴BD=2BO=2，
阴影部分的面积=菱形的面积-两个空白扇形的面积=×AC×BD-=2 - π .
故答案为： 2 - π .
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，AB=BC，从而可得△ABC是等边三角形，即得AC=AB=2，AO=AB=1，利用勾股定理可得BO=，从可得BD=2BO=2，由阴影部分的面积=菱形的面积-两个空白扇形的面积，利用菱形的面积公式及扇形的面积公式进行计算即可.
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图所示：
则，
故答案为：．
【分析】先根据作图-垂直平分线分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，进而直接读出坐标即可求解。
15．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
【答案】10
【解析】【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是 ，
设口袋中大约有x个白球，则 ， 解得 ．
故答案为：10．
【分析】设口袋中大约有x个白球，利用概率公式列出方程求解即可。
16．如图，已知点M在正六边形的边上运动，如果，那么线段的长度的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设正六边形的外接圆圆心为O，连接EB，FB，且O在EB上，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴，BA=FA=EF=1，
∴∠FBA=∠BFA=30°，
∴∠EFB=120°-30°=90°，
∴EB=2，∠FBE=30°，
∴，
∴线段的长度的取值范围是，
故答案为：
【分析】设正六边形的外接圆圆心为O，连接EB，FB，且O在EB上，先根据正多边形的性质得到，BA=FA=EF=1，进而根据三角形内角和定理得到∠FBA=∠BFA=30°，从而得到∠EFB=120°-30°=90°，再运用含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某校为了了解学生在家使用电脑的情况（分为“总是、较多、较少、不用”四种情况），随机在八、九年级各抽取相同数量的学生进行调查，绘制成部分统计图如下所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）九年级一共抽查了多少名学生，图中的a等于多少，“总是”对应的圆心角为多少度．
（2）根据提供的信息，补全条形统计图．
（3）若该校九年级共有900名学生，请你统计其中使用电脑情况为“较少”的学生有多少名？
【答案】（1）九年级一共抽查了80÷40%=200名学生， ，所以图中的a=19%，“总是”对应的圆心角为360°×40%=144度；
（2）较多：200×21%=42（名），
较少：200-（38+42+80）=40（名），
如图所示；
（3） ×100%=20%，
900×20%=180（人）
答：使用电脑情况为“较少”的学生有180名．
【解析】【分析】（1）条形统计图和扇形统计图的综合考察，已知九年级总是使用电脑的人有80人，占总数的 40% ，即可算出九年级总人数。用a对应的人数除以总人数，即可算出a的值。 “总是”对应的圆心角为360°×40%=144度。
（2）已知总人数和各种情况下的人数，即可求出该情况下的概率即ab的值。
（3）先求出在抽查人数中， 使用电脑情况为“较少”的学生 所占的概率，再用九年级总人数乘以概率。
18．白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）．
（1）小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径；
（2）微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞 说说你的理由．
【答案】（1）解：连接
，
为中点，
（米），
（米），
又∵（米），
设（米），则（米），
在中，根据勾股定理得：
即：，
解得，
答：此圆弧形拱桥的半径为4米；
（2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下：
如图，米，，交于，
则（米），
连接，
在中，根据勾股定理得：，
（米），
又∵（米），
，
游船不能顺利通过该桥洞；
方法（二）：，
船舱顶部为长方形并高出水面米，
（米），
在中，根据勾股定理得：，
（米），
（米），
又∵，
，
游船不能顺利通过该桥洞．
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，设（米），则（米），再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）方法（一）：根据垂径定理可得（米），连接，根据勾股定理可得OE，根据边之间的关系可得DE，再比较大小即可求出答案.
方法（二）：根据边之间的关系可得OE，再根据勾股定理可得ME，根据垂径定理可得（米），再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接
，
为中点，
（米），
（米），
又∵（米），
设（米），则（米），
在中，根据勾股定理得：
即：，
解得，
答：此圆弧形拱桥的半径为4米；
（2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下：
如图，米，，交于，
则（米），
连接，
在中，根据勾股定理得：，
（米），
又∵（米），
，
游船不能顺利通过该桥洞；
方法（二）：，
船舱顶部为长方形并高出水面米，
（米），
在中，根据勾股定理得：，
（米），
（米），
又∵，
，
游船不能顺利通过该桥洞．
19．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．
（1）作于点C，求的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
【答案】（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
【解析】【分析】（1）连接，利用垂径定理求出，然后根据勾股定理解题即可；
（2）过O作于点D，连接，利用勾股定理得到，再根据垂径定理得出长解题即可．
（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
20．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，如图甲所示，它的底面圆直径ED与母线AD的长度之比为1：2.制作这种外包装需要用如图乙所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小.
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留π）
【答案】（1）解：设ED=x，则AD=2x，
弧EF的长度在甲中为底面圆周长，在乙中为扇形AEF的弧长，
∴，
∴ n=90， ∴ ∠BAC=90°
（2）解：∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=，
，
∴阴影部分面积=100-25π
【解析】【分析】（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式建立等式，从而求出∠A即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AD=20cm，再利用扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ABC-S扇形EAF进行计算．
21．海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率．
【答案】（1）
（2）解：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种，
.
【解析】【解答】（1）解：，
，
∴，
故答案为：，；
【分析】本题考查统计图表的综合应用与随机事件的概率计算。
(1) 计算总人数和 值时，根据条形统计图中文昌鸡的人数48人和扇形统计图中文昌鸡所占的百分比40%，用“部分数量 ÷ 对应百分比 = 总数量”求出总人数为 人；再用条形统计图中和乐蟹的人数36人除以总人数，得到和乐蟹所占的百分比为 ，即 。
(2) 补全条形统计图时，用总人数减去文昌鸡、和乐蟹、东山羊的人数，求出加积鸭的人数为 人，再在条形统计图中对应位置补充该人数的直条。
(3) 计算概率时，用 、、、 分别表示四种名菜，画出树状图列出所有 种等可能的选择结果，找出选到“加积鸭”和“和乐蟹”的结果有2种，根据概率公式 ，求出对应的概率。
（1）解：，
，
∴，
故答案为：，；
（2）解：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种，
.
22．某班同学分组做概率试验，试验要求：在一个不透明的口袋中装有n个红球和1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同，从口袋中摸出一个小球，记下颜色后将其放回袋中并搅匀，不断重复摸球并记录．
下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的频数 139 318 525 658 829 998
摸到白球的频率 0.278 0.318 0.35 0.329 0.332 0.333
（1）根据试验所得的摸到白球的频率，得到n的值为 ．
（2）在试验要求的条件下，用画树状图（或列表）的方法
【答案】（1）2
（2）解：画树状图为：
共有8种等可能的结果，其中两次都是红球的结果数为4，
所以连续两次摸到红球的概率＝．
【解析】【解答】解：（1）摸到白球的频率为：0.333≈，
∴口袋中球的总数为：1÷=3，
∴红球的个数n=3-1=2；
故答案为：2.
【分析】（1）由摸到白球的概率，可求得口袋中球的总数，减去白球，即可求得n的值；
（2）首先画树状图，可得共有9种机会均等的结果，其中连续两次摸到红球的结果数是4种，故而得出概率为：.
23．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．
（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有__个，白球应有__个；
（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．
【答案】（1）解：∵班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%，∴在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，即摸到黄球的概率为：60%，
设黄球为x个，则：
=60%，
解得：x=6，故白球应有4个，
∴则盒子中黄球应有6个，白球应有4个；
故答案为：6，4；
（2）解：如下表所示：
根据表格得到所有情况为20种，摸到的2个球都是黄球的情况一共有12种，
故摸到的2个球都是黄球的概率为：
=60%，
故该设计方案符合老师的要求．
【解析】【分析】（1）利用在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，即摸到黄球的概率为：60%，
求出黄球个数即可得出答案．
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
24． 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：是的切线，理由：
证明：设，则，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）AB是 的切线，因为OC是半径，所以只需证明OC⊥AB即可，设∠BCD为x，则∠COD为2x，通过△OCD内角即可求出∠OCD=90°，即OC⊥AB，所以AB是 的切线。
（2）通过勾股定理定理可以求得AB=5，解直角三角形可知OC=，先算出直角三角形AOB和扇形OED的面积，阴影部分的面积等于三角形AOB的面积减去扇形OED的面积。
25．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
（2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）；
（3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】（1）
（2）；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【解析】【解答】（1）解：根据频数之和等于样本容量，得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
故答案为：72°；
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10，一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
根据题意，得．
得．
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，可先计算甲快递公司在配送速度为9的人数，再补全频数直方图，扇形统计图周角表示单位1，用360°乘以乙快递公司配送得分7分的百分比即可算出对应的圆心角度数．
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（3）先画出树状图，列举出所有可能的结果数，从中挑出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）解：根据频数之和等于样本容量，
得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
故答案为：．
根据题意，得
．
得
．
，
故答案为：．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
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