第三单元倍数与因数（易错知识点+高频易错题训练）（含答案解析）——2025-2026学年五年级上册期末备考复习讲练测（北师大版）

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第三单元倍数与因数（易错知识点+高频易错题训练）
易错知识点
1．倍数与因数的意义。
在乘法算式ａ×ｂ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ 都是不为0 的自然数）中，ｃ是ａ和ｂ的倍数，ａ和ｂ是ｃ的因数。倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数。
2．找一个数的倍数的方法。
用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。
判断两个数成倍数关系的方法:
（1）列乘法算式，用积判断。
（2）列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。
3．倍数与因数的关系。
倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
4．找一个数的因数的方法。
方法一：想这个数可以写出哪些乘法算式，算式中的因数就是这个数的因数。
方法二：想一个数（0除外）除以几得非零自然数（无余数），除数和商就是这个数的因数。
一个数因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。
5．因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。
6．只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。
7．不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。
8．找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。
9．0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。
10．1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。
11．2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。
12．同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。
13．奇数与偶数的意义。
像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。
14．找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。
15．写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。
16．因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要根据地板砖的大小计算粘几行、几列；学生们站队的时候要计算站几行，每行几人等。
17．质数与合数的意义。
一个数只有１和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。
一个数除了１和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，最小的合数是4。
18．判断一个数是质数还是合数的方法。
看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
19．100以内的质数。
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。
高频易错题训练
一、选择题
1．24的所有因数中共有（ ）个质数。
A．1 B．2 C．5 D．6
2．你听过“完美数”吗？比如：6的因数有1，2，3，6。这几个因数满足的关系，像6这样的数叫“完美数”。下面数是完美数的是（ ）。
A．9 B．16 C．28 D．36
3．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，画整体是长方形，长和宽都是整分米数且都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最小是（ ）平方分米。
A．77 B．65 C．45 D．32
4．若一个三位数56□既是2的倍数，又是3的倍数，则□里的数字是（ ）。
A．0 B．4 C．7 D．8
5．哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下面四个算式中，符合这个猜想的是（ ）。
A．13＝2＋11 B．14＝5＋9 C．20＝1＋19 D．24＝7＋17
6．如图，在计数器的个位上至少再拨（ ）颗珠子，可以使得计数器上表示的四位数一定是3的倍数。
A．1 B．2 C．3 D．5
7．两个质数相乘，它们的积一定是（ ）。
A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数
8．紫英小学五（1）班参加合唱比赛，候场时同学们排成了如下图的队列。正式合唱需要变换队形，五（1）班队形可能是（ ）。
A．B． C． D．
二、填空题
9．7□□同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。
10．晚上，小明正开着灯，顽皮的弟弟按了15下开关，这时灯是( )着的；如果按20下，那么这时灯是( )着的。（均选填“开”或“关”）
11．从1、0、3、9中任选两个数字组成的两位数（两个数字不重复）中，同时是2、3的倍数的是( )；同时是2、5的倍数的是( )；同时是2、3、5的倍数的是( )。
12．小杰给表弟邮寄了一箱图书，快递取件码是一个四位数。请根据以下线索破译取件码：( )。
第一位是自然数中最小的质数； 第二位是两个连续质数的乘积，且其中一个质数是唯一的偶质数； 第三位是最小的合数； 最后一位是一个特殊的奇数——它是拥有3个因数的合数。
13．小明在做“用橡皮筋驱动小车”实验时，分别记录了橡皮筋绕三种不同圈数时小车行驶的距离，小明发现3次距离正好是3个连续的偶数，3次距离总和是24m，最短的一次是( )m，最长的一次是( )m。
14．李叔叔注册手机银行时，收到一个6位数验证码，从左面数，第一个数既是偶数又是质数，第二个数既是奇数又是合数，第三个数既不是质数也不是合数也不为0，第四个数既是4的倍数又是4的因数，第五个数是3的最小倍数，第六个数是6的最大因数，这个验证码是( )。
15．奇奇、小海和小聪参加了学校举办的活动，他们三人的编号正好是三个连续的偶数。奇奇：“我的编号是3的倍数。”小海：“我的编号最小。”小聪：“我们三人的编号之和是54。”根据以上信息判断：奇奇的编号是( )，小海的编号是( )，小聪的编号是( )。
16．把下面的数分类。
202 89 23 213 1 35 2 82 29 33
(1)既是奇数又是质数的有( )。
(2)既是偶数又是质数的有( )。
(3)既是奇数又是合数的有( )。
三、判断题
17．已知自然数a只有两个因数，那么2a最多有3个因数。( )
18．4000的因数比4的倍数的个数要多得多。( )
19．一个两位数的十位和个位数字都是质数，那么这个两位数一定是质数。( )
20．如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )
21．36的因数中，既是合数又是偶数的有5个。( )
四、作图题
22．在方格纸上画2个不同的长方形，使它们的面积都是18平方厘米，长和宽都是整厘米数。
五、解答题
23．小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？
24．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。
25．一只小狗在甲、乙两棵树之间来回跑动。小狗最初从甲树跑向乙树，一共跑了15次（往返算2次），此时小狗停在哪棵树旁？跑120次呢？
26．秦始皇陵兵马俑是世界文化遗产，其中二号坑中部有260多个兵马俑，如果3个3个地数，能正好数完；如果2个2个地数，就会剩下1个。你知道二号坑中部一共有多少个兵马俑吗？
27．张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？
28．科技改变命运，笑笑家的防盗门安装了密码锁，密码是一个6位数，第一个数字最小的倍数是5，第二位是最小的自然数，第三位即是质数又是偶数，第四位比最小的合数小1，第五位是最小的奇数，第六位即是奇数又是合数，她家的防盗门密码是多少？
29．手工课上，李老师和同学们折纸鹤，每人折的只数相同，总共折了473只。这个班有学生多少人？每人折纸鹤多少只？（学生人数不少于20人）
30．有三只袋子，里面分别装有4颗、5颗、6颗珠子。
①如果要求在计数器上摆出是3的倍数的三位数，你会用哪只袋子里的珠子去摆（要求珠子全用完）？为什么？【温馨提示：可以在计数器上画一画哦！】
②如果要求摆的是3的倍数的四位数，你还会选择这只袋子吗？为什么
③对于在计数器上摆是3的倍数的数，你有什么心得吗？
参考答案
1．B
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；写出24的所有因数，数一数质数即可解决问题。
【详解】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
其中2，3为质数，即其中有2个质数。
故答案为：B
2．C
【分析】完美数的定义是：一个数等于其所有真因数（除自身以外的因数）之和。根据定义，需逐一验证各选项的因数，计算真因数之和，并与原数比较。
【详解】A．9；9的因数有1，3，9；1＋3＝4；4≠9，所以9不是完美数。
B．16；16的因数有1，2，4，8，16；1＋2＋4＋8＝15；15≠16，所以16不是完美数。
C．28；28的因数有1，2，4，7，14，1＋2＋4＋7＋14＝28；28＝28，所以28是完美数。
D．36；36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36；1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55；55≠36，所以36不是完美数。
你听过“完美数”吗？比如：6的因数有1，2，3，6.这几个因数满足的关系，像6这样的数叫“完美数”。完美数是28。
故答案为：C
3．B
【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此先用长方形的周长除以2求出这幅画的长、宽之和，再根据质数的概念及长、宽之和推导出长方形的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后把得出的面积进行比较并且确定出最小的面积即可。
【详解】36÷2＝18（分米）
18＝5＋13＝7＋11
13×5＝65（平方分米）
11×7＝77（平方分米）
65＜77
这幅画的面积最小是65平方分米。
故答案为：B
4．B
【分析】同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，根据3的倍数特征从“0、2、4、6、8”中确定个位数字，据此解答。
【详解】当个位数字为0时，5＋6＋0＝11，11不是3的倍数，则560不是3的倍数；
当个位数字为2时，5＋6＋2＝13，13不是3的倍数，则562不是3的倍数；
当个位数字为4时，5＋6＋4＝15，15是3的倍数，则564是3的倍数；
当个位数字为6时，5＋6＋6＝17，17不是3的倍数，则566不是3的倍数；
当个位数字为8时，5＋6＋8＝19，19不是3的倍数，则568不是3的倍数。
综上所述，若一个三位数56□既是2的倍数，又是3的倍数，则□里的数字是4。
故答案为：B
5．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此逐项进行分析解答即可。
【详解】A．在13＝2＋11中，13不是偶数，所以不符合哥德巴赫猜想（偶数情形）；
B．在14＝5＋9中，14是大于4的偶数，5是质数，9不是质数，所以不符合哥德巴赫猜想（偶数情形）；
C．在20＝1＋19中，20是大于4的偶数，1不是质数，所以不符合哥德巴赫猜想（偶数情形）；
D．在24＝7＋17中，24是大于4的偶数，7是质数，17是质数，所以符合哥德巴赫猜想（偶数情形）。
故答案为：D
6．B
【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
计数器表示的四位数为3130，各位每拨1颗珠子，对应个位数字增加1。
“至少再拨几颗珠子”，就是找到比现有数的和大的最小的3的倍数，使这个四位数各位上的数的和满足3的倍数的特征。
【详解】3＋1＋3＋0＝7
比7大的最小的3的倍数是9
9－7＝2
在计数器的个位上至少再拨2颗珠子，可以使得计数器上表示的四位数一定是3的倍数。
故答案为：B
7．D
【分析】质数是大于1的自然数，且只有1和它本身两个因数；合数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，还有别的因数。两个质数相乘，积的因数至少包括1、这两个质数和积本身，符合合数的定义。
【详解】A．两个质数相乘，它们的积一定是质数，此说法错误，因为积的因数个数至少包括1、这两个质数和积本身，是合数；
B．两个质数相乘，它们的积一定是奇数，此说法错误，比如这两个质数分别为2和3，它们的积是6，是偶数；
C．两个质数相乘，它们的积一定是偶数，此说法错误，比如这两个质数分别为3和5，它们的积是15，是奇数；
D．两个质数相乘，积的因数个数至少为3个，符合合数定义。
故答案为：D
8．D
【分析】整数中是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。入场时队列站两行还多1人，可知五（1）班学生人数是奇数。分析计算各选项队形中的人数，是奇数的则可能是五（1）班的队形。据此解答即可。
【详解】该队列呈梯形排列，总人数为：3＋5＋7＋9＝24（人）；24是偶数，不符合题意；
B．该队列长方形排列，有4排，每排6人。总人数为：6×4＝24（人）；24是偶数，不符合题意；
C．该队列呈3×6＋2排列，总人数为：3×6＋2＝18＋2＝20（人）；20是偶数，不符合题意；
D．该队列呈4×5＋3排列，总人数为：4×5＋3＝20＋3＝23（人）；23是奇数，符合题意。
故答案为：D
9． 720 780
【分析】2、3、5的倍数特征：个位上的数字是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。
7□□同时是2、3、5的倍数，那么个位上的数是0，7＋0＝7，所以考虑十位上的数字与7的和能被3整除即可，十位上可填数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，分别与7求和发现7＋2、7＋5、7＋8的和能被3整除，其中7＋2＝9最小，7＋8＝15最大，所以这个数最小是720，最大是780。
【详解】根据分析：
7□□同时是2、3、5的倍数，这个数最小是720，最大是780。
10． 关 开
【分析】由于小明正开着灯，顽皮的弟弟按了15下开关，可知第1下是关，第2下是开，1是奇数，2是偶数，由此可以推断奇数是关，偶数时开，15是奇数，20是偶数，据此解答。
【详解】根据分析：
第1下是关，第2下是开，可知奇数是关，偶数时开，15是奇数，所以弟弟按了15下开关，这时灯是关着的；20是偶数，所以如果弟弟按20下开关，那么这时灯是开着的。
11． 30、90 10、30、90 30、90
【分析】从1、0、3、9中选两个不重复数字组成两位数时，注意0不能在十位，因此能组成的数有：10、13、19、30、31、39、90、91、93。2的倍数：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数：各位数字之和是3的倍数；5的倍数：个位数字是0或5。同时是2、3的倍数：先找出2的倍数（10、30、90），再从中筛选出3的倍数（30、90）；同时是2、5的倍数：需同时满足2和5的倍数特征，即个位必须是0，因此是10、30、90；同时是2、3、5的倍数：需同时满足三个数的倍数特征（个位为0且各位和是3的倍数），因此是30、90。
【详解】从1、0、3、9中任选两个数字组成的两位数（两个数字不重复）中，同时是2、3的倍数的是30、90；同时是2、5的倍数的是10、30、90；同时是2、3、5的倍数的是30、90。
12．2649
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，自然数中最小的质数是2。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。依次解答。
【详解】第一位是自然数中最小的质数是2；
一位数的质数有2、3、5、7，唯一的偶质数是2，第二位是两个连续质数的乘积，所以第二位是：2×3＝6；
第三位是最小的合数是4；
一位数的奇数有：1、3、5、7、9，拥有3个因数的合数只有9，所以最后一位是9。
所以取件码是2649。
13． 6 10
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点是两个相邻的偶数相差2。
已知3次距离正好是3个连续的偶数，3次距离总和是24m，用距离总和除以3，求出平均数，即是中间的偶数，再用中间的偶数分别减2、加2，求出相邻的另外两个偶数，也就是最短的距离和最长的距离。
【详解】24÷3＝8（m）
8－2＝6（m）
8＋2＝10（m）
最短的一次是6m，最长的一次是10m。
14．291436
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本外，还有其他因数的数；
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。据此确定每一位上的数，再写出密码即可。
【详解】第一个数既是偶数又是质数，它是2；第二个数既是奇数又是合数，它是9；第三个数既不是质数也不是合数也不为0，它是1；第四个数既是4的倍数又是4的因数，它是4；第五个数是3的最小倍数，它是3；第六个数是6的最大因数，它是6。
所以，这个验证码是291436。
15． 18 16 20
【分析】根据平均数的意义，已知三个连续偶数的和，先求出中间的偶数，进而确定三个连续偶数，最后结合奇奇编号是3的倍数，小海的编号最小，确定三人的编号。
【详解】54÷3＝18
所以三个连续的偶数是16、18、20
18是3的倍数，所以奇奇的编号是18，小海的编号是16，小聪的编号是20。
16．(1)89、23、29
(2)2
(3)213、35、33
【分析】首先明确概念，奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身，还有其他因数的数。
（1）既是奇数又是质数的数
先找出奇数：89、23、213、1、35、29、33；
再从这些奇数里挑质数（排除1、合数）：89、23、29。
（2）既是偶数又是质数的数
先找出偶数：202、2、82；
再从这些偶数里挑质数：只有2，这是唯一既是偶数又是质数的数。
（3）既是奇数又是合数的数
先找出奇数：89、23、213、1、35、29、33；
排除质数和1，剩下的合数：213、35、33。
【详解】（1）既是奇数又是质数的有89、23、29。
（2）既是偶数又是质数的有2。
（3）既是奇数又是合数的有213、35、33。
17．×
【分析】自然数a只有两个因数，则a为质数。2a的因数个数取决于a的取值：当a＝2时，2a＝4，有3个因数；当a为大于2的质数时，2a有4个因数。因此，2a最多有4个因数。
【详解】因为a是只有两个因数的自然数，所以a是质数。2a的因数包括1、2、a和2a。
当a＝2时，2a＝4，因数为1、2、4，共3个因数；
当a≠2时（例如a＝3，2a＝6，因数为1、2、3、6），有4个因数。
故2a最多有4个因数，原题说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】因数：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的；
倍数：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，倍数的个数是无限的。
由此可知：4000的因数的个数是有限的，而4的倍数的个数是无限的。有限个不可能比无限的数量“多得多”，因此判断为错误。
【详解】4000的因数的个数是有限的，而4的倍数的个数是无限的。因此，4000的因数的个数比4的倍数的个数少，不可能“多得多”。
故答案为：×
19．×
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；结合举例说明即可。
【详解】根据质数的定义，两位数的十位和个位数字均为质数（即2、3、5、7），但组成的两位数不一定是质数。例如，52、32、25、75等均为合数，故原题说法错误。
故答案为：×
20．√
【分析】根据倍数的意义，如果数A能被数B整除（A、B都不为0），则A就是B的倍数；分解质因数是把一个合数分解成几个质数相乘的形式，据此把6分解质因数可得：6＝3×2，因为6是2和3的倍数，所以一个数如果是6的倍数，则也能被2和3整除，据此解答。
【详解】6＝2×3，6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。例如：12是6的倍数，也是2和3的倍数。
故答案为：√
21．√
【分析】先找出36的因数，根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。即可作答。
【详解】36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，既是合数又是偶数的是4、6、12、18、36有5个，原题说法正确。
故答案为：√
22．见详解
【分析】根据“长方形的面积＝长×宽”，已知长方形的面积为18平方厘米且长、宽均为整厘米数，需找出18的所有整数因数对（即能相乘得18的两个整数），每一组因数对对应长方形的长和宽，据此确定长方形的长和宽并画图。
【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6
长方形长18厘米、宽1厘米；长9厘米、宽2厘米；长6厘米、宽3厘米。
作图如下：
（画法不唯一）
23．能；不能；4个；原因见详解
【分析】能不能正好装完，就是看2和5是不是36的因数，是36的因数就可以正好装完，不是36的因数就不能正好装完。至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完，也就是玩具小熊的数量同时是2和5的公倍数，先利用求一个数的倍数的方法，求出2和5的倍数，再找出两个数的公倍数，在这些公倍数中，找出刚好比36大的数，再与36作差即可解答。
【详解】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
2是36的因数，所以每2个装一个盒子，能正好装完。
5不是36的因数，所以每5个装一个盒子，不能正好装完。
2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50…
5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50…
2和5的公倍数有10、20、30、40、50…
40比36大；
所以至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。
答：每2个装一个盒子，能正好装完；每5装一个盒子，不能正好装完；至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。
24．选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解
【分析】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。
【详解】93÷3＝31（盒）
93÷6＝15（盒）……3（个）
93÷8＝11（盒）……5（个）
答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。
25．乙树；甲树
【分析】小狗最初在甲树旁。跑1次（奇数次，不能被2整除的数是奇数）：从甲树到乙树，停在乙树旁。跑2次（偶数次，能被2整除的数是偶数）：从乙树回到甲树，停在甲树旁。由此可总结规律：当跑动次数为奇数时，小狗停在乙树旁；当跑动次数为偶数时，小狗停在甲树旁。
因为15是奇数，根据上述规律，小狗停在乙树旁。因为120是偶数，根据上述规律，小狗停在甲树旁。
【详解】小狗奇数次停在乙树旁，偶数次停在甲树旁。
15÷2＝7……1
120÷2＝60
15是奇数；120是偶数
答：跑15次，小狗停在乙树旁；跑120次，小狗停在甲树旁。
26．261个或267个
【分析】根据题意可知，3个3个地数，能正好数完，说明这个数是3的倍数；2个2个地数，就会剩下1个，说明这个数的个位上是奇数；26□的个位上是奇数，且各个数位上数字之和是3的倍数的数就是兵马俑的个数。
【详解】2＋6＋1＝9，9是3的倍数，所以261符合题意；
2＋6＋3＝11，11不是3的倍数，所以263不符合题意；
2＋6＋5＝13，13不是3的倍数，所以265不符合题意；
2＋6＋7＝15，15是3的倍数，所以267符合题意；
2＋6＋9＝17，17不是3的倍数，所以269不符合题意；
答：二号坑中部一共有261个或267个兵马俑。
27．A、B、C；3种
【分析】要判断选用哪种包装恰好能把120个石榴装完，就是看120能否被每种包装每盒所装的个数整除，若能整除则该种包装符合要求。
【详解】A种：120÷4＝30（盒），没有余数，说明120能被4整除，所以A种包装符合要求。
B种：120÷6＝20（盒），没有余数，说明120能被6整除，所以B种包装符合要求。
C种：120÷8＝15（盒），没有余数，说明120能被8整除，所以C种包装符合要求。
D种：120÷9＝13（盒）……3（个），有余数，说明120不能被9整除，所以D种包装不符合要求。
答：选用A、B、C包装恰好能把120个石榴装完，符合要求的包装有3种。
28．502319
【分析】第一个数字根据一个非0自然数的最小倍数就是它自己，即最小的倍数是5的数是5；
第二个数字：最小的自然数是0；
第三个数字：10以内即是质数又是偶数的是2；
第四个数字：最小的合数是4，比4小1，；
第五个数字：最小的奇数是1；
第六个数字：10以内即是奇数又是合数的数是9。
【详解】第一个数字是：5
第二个数字是：0
第三个数字是：2
第四个数字是：3
第五个数字是：1
第六个数字是：9
答：她家的防盗门密码是502319。
29．学生42人，每人折11只
【分析】通过等积式先找出473的所有因数，再找出其中符合学生人数的因数，从而找出每人折纸鹤多少只。
【详解】473＝1×473＝11×43
由于学生人数不少于20人，那么学生和老师一共有43人。
43－1＝42（人）
答：这个班有学生42人，每人折纸鹤11只。
30．见详解
【分析】要求摆出是3的倍数的数，根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【详解】①要求在计数器上摆出是3的倍数的三位数，那么这个三位数各个数位上的数字之和是3的倍数，也就是袋子中珠子的数量是3的倍数，因为6÷3＝2，所以6是3的倍数，因此选择装有6颗珠子的袋子去摆，珠子全部用完，且摆出的三位数是3的倍数，作图如下：
②要求摆出的是3的倍数的四位数，那么这个四位数各个数位上的数字之和是3的倍数，也就是所用珠子的总数量是3的倍数，因为6÷3＝2，所以6是3的倍数，因此选择装有6颗珠子的袋子去摆，珠子全部用完，且摆出的四位数是3的倍数，作图如下：
③对于在计数器上摆是3的倍数的数，只要选择珠子的总数是3的倍数的袋子，则全部用这些珠子就可以摆出是3的倍数的数。
背了这50组套用句型，高考英语写作就稳了！（下）
【第21-30组：建议与流程描述类表达】
26. 提出建议（建议信）
初阶: Try reading more books. （你应该多读书。）
中阶: It would be beneficial for you to expand your reading extensively. （广泛阅读对你有益。）
It would be beneficial for you to... 对你而言……将是有益的
expand your reading extensively 广泛扩展你的阅读
高阶: I strongly recommend that you immerse yourself in a diverse range of literature to cultivate critical thinking skills. （我强烈建议你涉猎各类读物以培养批判性思维能力。）
immerse yourself in 沉浸于；潜心钻研
a diverse range of literature 各类文学作品/读物
cultivate critical thinking skills 培养批判性思维能力
赏析: 高阶句式采用“主谓+宾语从句”结构，运用“immerse yourself in”这一生动短语强调深度投入，并使用“cultivate critical thinking skills”精准表述。
27. 说明活动目的（通知/邀请信）
初阶: The activity is to celebrate the festival. （这项活动是为了庆祝节日。）
中阶: The event is organized to commemorate the festival and foster a festive atmosphere. （本次活动旨在纪念节日并营造节日氛围。）
commemorate v. 为了纪念；用以纪念
foster a festive atmosphere 营造节日氛围
高阶: The event has been meticulously crafted to commemorate the festival while strengthening community spirit among participants. （本次活动旨在纪念节日并加深参与者间的联系。）
craft v. （尤指用手工）精心制作
strengthen community spirit 增强社区/集体精神
赏析: 高阶句式使用现在完成时的被动语态“has been meticulously crafted”，突出活动筹备的精心与专业；“while”连接两个并列目的。
28. 描述具体内容（邀请信/通知）
初阶: There will be games and singing. （会有游戏和唱歌。）
中阶: The event will feature engaging games and a lively singing performance. （本次活动将包含有趣的游戏和热烈的歌唱表演。）
feature v. 以……为特色；以……为主体
engaging games 引人入胜的游戏
高阶: A variety of interactive games coupled with dynamic singing performances will surely captivate the audience. （多样化的互动游戏和动感十足的歌唱表演必将吸引观众。）
a variety of interactive games 多样的互动游戏
coupled with 把……与……结合
captivate the audience 吸引观众
赏析: 高阶句式采用“主语+谓语”结构，主语由“coupled with”连接两个核心内容，表达更显凝练；“captivate the audience”更具表现力。
29. 说明组织者（通知）
初阶: The event is organized by the Students’ Union. （该活动由学生会组织。）
中阶: The event is hosted by the Students’ Union. （学生会负责主办此次活动。）
be hosted by 由……主办
高阶: This event is spearheaded by the Students’ Union, aiming to deliver an unforgettable experience. （本次活动由学生会牵头，旨在带来难忘的体验。）
be spearheaded by 由……牵头/主导
赏析: 高阶句式使用“is spearheaded by”这一形象动词，凸显学生会的领导作用；现在分词短语“aiming to...”作伴随状语。
30. 说明交通方式（邀请信/通知）
初阶: You can take the subway to get there. （你可以乘地铁到达那里。）
中阶: It is recommended that you reach the venue by subway. （建议你乘坐地铁前往会场。）
It is recommended that ... 建议……
reach the venue 到达会场
高阶: We strongly recommend taking the subway for a quick and hassle-free journey. （强烈建议各位参加者选择地铁出行，以便捷高效地到达会场。）
strongly recommend 强烈建议
a quick and hassle-free journey 快捷无忧的行程
赏析: 高阶句式采用“主谓+动名词宾语+目的状语”结构，“strongly recommend”语气坚定，“quick and hassle-free”精准概括了地铁出行的核心优势，表达直接有效。
【第31-40组：活动描述与支持请求类表达】
31. 安排接送（邀请信/通知）
初阶: We’ll meet you at the station. （我们会在车站接你。）
中阶: We will arrange to meet you at the station upon your arrival. （我们将在你到达时安排接站。）
upon your arrival 在你抵达时
高阶: Transportation arrangements have been carefully made to ensure your smooth pick-up upon arrival at the station. （已精心安排交通接送，确保您抵达车站后顺利接应。）
transportation arrangements 交通安排
smooth pick-up 顺利接应
赏析: 高阶句式使用现在完成时的被动语态，强调安排已就绪且细致周到；不定式“to ensure ...”点明了安排的目的。
32. 说明需要提前通知（通知/邀请信）
初阶: Please tell us if you can’t come. （如果不能来，请告诉我们。）
中阶: Kindly inform us in advance if you are unable to attend. （如若无法出席，请提前通知我们。）
in advance 提前
高阶: Kindly notify us as soon as possible if you cannot attend, so we can make necessary arrangements. （若您无法出席，烦请尽早通知，以便进行必要调整。）
as soon as possible 尽快
赏析: 高阶句式通过“as soon as possible”强调时效性，并使用“so we can...”引导的目的状语从句。
33. 提到参观内容（邀请信）
初阶: We will visit the museum. （我们将参观博物馆。）
中阶: We have arranged a guided museum tour. （我们将组织一次博物馆导览。）
a guided museum tour 有导览的博物馆参观
高阶: A special guided tour to the museum has been meticulously scheduled to enrich your visit experience. （精心安排了博物馆特别导览，以丰富您的参观体验。）
enrich your visit experience 丰富您的参观体验
赏析: 高阶句式采用被动语态，将“special guided tour”置于句首作为焦点；“to enrich your visit experience”点明了精心安排的目的。
34. 描述食宿安排（邀请信/通知）
初阶: We will provide food and rooms. （我们会提供食物和住宿。）
中阶: Accommodation and meals will be provided for all participants. （所有参与者将提供住宿与餐食。）
accommodation and meals 食宿
高阶: We have arranged comfortable accommodation and meals for all attendees. （为所有来宾妥善安排了住宿与用餐服务，以确保舒适体验。）
arrange comfortable accommodation 已安排舒适的住宿
赏析: 高阶句式使用现在完成时，表明安排已落实，给参与者以确定感；形容词“comfortable”直接点明食宿标准。
35. 说明参会对象（通知/邀请信）
初阶: All students can join. （所有学生都可以参加。）
中阶: The event is open to all students who are interested. （该活动向所有感兴趣的学生开放。）
be open to ... 对……开放
高阶: The event warmly welcomes the enthusiastic participation of all students who want to learn more. （此次活动热忱欢迎所有渴望开拓视野的学生积极参与。）
warmly welcome 热烈欢迎
enthusiastic participation 热情的参与
赏析: 高阶句式运用拟人化动词“welcomes”，赋予活动以人情味；“enthusiastic participation”和“who want to learn more”等表述。
36. 引出活动环节（邀请信）
初阶: After the speech, we will play games. （演讲后我们将玩游戏。）
中阶: Following the keynote speech, a series of interactive games will be conducted. （主旨演讲后，将进行一系列互动游戏。）
高阶: After the keynote speech, everyone can join in our carefully planned interactive games. （主旨演讲结束后，将邀请参与者参加一系列精心准备的互动游戏。）
赏析: 高阶句式通过“carefully planned”凸显了活动环节设计的用心；“everyone can join in”创造了包容且具邀请性的氛围。
37. 描述文艺表演（邀请信）
初阶: We’ll have singing and dancing performances. （将有歌唱与舞蹈表演。）
中阶: The event will feature captivating singing and dancing performances. （活动将展现精彩的歌唱与舞蹈表演。）
captivating adj. 有吸引力的；迷人的
高阶: Attendees will be treated to an array of splendid singing and dancing performances that promise to dazzle. （观众将欣赏到一系列精彩绝伦的歌舞表演，定会令人眼前一亮。）
will be treated to 将享受到……的款待
an array of splendid ... 一系列精彩的……
dazzle v. 使赞叹不已；使惊奇；使眼花缭乱
赏析: 高阶句式使用“will be treated to”这一地道表达，将观看表演提升至一种享受；“that promise to dazzle”定语从句增强了表现力。
38. 提供联系方式（邀请信/通知）
初阶: You can call me at this number. （你可以拨打这个号码联系我。）
中阶: Should you have any inquiries, please feel free to contact me via the number provided. （如有疑问，请随时通过提供的电话与我联系。）
feel free to contact me 随时联系我
高阶: For further details, please do not hesitate to contact me through the designated contact channels. （如需进一步了解，请尽早通过指定联系方式与我取得联系。）
the designated contact channels 指定的联系渠道
赏析: 高阶句式以“For further details”开头，直接切入主题；“do not hesitate to contact”是非常地道且礼貌的邀请性用语。
39. 安排志愿者（邀请信/通知）
初阶: Some students will help as volunteers. （一些学生将作为志愿者协助。）
中阶: A group of student volunteers will help organize the event. （已有数名学生自愿协助活动组织。）
a group of 一组
高阶: A team of dedicated volunteers has been assembled to facilitate the smooth running of the event. （一支由热心志愿者组成的团队已组建，确保活动顺利进行。）
dedicated adj. 尽心尽力的；一心一意的
assemble v. 聚集；集合；收集
facilitate the smooth running 保障顺利运行
赏析: 高阶句式选用“dedicated”一词高度赞扬了志愿者的奉献精神；“has been assembled”表明团队已就位；“facilitate the smooth running”是正式且专业的表达，体现了组织的专业性。
40. 强调遵守秩序（通知）
初阶: Please keep order during the event. （请在活动期间保持秩序。）
中阶: Participants are requested to maintain order throughout the event. （要求参与者在活动期间保持秩序。）
be requested to 被要求……
高阶: All participants are earnestly urged to maintain proper behavior and adhere to the event guidelines to ensure its success. （所有参与者被诚挚地要求保持礼仪并遵守活动指引，以确保活动圆满成功。）
earnestly adv. 诚挚地
adhere to 遵守，遵行（规则、信念、承诺等）
赏析: 高阶句式使用被动语态“are earnestly urged to”，语气庄重；“maintain proper behavior”和“adhere to the event guidelines”表述具体。
【第41-50组：困难表述与请求支持类表达】
41. 表达面临问题（求助信）
初阶: I have some problems. （我遇到了一些问题。）
中阶: I am currently facing certain difficulties. （我目前正面临一些困难。）
高阶: I am presently confronted with a number of complex problems that demand immediate attention. （我目前正面临一系列复杂且亟待解决的挑战。）
confront v. 面对
a number of complex problems 一系列复杂问题
demand immediate attention 亟待解决
赏析: 高阶句式通过“am presently confronted”和“complex problems”强化了问题的严峻性，定语从句“that demand immediate attention”。
42. 请求理解（求助信/道歉信）
初阶: I hope you can understand my situation. （我希望你能理解我。）
中阶: I sincerely hope for your understanding and support. （我真诚地希望得到你的理解与支持。）
I sincerely hope for 我真诚地希望……
高阶: I earnestly request your utmost understanding and kind support during this challenging time. （在这段困难时期，我真诚请求您给予最大程度的理解与支持。）
I earnestly request 我诚挚地请求
your utmost understanding 您最大程度的理解
赏析: 高阶句式使用“earnestly request”和“utmost”等词汇，增强了请求的诚意；“during this challenging time”为请求提供了合理的背景。
43. 描述期待的支持（求助信）
初阶: I want your help. （我想要你的帮助。）
中阶: I’d be very grateful for your help.（我将非常感激你的帮助。）
I’d be very grateful for ... 我将非常感激……
高阶: Your generous assistance would be instrumental in enabling me to overcome current obstacles. （您的慷慨协助将对我战胜当前困难起到至关重要的作用。）
generous assistance 慷慨协助
be instrumental in 对……起到关键作用
赏析: 高阶句式采用“would be instrumental in”这一高级表达，有力地说明了对方帮助的宝贵价值。
44. 说明时间紧迫（求助信）
初阶: There is not much time left. （时间不多了。）
中阶: Time is running short, necessitating urgent action. （时间紧迫，需要立即采取行动。）
necessitate v. 使成为必需
高阶: With time running out, we need to act quickly and decisively. （鉴于时间极为紧迫，亟需迅速果断地采取措施。）
run out 耗尽；用完
act quickly and decisively 迅速果断地行动
赏析: 高阶句式以“With time running out”独立主格结构开头，简洁有力地烘托出紧迫氛围；“quickly and decisively”两个副词的连用。
45. 请求协助完成任务（求助信）
初阶: Please help me finish it. （请帮我完成它。）
中阶: Would you please assist me in completing the task （能否请你协助我完成任务？）
高阶: I would be sincerely grateful if you could lend your invaluable support to complete this task. （若您能给予宝贵帮助我顺利完成此项任务，我将不胜感激。）
I would be sincerely grateful if ... 如果……我将衷心感激
lend your invaluable support 给予您宝贵的支持
赏析: 高阶句式运用“I would be sincerely grateful if you could ...”这一经典虚拟语气句型，表达了非常委婉与尊敬的请求；“invaluable support”极大地肯定了对方帮助的价值。
46. 强调困难的重要性（求助信）
初阶: It is very difficult for me. （这对我来说很难。）
中阶: It poses a considerable challenge for me. （这对我构成了相当大的挑战。）
pose a considerable challenge 构成了相当大的挑战
高阶: This is a major challenge that will need significant support to overcome. （此事构成了需要大量支持才能克服的重大障碍。）
a major challenge 一个重大挑战
赏析: 高阶句式使用“major challenge”和“significant support”等词汇，准确量化了困难的规模和所需支持的力度。
47. 表达急需援助（求助信）
初阶: I really need your help right now. （我现在需要你的帮助。）
中阶: I am in urgent need of your assistance. （我急需你的帮助。）
in urgent need of 急需……
高阶: At this critical juncture, your timely intervention would be greatly valued and deeply appreciated. （在此关键时刻，您的及时介入将倍加珍贵并深受感激。）
at this critical juncture 在此关键时刻
timely intervention 及时的介入
赏析: 高阶句式以“At this critical juncture”开场，营造出严峻的语境；“timely intervention”是精准的专业术语；“would be greatly valued and deeply appreciated”叠加使用近义词，极大强化了感激之情。
48. 请求尽快回复（求助信）
初阶: Please reply to me soon. （请尽快回复我。）
中阶: I would appreciate it if you could respond at your earliest convenience. （如果你能尽早回复，我将不胜感激。）
I would appreciate it if ... 如果……我将不胜感激
at your earliest convenience 在您最早方便的时候
高阶: I eagerly anticipate your prompt and positive response to facilitate timely arrangements. （我殷切期盼您的及时回复，以便及早安排相关事宜。）
anticipate v. 期待；盼望
your prompt and positive response 您及时且积极的回复
facilitate timely arrangements 便于及时安排
赏析: 高阶句式选用“eagerly anticipate”表达强烈的期望；“prompt and positive”双重修饰回应，表述精准；不定式“to facilitate ...”。
49. 说明影响（求助信/通知）
初阶: If I fail, it will be bad for me.（如果我失败了，对我来说很糟糕。）
中阶: Failure may lead to undesirable consequences for me. （失败可能对我造成不良后果。）
undesirable consequences 不良后果
高阶: Should I fail, it would exert serious negative impacts on my academic and personal pursuits. （若我失败，必将对我的学业与个人发展产生深远的不利影响。）
Should I fail 倘若我失败（虚拟语气倒装）
exert serious negative impacts 产生严重的负面影响
赏析: 高阶句式采用倒装虚拟语气“Should I fail”开头；使用“exert serious negative impacts”正式搭配，并具体到“academic and personal pursuits”，使后果描述更全面、更具说服力。
50. 请求耐心（求助信）
初阶: Please be patient with me. （请对我耐心一点。）
中阶: Please be patient with me as I work through this. （我真诚请求您在这一过程中给予耐心与理解。）
work through 解决（难题）；处理（不快的事）
高阶: Your continued patience and unwavering support throughout this endeavor would mean a great deal to me. （在此过程中，您的持续耐心与坚定支持对我而言意义重大。）
continued patience and unwavering support 持续的耐心与坚定的支持
endeavor n. （尤指新的或艰苦的）努力，尝试
赏析: 高阶句式通过“continued”和“unwavering”两个形容词，强调了对耐心和支持的长期性；“would mean a great deal to me”真挚地表达了对方支持对个人的重要价值，情感诉求强烈。
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